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第十七讲同角三角函数的基本关系式及诱导公式1



第十七讲
同角三角函数的基本关系 式及诱导公式

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1.同角三角函数基本关系式 平方关系:sin2α+cos2α=1; sin? 商数关系:tanα= . cos?

2.α相关角的表示 (1)终边与角α的终边关于原点对称的角可以表示为π+α;

(2)终边与角α的终边关于x

轴对称的角可以表示为-α(或2π-α);
(3)终边与角α的终边关于y轴对称的角可以表示为π-α; (4)终边与角α的终边关于直线y=x对称的角可以表示为 -α. ? 2

3.诱导公式 (1)公式一

sin(α+k·2π)=sinα,cos(α+k·2π)=cosα,tan(α+k·2π)=tanα,
其中k∈Z. (2)公式二 sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα.

(3)公式三 sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα,tan(-α)=-tanα.

(4)公式四
sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα.

(5)公式五

?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , cos ? ? ? ? ? sin? . ?2 ? ?2 ?

(6)公式六

?? ? ?? ? sin ? ? ? ? ? cos? , cos ? ? ? ? ? ? sin? . ?2 ? ?2 ?
即α+k·2π(k∈Z),-α,π〒α的三角函数值,等于α的同名函数值, ? 前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号; 〒α的正弦(余 弦)函数值,分别等于α的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把α看
2

成锐角时原函数值的符号.

总口诀为:奇变偶不变,符号看象限,其中“奇?偶”是指 ? “k· 〒α(k∈Z)”中k的奇偶性;“符号”是把任意角α看 2 作锐角时原函数值的符号.

考点陪练

1.(2010·全国Ⅰ)cos300°=( )
3 A. ? 2 1 C. 2 1 B. ? 2 3 D. 2

解析:cos300°=cos(360°-60°)=cos60°= 答案:C

1 ,故选C. 2

4 2.若sin? ? , 且? 是第二象限角, 则tan?的值等于 ? 5 4 3 A. ? B. 3 4 3 4 C. ? D. ? 4 3

?

解析 : ? 为第二象限角, ?

3 ?4? 2 ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 5 ?5? sin? 4 ? 5 ? 4 ? tan? ? ? ? ? ??? . ? cos? 5 ? 3 ? 3
答案:A

2

?? 1 ? ?? ? 3.已知sin ? ? ? ? ? , 则cos ? ? ? ?的值为 ? 3? 3 ? ?6 ? 1 1 A. B. ? 3 3
2 3 C. 3 2 3 D. ? 3

?

?? ? 解析 : ? ? ? ? ? ?? ? ? , 6 2 ? 3?
?? ? ? ?? ?? ? ? cos ? ? ? ? ? cos ? ? ? ? ? ? ? 3 ?? ?6 ? ?2 ?

?

?

?? 1 ? ? ? sin ? ? ? ? ? ? . 3? 3 ?
答案:B

4.点P(tan2008°,cos2008°)位于( ) A.第二象限 B.第一象限

C.第四象限 D.第三象限
解析:∵2008°=6〓360°-152°, ∴tan2008°=-tan152°=tan28°>0, cos2008°=cos152°<0,∴点P在第四象限. 答案:C

5.若cos? ? 2sin? ? ? 5, 则tan? 等于 ? 1 A. 2

?

1 B.2 C. ? D. ? 2 2 ?cos? ? 2sin? ? ? 5, ? 解析 : ? 2 ? sin 2? ? (? 5 ? 2sin? ) 2 ? 1, 2 ? sin ? ? cos ? ? 1, ?
? 2 5 , ? sin? ? ? ? 5 ?? ? tan? ? 2. ?cos? ? ? 5 . ? 5 ?
答案:B

类型一 利用同角三角函数基本关系式化简求值 解题准备:本考点的试题难度不大,而对公式的应用要求准确?

灵活,尤其是利用平方关系sin2α+cos2α=1及其变形形式
sin2α=1-cos2α或cos2α=1-sin2α进行开方运算时,特别注意符 号的判断.如果所给的三角函数值是字母给出的,且没有指 定角在哪个象限,那么就需要结合分类讨论的思想来确定其 他角的三角函数值.

【典例1】 (1)已知sinα= (2)已知sinα= ,求tanα;

1 ,且α为第二象限角,求tanα; 3

1 (3)已知sinα=m(m≠0,m≠〒1),求tanα. 3

1 [解] ?1? ? sin? ? , ? 为第二象限角, 3 2 2 ?1? ? cos? ? ? 1 ? sin ? ? ? 1 ? ? ? ? ? , 3 ?3?
2 2

sin? 2 ? tan? ? ?? . cos? 4 1 ? 2 ? ? sin? ? ? 0,?? 为第一或第二象限角. 3 当? 为第一象限角时, cos? ? 1 ? sin 2? ? 2 2 2 ,? tan? ? . 3 4

2 当? 为第二象限角时,由?1? 知tan? ? ? . 4

(3)∵sinα=m(m≠0,m≠〒1), ∴cosα=〒 =〒 1 ? sin 2?
1(当α为第一?四象限角时取 ? m2

正号,当α为第二?三象限角时取负号),
所以当α为第一?四象限角时,tanα= 当α为第二?三象限角时,tanα=
? m 1? m
2

m

1 ? m2

;

.

[反思感悟] 本例属同角三角函数关系式的基本题,关键是掌 握住“先平方,后作商”的原则,先求与sinα的平方关系相

联系的cosα,再由公式求tanα.在(3)中,α为第四象限角,但
tanα=
m

式前面仍不带负号.

1? m

,原因是m此时小于0,所以形式上tanα的表达 2

类型二

诱导公式及其应用

解题准备:诱导公式起着变名?变角?变号的作用,应用诱导公

式,着眼点应放在“角”上,重点是“函数名称”和“正负
号”的判断.求任意角的三角函数值问题,都可以利用诱导 公式最终化为锐角三角函数的求值问题,具体步骤是:“化 负为正—化大为小—锐角求值”.

【典例2】已知? 是第三象限角, 且 3? ? sin(? ? ? )cos (2? ? ? )tan ? ?? ? 2 ? f (? ) ? cot (?? ? ? ) sin(?? ? ? ) ? ? ?.

?1? 化简f ?? ? ;
3? ? 1 ? ? 2 ? 若coscos ? ? ? ? ? , 求f ?? ?的值; 2 ? 5 ? ? 3? 若? ? ?1860?, 求f ?? ?的值.

[分析] 显然应用到诱导公式,既可以直接从诱导公式中合理 选用,也可以直接运用十字诀,一般来说用后一方法记忆负

担较轻.

sin(2? ? ? )cos(4? ? ? )tan(3? ? ? ) 2 2 2 [解] ?1? f ?? ? ? ? ? cot (?2? ? ? ) sin(?2? ? ? ) 2 2 sin? ?cos? ?cot? ? ? ?cos? . (?cot? ) sin? 3? ? ? 1 ? ? 2 ? ? cos ? ? ? ? ? cos(?3? ? ? ) ? ?sin? ,? sin? ? ? , 2 ? 2 5 ?

?

?

?

52 ? 1 2 2 cos? ? ? ?? 6,? f (? ) ? 6. 5 5 5

(3)∵-1860°=-21〓90°+30°, ∴f(-1860°)=-cos(-1860°)

=-cos(-21〓90°+30°)
=-sin30°=

1 ? 2

.

[反思感悟] 如何运用十字诀,可通过下例来体会:设β=α- 且α
3? 为锐角,则如图所示,可知β可看成是第二象限角,而在第二 , 2

象限中余弦取负号,且k=-3为奇数. ? ∴cosβ=cos(-3? +α)=-sinα. 2

类型三

sinα〒cosα与sinα·cosα关系的应用

解题准备:利用sin2α+cos2α=1,可以得出如下结论:

(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;
(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα; (sinα+cosα)2+(sinα-cosα)2=2; (sinα+cosα)2-(sinα-cosα)2=4sinαcosα. 对于sinα+cosα,sinαcosα,sinα-cosα这三个式子,已知其中一个 式子的值,可求其余二式的值.

1 【典例3】 已知sinx+cosx= ,求下列各式的值: 2 (1)sin3x+cos3x;(2)sin4x+cos4x;(3)tan2x+cot2x.

1 [解]? sinx ? cosx ? , 2 ? ? sinx ? cosx ?
2

1 ? 1 ? ?? ? ? 2. ? 2?

2

1 ? sinxcosx ? ? . 4

?1? sin x ? cos x ? ? sinx ? cosx ?
3 3 3

3

? 3sinxcosx ? sinx ? cosx ? ?

5 ? 1 ? ? 1? 1 ?? ? 2; ? ? 3? ? ? 4 ? ? 2 8 ? ? ? 2?
4 4 2 2

2 ? sin x ? cos x ? ? sin x ? cos x ? ? 2sin 2 xcos 2 x ?
2 2

? 1 ? 2 ? sinxcosx ?

? 1? 7 ? 1? 2? ? ? ? ? ; ? 4? 8
2

2

? 3? tan

2

x ? cot x ? ? tanx ? cotx ?
2

? sin x ? cos x ? ?2?? ? ?2 ? sinx?cosx ?
2 2

2

1 1 ? ?2? ? 2 ? 16 ? 2 ? 14. 2 2 1 sin x?cos x 16

[反思感悟] 平方关系sin2x+cos2x=1把sinx+cosx,sinxcosx联系 起来,要灵活运用它们之间的变换,熟记立方和公式及和的

立方公式.

类型四 关于sinα与cosα的二次齐次式的求值问题 解题准备:这类已知某个三角函数值,求其余三角函数值的问

题的常规思路是:利用同角间的三角函数关系,求出其余三
角函数值,这就需要根据m的取值符号,确定α角所在的象限, 再对它进行讨论.这样计算相当繁琐,而在这里灵活地运用 “1”的代换,将所求值的式子的分子?分母同除以cosnα,用 tannα表示出来,从而简化了解题过程,我们应熟练掌握这种 解法.更主要的是由此进一步领悟具体问题具体分析的辩证 思想方法.

tan? 【典例4】已知 ? ?1, 求下列各式的值. tan? ? 1 sin? ? 3cos? (1) ; sin? ? cos? ? 2 ? sin 2? ? sin? cos? ? 2.

1 [解]由已知得tan? ? . 2 1 ?3 sin? ? 3cos? tan? ? 3 2 5 ? ? ?? . ?1? ? sin? ? cos? tan? ? 1 1 ? 1 3 2

? 2 ? ? sin 2? ? sin? cos? ? 2
? sin 2? ? sin? cos? ? 2 ? cos 2? ? sin 2? ? 3sin 2? ? sin? cos? ? 2cos 2? ? sin 2? ? cos 2? 2 3tan ? ? tan? ? 2 ? tan 2? ? 1 ?1? 1 3? ? ? ? 2 13 ?2? 2 ? ? . 2 5 ?1? ? ? ?1 ?2?
2

[反思感悟] 形如asinα+bcosα和asin2α+bsinαcosα+ccos2α的 式子分别称为关于sinα?cosα的一次齐次式和二次齐次式,

对涉及它们的三角式的变换常有如上的整体代入方法可供
使用.

错源一 忽视隐含的平方关系,扩大解的范围而致错
m?3 4 ? 2m ?? ? 【典例1】已知sin? ? , cos? ? , 其中? ? ? , ? ? , m?5 m?5 ?2 ? 则下列结论正确的是 ?

?

A.m∈[3,9] B.m∈(-∞,5)∪[3,+∞) C.m=0,或m=8 D.m=8

[错解] 由已知有

m?3 4 ? 2m ≥0, ≤0, m?5 m?5

解得m<-5或m≥3,选B.

[剖析] 条件给出了含有参数的正余弦的函数值,而参数值要受
到正余弦的平方关系“sin2θ+cos2θ=1”的限制,而上述解 法就忽视了这个制约关系,以致扩大了解的范围而错.

m?3 4 ? 2m [正解]由已知有 ≥0, ≤0, m?5 m?5 ? m ? 3 ? ? 4 ? 2m ? 且? ? ?? ? ? 1, 故m ? 8, 选D. ? m?5? ? m?5 ?
2 2

[答案] D [评析] 如果在题设条件中出现了正余弦,则要注意利用它们 之间的平方关系.

错源二

忽视角的范围,造成多解而致错

1 ?? ? 【典例2】已知sin? ? cos? ? ,? ? ? , ? ? , 求tan? . 5 ?2 ?
1 [错解]sin? ? cos? ? , 平方后整理得2sin? ?cos? 5 24 2tan? 24 ? ? , 所以 ? ? , 所以12tan 2? ? 25tan? ? 12 ? 0, 25 1 ? tan 2? 25 3 解得tan? ? ? . 4

[剖析]上面解答忽略了角的范围, 扩大了三角函数值的 1 ?? ? 取值范围, 造成多解.这是因为由sin? ? cos? ? ,? ? ? , ? ? 5 ?2 ? 24 知sin? ? 0, 且cos? ? 0, 而平方后等式2sin? ?cos? ? ? , 25 ? sin? ? 0, ? sin? ? 0, 而此式中 ? 或? ?cos? ? 0, ?cos? ? 0.

1 ?? ? [正解]因? ? ? , ? ? , sin? ? cos? ? ? 0, 5 ?2 ? 4 故sin? ?| cos? |? 0, 所以只有tan? ? ? . 3

1 本题也可以这样求解 :由sin? ? cos? ? , 5 12 可得sin? ?cos? ? ? , 25

1 4 ? ? ? sin? ? cos? ? 5 ? sin? ? 5 , ? ? 由? ?? ? sin? ?cos? ? ? 12 ?cos? ? ? 3 , ? ? 25 5 ? ? 3 ? sin? ? ? , ? ? ?? ? 5 或? 又由? ? ? , ? ? , 知sin? ? 0, cos? ? 0, ?2 ? ?cos? ? 4 , ? 5 ? 4 3 4 所以sin? ? , cos? ? ? , 则tan? ? ? . 5 5 3

[评析] 解答关于含有“sinθ〒cosθ,sinθcosθ”的问题时,一般 都要利用平方关系sin2θ+cos2θ=1,但必须注意对所求得的

结果进行检验,否则会造成多解.

技法一

整体换元
sin? ? cos? 的值. sin? ? cos?

【典例1】 已知sinα+3cosα=2,求

[解]令

sin? ? cos? ? t , 整理得 ?1 ? t ? sin? ? ?1 ? t ? cos? ? 0, sin? ? cos? 又sin? ? 3cos? ? 2,

1? t 1? t ? sin? ? , cos? ? . 2?t 2?t ? 1? t ? ? 1? t ? 2 2 由sin ? ? cos ? ? ? ? ?? ? ? 1, ? 2?t ? ? 2?t ?
2 2

解方程得t ? ?2 ? 6. sin? ? cos? 故 ? ?2 ? 6. sin? ? cos?

技法二

快速解法(求根法)

【典例2】 已知θ∈(0,π),且sinθ,cosθ是方程25x2-5x-12=0的

两个根,求sin3θ+cos3θ和tanθ-cotθ的值.

4 3 [快解]方程25x ? 5x ? 12 ? 0的两根分别为 和 ? , 5 5 4 3 又 ?? ? ? 0, ? ? ,? sin? ? 0, cos? ? 0, 则sin? ? , cos? ? ? , 5 5 64 27 37 ? 4? ? 3? 3 3 ? sin ? ? cos ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 3 ? ? ? . 125 125 125 ?5? ? 5? 4 3 ? sin? cos? 5 ? 5 ??4?3 ?? 7 . tan? ? cot? ? ? ? cos? sin? ? 3 4 3 4 12 5 5
2

1 [解题切入点] 由根与系数的关系入 5 12 手,sinθ+cosθ=?,sinθcosθ= ,将sin3θ+cos3θ与tanθ-cotθ用

sinθ+cosθ,sinθcosθ表示.

25

[分析思维过程] 欲求sin3θ+cos3θ的值需先分解因式,出现 1 ? 12 sinθ+cosθ和sinθcosθ的形式后,即可代入 和 求出值来. 25 5 而tanθ-cotθ化为正弦、余弦之比后,同样可求出值来.

1 12 [解]由题意得 : sin? ? cos? ? , sin? ?cos? ? ? , 5 25 ? sin 3? ? cos3? ? ? sin? ? cos? ? ? sin 2? ? sin? cos? ? cos 2? ? ? ? sin? ? cos? ??1 ? sin? cos? ? 1 ? 12 ? 37 ? ? ?1 ? ? ? . 5 ? 25 ? 125

sin? cos? sin 2? ? cos 2? tan? ? cot? ? ? ? cos? sin? sin? cos? ( sin? ? cos? )( sin? ? cos? ) ? . sin? cos? ?? ? ? 0, ? ? ,? sin? ? 0, cos? ? 0, 则sin? ? cos? ? 0. ? sin? ? cos? ? ( sin? ? cos? ) 2 12 ? 1 ? 2 sin? cos? ? 1 ? 2 ? ? 25 1 7 ? 5 5 ?? 7 . ? tan? ? cot? ? 12 12 ? 25 49 7 ? . 25 5

[方法与技巧] 由题目的形式得知,很明确要利用根与系数的 关系,将所求式表示成sinθ+cosθ?sinθcosθ的形式,求tanθ-

cotθ时,必须化为“弦”,否则用不上已求得的值.
由于sinθ,cosθ是方程的根,一般地,很自然的想到根与系数的 关系.其实此题直接求出两根更简单.

[得分主要步骤] 只要求出两根的和与积,分解因式后代入即 可.在求sinθ-cosθ的步骤中,sinθ-cosθ>0一定要说明.同样,快

解法中,得出sinθ=

4 ,cosθ= 5

3 也是由θ∈(0,π)确定的. ? 5

[易丢分原因] 求sinθ-cosθ的过程中,若不考虑θ∈(0,π),将sinθcosθ变为
( sin? 是不行的. ? cos? ) 2

4 求方程的根时,若不考虑θ∈(0,π),会求得sinθ= ,cosθ=〒 5

,

3 其结果也是两个值. 5



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