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用放缩法证明数列不等式



用放缩法证明数列不等式

用放缩法证明数列不等式
n ?1 5n cn ? n , n ? c1 ? c2 ? L ? cn ,试比较 Tn 与 T 例1:(09· 湖北卷)已知 的大小. 2 2n ? 1
n?3 分析: 可先求出 Tn ? 3 ? n 2
(请用放缩法证明)

5n (n ? 3)(2n

? 2n ? 1) ? 进一步 , Tn ? 2n ? 1 2n (2n ? 1)

故只需比较 2n 与 2n ? 1的大小
1 2n ? (1 ?1)n ? Cn0 ? Cn ? L ? Cnn?1 ? Cnn

利用二项式定理放缩

0 1 ? 2(Cn ? Cn ) ? 2n ? 2 ? 2n ? 1 (n ? 3)

当n ? 2时,可得 2n ? 2n ? 1. 5n 5n T T . 综上:当 n ? 2 时, n ? ;当 n ? 3 时, n ? 2n ? 1 2n ? 1

用放缩法证明数列不等式
思考:比较 2n 与 n2 ? n 的大小. 当 n ? 5 时,
1 2n ? (1?1)n ? Cn0 ? Cn ? Cn2 ? L ? Cnn?2 ? Cnn?1 ? Cnn

? 2(C ? C ? C ) ? n2 ? n ? 2
0 n 1 n 2 n

? n2 ? n
当 n ? 1 时,可得 2n ? n2 ? n.

当 1 ? n ? 5时,可得 2n ? n2 ? n.

用放缩法证明数列不等式

an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1)2 例2:(08· 辽宁卷)由已知条件可得 .
1 1 1 5 ? ??? ? . 求证: a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) 方法一: ? ? an ? bn (n ? 1)(2n ? 1) 2(n ? 1 )(n ? 1) 2n(n ? 1) 2 n n ? 1 2 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ( ? ? ? ? ?? ? ) 故 ? 6 2 2 3 3 4 n n ?1 i ?1 ai ? bi
5 1 ? ? 12 2(n ? 1) 5 ? . ( n ? 2) 12

从通项入手放缩

1 5 当 n ? 1 时,有 ? 也成立. 6 12

用放缩法证明数列不等式

an ? n(n ? 1), bn ? (n ? 1)2 . 例2:(08· 辽宁卷)由已知条件可得
1 1 1 5 ? ??? ? 求证: . a1 ? b1 a2 ? b2 an ? bn 12
1 1 6 n 13 方法二: (n ? )(n ? 1) ? (n ? )(n ? ) ? ? ? 0 ? 2 5 5 10 50 1 1 1 ? ? an ? bn 2(n ? 1 )(n ? 1) 2(n ? 1 )(n ? 6 ) 5 5 2 n 1 1 1 1 1 1 1 5 5 ? ( ? ??? ? )? ? ? 故? 1 6 2 1? 1 1? 6 2 6 12 i ?1 ai ? bi n? n? 5 5 5 5

从结论入手放缩

用放缩法证明数列不等式
例3: 已知数列 {an } 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N ? ) , (1)求数列{an } 的通项公式;

an n 1 a1 a2 n (2)求证: ? ? ? ??? ? (n ? N ? ) 2 3 a2 a3 an ?1 2
解:(1) an ? 2n ?1(n ? N ? )

an 2n ? 1 1 1 (2) ? n?1 ? ? an?1 2 ? 1 2 2(2n?1 ? 1)

用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: 2 ?1

? a (a ? 1) ? 3 .
i ?1 i i

n

用放缩法证明数列不等式
2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: 2 ?1 方法一:

? a (a ? 1) ? 3 .
i ?1 i i

n

2i 1 1 1 ai (ai ? 1) ? 2i ? i ? i ?1 ? i ?1 (i ? 2) 2 ? 2 ? 2i ? 1 2 ? 2 2 ? 2i ?1 ? 2 2

1 1 1 1 故 ? ai (ai ? 1) ? 2 ? ? 2 ? ? ? n ? 3 ? n?1 ? 3(n ? 2) 2 2 2 2 i ?1
当 n ? 1 时,有 2 ? 3 也成立. 放缩成等比数列

n

用放缩法证明数列不等式
n 2n 练习: 已知数列 {an } 中 an ? n , 求证: ? ai (ai ? 1) ? 3 . 2 ?1 i ?1 i 2 2i ? i 方法二:ai (ai ? 1) ? i i (2 ? 1)(2 ? 1) (2 ? 1)(2i ? 2)

2i ?1 1 1 ? i ? i ?1 ? i (i ? 2) i ?1 (2 ? 1)(2 ? 1) 2 ? 1 2 ? 1
1 1 1 1 1 ? ai (ai ?1) ? 2 ? ( 2 ?1 ? 22 ?1) ? ? ? ( 2n?1 ?1 ? 2n ?1) ? 3 ? 2n ?1 ? 3(n ? 2) i ?1
n

当 n ? 1 时,有 2 ? 3 也成立. 放缩成裂项相消型数列

课堂小结

用放缩法证明数列不等式

一.具备求和条件的数列不等式先求和再放缩

二. 不具备求和条件的数列不等式通先放缩再求和 目标1.放缩成裂项相消型求和 目标2.放缩成等比数列求和

化归与转化思想

再 见



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