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2008年广东省揭阳市教研室精编期末模拟数学试卷(文科一)



2008 年广东省揭阳市教研室精编期末模拟试卷(文科一)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的 1.已知集合 M ? {x | log 2 x ? 1}, N ? { x | x ? 1} ,则 M ? N =
王新敞
奎屯 新疆

A. {x | 0

? x ? 1}

B. {x | 0 ? x ? 2}

C. {x | x ? 1}

D. ?

2.某公司有职工 150 人,中级管理人员 40 人,高级管理人员 10 人,要从这 200 人中抽取 40 人 进行身体检查,如果采用分层抽样的方法,则职员、中级管理人员、高级管理人员各应抽取的人 数为 A. 25,10,5
3

B. 30,8,2

C. 30,6,4

D. 32,6,2

3.已知 f ( x) ? x ? ax在[1,??) 上是单调增函数,则 a 的最大值是 A.0 B.1
2

C.2
2

D.3

4.对任意实数 a 、 b ,定义运算 a ? b ? a ? ab ? b ,则 sin

?
12

? cos

?
12
D.

A.

3 ?1 2
?x

B.

2 3 ?1 4

C. ?

1? 2 3 4

3 4

5.已知函数 f ( x) ? a , g ( x) ? loga x (a ? 0, a ? 1),若 f (2) ? g (2) ? 0 ,则 f ( x) 与 g ( x) 在同 一坐标系内的图象可能是
y
y y

y

1 X 0 1

1 X 0 1

1 X 0 1

1 X 0 1

A. B. C. 6.已知直线 l 、 m ,平面 ?、? ,则下列命题中假命题是 A.若 ? // ? , l ? ? ,则 l // ? C.若 l // ? , m ? ? ,则 l // m
2

D.

B.若 ? // ? , l ? ? ,则 l ? ? D.若 ? ? ? , ? ? ? ? l , m ? ? , m ? l ,则 m ? ?

7.设 O 为坐标原点,F 为抛物线 y ? 4 x 的焦点,A 为抛物线上的一点,若 OA ? AF ? ?4 ,则 点 A 的坐标为 A. (2,2 ?

2 ) B. (1,±2)

C. (1,2)

D. (2, 2 2 )

8.如图,将网格中的三条线段沿网格线上下或左右平移,组成一个首尾

相连的三角形,则三条线段一共至少需要移动 A.12 格 B.11 格 C.10 格 D.9 格

9.在点 (1 ,0) 、 (0, ?1) 、 (0,0) 、 (?1, ? 2) 、 (1, ?2) 中,到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 2 , 且位于 ?

?x ? y ?1 ? 0 表示的平面区域内的有 ?x ? y ?1 ? 0
B.2 个 C.3 个 D. 4 个

A.1 个

10.已知 f ( x) ? ( x ? a)( x ? b) ? 1(a ? b) , m, n 是 f ( x) 的零点,且 m ? n ,则实数 a、b、m、n 的大小关系是 A. m ? a ? b ? n B. a ? m ? n ? b C. a ? m ? b ? n D. m ? a ? n ? b 二、填空题:本大题共 6 小题,每题 5 分,共 30 分. 必做题:第 11、12、13 题是必做题,每道试题考生都必须做答. 11.如右图,单摆从某点开始来回摆动,离开平衡位置 O 的距离 S 厘米和时间 t 秒的 函数关系为: S ? 6sin(2? t ?

?
6

) ,那么单摆来回摆动一次所需的时间为

秒.
?

12.如右图,一个空间几何体的主视图、左视图是周长为 4 且有一个内角为 60 的菱形,俯视图是圆及其圆心,那么这个几何体的表面积为________.

13.对于实数 x ,用 [ x ] 表示不超过 x 的最大整数,如 [ 0.32 ] ? 0 , [ 5.68 ] ? 5 . 若 n 为正整数, a n ? ? ? , S n 为数列 ?a n ? 的前 n 项和,则 S8 ? ?4?

主视图

左视图

?n?



俯视图

S 4 n ? __________.
选做题:第 14、15 题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算第一题的得分. 14.如图所示,AC 和 AB 分别是圆 O 的切线, 且 OC = 3,AB = 4,延长 AO 到 D 点,则△ABD 的面积是___________.
B A E O D C

? y ? sin ? ? 2 15.在直角坐标系 xoy 中,已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 是参数) ,若以 o 为极点, ? x ? cos ?

x 轴的正半轴为极轴,则曲线 C 的极坐标方程可写为________________.
三.解答题:本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

16. (本小题满分 12 分) 如图 A 、 B 是单位圆 O 上的动点, C 是圆与 x 轴正半轴的交点,设 ?AOC ? ? . (1)当点 A 的坐标为 ( , ) 时,求 sin ? 的值; ( 2 )若 0 ? ? ?

y
B O

?
2

3 4 5 5

3 4 A( , ) 5 5 C

x

,且当点 A 、 B 在圆上沿逆时针方向移动时总有

?AOB ?

?
3

,试求 | BC | 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 已知某几何体的直观图和左视图如下图 所示,主视图和俯视图是全等的正方形. ⑴求该几何体的体积 V ; ⑵求证:平面 ACE ? 平面 BDF 。

E D A
直观图

F
2 2

C

2 2

B

左视图
18.(本小题满分 12 分) 为了让学生了解环保知识,增强环保意识,某中学举行了一次“环保知识竞赛” ,共有 900 名学生参加了这次竞赛. 为了解本次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的成绩(得分均为整数, 满分为 100 分)进行统计. 请你根据尚未完成并有局部污损的频率分布表和频数分布直方图,解答 下列问题: 分组 50.5?60.5 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.5?100.5 (1) 填充频率分布表的空格(将答案直接填在表格 合计 50 内); (2)补全频数条形图; (3)若成绩在 75.5?85.5 分的学生为二等奖,问获得二等奖的学生约为多少人? 19.(本题满分 14 分) 10 16 0.32 频数 4 频率 0.08 0.16

(1)求函数 f ? x ? 的解析式;并判断 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的单调性(不要求证明)

已知函数 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的奇函数,在 [0,1] 上 f ? x ? ? 2 ? ln ? x ? 1? ? 1
x

(2)解不等式 f ? 2 x ? 1? ? f 1 ? x

?

2

??0.
y C B x o A D

20. (本小题满分 14 分) 在梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,A、B 是两个定点,其坐 标分别为(0,-1) 、 (0,1) ,C、D 是两个动点,且满足|CD|=|BC|. (1)求动点 C 的轨迹 E 的方程; (2)试探究在轨迹 E 上是否存在一点 P?使得 P 到直线 y=x-2 的距离最短。

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? R 且 x1 ? x2 ,都有
2

? x ? x ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? f ? 1 2 ?? . 2 ? 2 ?
(1)求实数 a 的取值范围; (2) 对于给定的实数 a , 有一个最小的负数 M ? a ? , 使得 x ? ? ? M ? a ? , 0? ? 时,?4 ? f ? x ? ? 4 都成立,则当 a 为何值时, M ? a ? 最小,并求出 M ? a ? 的最小值.

参考答案及评分说明
一.选择题:ABDCA CBDBA 解析:2.职员、中级管理人员、高级管理人员各应抽取的人数分别为:

1 1 1 ?150 ? 30, ? 40 ? 8, ?10 ? 2 ,故选 B. 5 5 5
3. f ?( x) ? 3x ? a, 由已知可得 f ?( x) ? 3x ? a ? 0 对应一切 x ? [1, ??) 上恒成立,易得 a ? 3 ,
2 2

故 D. 4. 由定义得 sin 选 C. 5.∵ f ( x) ? 0 由 f (2) ? g (2) ? 0 知 g (2) ? 0 ,可排除 B、C,由 f ( x) 与 g ( x) 的单调性相反可排 除 D,故选 A.
2 7.设点 A 的坐标为 ( x, y ) 由 OA ? AF ? ?4 , y ? 4 x 得 x ? 3x ? 4 ? 0 解得 x ? 1 , y ? ?2 ,

?
12

? cos

?
12

? sin 2

?
12

? sin

?
12

cos

?
12

? cos 2

?
12

? ? cos

?

1? 2 3 1 ? , ? sin ? ? 4 6 2 6

2

故选 B. 9.所给的 5 个点中,只有点 (0, ?1) 、 (?1 , ? 2) 符合题意,故选 B. 10.由 f (a) ? f (b) ? ?1知,抛物线的对称轴为 x ? 如图易得答案选 A. 二.填空题: 11.1;12. ? ; 13.6 、 n(2n ? 1) ;14.

y 1 X m
0 a

a?b ,因抛物线开口向上, 2

b

n

48 ;15. ? ? ?4sin ? . 5

解析:11.单摆来回摆动一次所需的时间即函数 S ? 6sin(2? t ?

?

6 1 12.该几何体是由两个相同的圆锥组合而成,其表面积 S ? ? ? ?1? 2 ? ? 2

) 的最小正周期, T ?

2? ?1 2?

13.依题意可知 a1 ? a2 ? a3 ? 0 , a4 ? a5 ? a6 ? a7 ? 1 , a8 ? a9 ? a10 ? a11 ? 2 ,

a12 ? a13 ? a14 ? a15 ? 3 , ? , S4 ? 1 ? 1?1, S8 ? 6 ? 2 ? 3, S12 ? 15 ? 3 ? 5 , S16 ? 28 ? 4 ? 7 , ?, S4 n ? n(2n ? 1)

OB AO 3 ? 8 24 14.过点 D 作 DE⊥AE,由 OB∥DE 得 ? ? DE ? ? DE AD 5 5

D O

C

E

B

A

∴ S?ABD ?

1 48 AB ? DE ? 2 5

15.在直角坐标系 xoy 中,曲线 C 是以点 (0, ?2) 为圆心,以1为半径的圆,如图 在 Rt ?OPA 中,易得 ? ? OA cos(

3? ? ? ) ? ?4sin ? ,即曲线 C 的极坐标方程为 2

? ? ?4sin ? 。
三.解答题:

3 4 16.解:(1) ∵ A 点的坐标为 ( , ) ,根据三角函数定义可知 5 5 3 4 x ? , y ? , r ? 1 ------2 分 5 5
∴ sin ? ?

(2)∵ ?AOB ?

y 4 ? r 5 ?
3

-----------------------------------------------------------4 分

, ?COA ? ? ,

∴ ?COB ? ? ? 由余弦定理得

?
3

,

| BC |2 ?| OC |2 ? | OB |2 ?2 | OC || OB | cos ?BOC ? 1 ? 1 ? 2cos(? ? ) 3

?

? 2 ? 2cos(? ? ) ---------------------------------------------------------------------6 分 3
∵0 ?? ? ∴?

?

?

2

,?

?

3

?? ?

?

3

?

5? -----------------------------------------------------8 分 6
--------------------------10 分

3 ? 1 ? ? cos(? ? ) ? ,∴ 1 ? 2 ? 2cos( ? ? ) ? 2 ?3 3 2 3 2
2

即 1 ?| BC | ? 2 ? 3 ,∴ 1 ?| BC |?

2? 3

----------------------------------------12 分

17.解:⑴依题意知, AB 、 AD 、 AE 两两互相垂直 几何体 ADE ? BCF 是三棱柱------------------------------------------2 分 ∴ V ? S ?ADE ? AB --------------------------------------------------4 分

?

1 ? AE ? AD ? AB ? 4 -----------------------------------------------6 分 2
∵ ABCD 是正方形,∴ AC ? BD ∵ AB 、 AD 、 AE 两两互相垂直,

⑵连接 AC 、 BD

∴ AE ? 平面ABCD , ∵ BD ? 平面 ABCD ∴ AE ? BD

∵ AC ? AE ? A ,∴ BD ? 平面ACE -----------------------------------------------10 分 ∵ BD ? 平面 BDF ∴平面 ACE ? 平面 BDF ------------------------------------------------------------------12 分

18 解:(1) 分组 50.5?60.5 60.5?70.5 70.5?80.5 80.5?90.5 90.5?100.5 合计 频数 4 8 10 16 12 50 频率 0.08 0.16 0.20 0.32 0.24 1.00 ---------------------4 分 (2) 频数直方图如右上所示--------------------------------8 分 (3) 成绩在 75.5?80.5 分的学生占 70.5?80.5 分的学生的

5 ,因为成绩在 70.5?80.5 分的学生 10

频率为 0.2 ,所以成绩在 75.5?80.5 分的学生频率为 0.1 ,---------10 分 成绩在 80.5?85.5 分的学生占 80.5?90.5 分的学生的

5 , 因为成绩在 80.5?90.5 分的学生频 10

率为 0.32 ,所以成绩在 80.5?85.5 分的学生频率为 0.16 -------------12 分 所以成绩在 75.5?85.5 分的学生频率为 0.26, 由于有 900 名学生参加了这次竞赛, 所以该校获得二等奖的学生约为 0.26?900=234(人) 19.解: (1) ------------------14 分

设 ?1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ------------------------------------1 分

? f (? x) ? 2? x ? ln(1 ? x) ? 1 ?

1 ? ln(1 ? x) ? 1 ---------------------------------------------2 分 2x

又 f ( x) 是奇函数,所以 f (? x) ? ? f ( x) ----------------------------------------------------3 分

f ( x) ? ? f ( ? x) = ?

1 ? ln(1 ? x) ? 1 --------------------------------------------------------4 分 2x

? 1 ? ? ? ln(1 ? x) ? 1 (?1 ? x ? 0) ? f ( x) ? ? 2 x ? 2 x ? ln ? x ? 1? ? 1 (0 ? x ? 1) ---------------------------------------------------------5 分 ?

f ( x) 是[-1,1]上增函数----------------------------------------------------------------------6 分
(2)? f ( x) 是[-1,1]上增函数,由已知得: f (2 x ? 1) ? f ( x ? 1) ------------------7 分
2

?0 ? x ? 2 ?2 x ? 1 ? x 2 ? 1 ? ? 等价于 ??1 ? 2 x ? 1 ? 1 ? ?? 2 ? x ? 2 ??1 ? x 2 ? 1 ? 1 ? ? ?0 ? x ? 1

---------------------------------11 分

解得: 0 ? x ? 1 ,所以 {x | 0 ? x ? 1} ----------------------------------------------14 分 20. (1) 解法 1:依题意知,CD⊥AD,且|CD|=|BC|. 依抛物线的定义可知点 C 的轨迹是以 B 为焦点,以 AD 为准线的抛物线除去顶点和与直线 y=1 的交点。 ---------------------------------------4 分 2 ∵|OB|=1 ∴C 的轨迹 E 的方程为 x =4y(x≠0,x≠ ?2 ) -------------7 分 解法 2:设 C(x,y)则|CD|=y+1,|CB|=

x 2 ? ( y ? 1) 2

,

又|CD|=|BC|. ?| y ? 1|?
2

x 2 ? ( y ? 1) 2 ,化简得:

x =4y(x≠0,x≠ ?2 ) (2)解法 1:设 P(x,y)是轨迹 E 上一点,则 P 到直线 y=x-2 的距离
2 | x? y?2| | x? 1 | x 2 ? 4 x ? 8 | | ( x ? 2) 2 ? 4 | 4 x ?2| d? ? ? ? ---------------------------10 分 2 2 4 2 4 2

当 x=2 时,d 取得最小值

2 ,这时 x=2,y=1, ---------------------12 分 2

即点 P(2,1).但由(1)知点(2,1)不在轨迹 E 上, ∴在轨迹 E 上这样的点 P 不存在。 -------------------------------14 分 解法 2:所求点即与直线 y=x-2 平行的轨迹 E 的切线与 E 的切点, 由y?

1 2 1 1 x 得 y ' ? x , ? x ? 1,? x ? 2 ,∴ y ? 1 , 4 2 2

下同解法 1。 解法 3:设与直线 y=x-2 平行,与抛物线 E 相切的直线为 x-y+m=0,由方程组

? x ? y? m? 0 2 有一解得方程 x ? 4 x ? 4m ? 0 有两个相等的实根 ? 2 x ? 4 y ?

∴ ? ? 16 ? 16m ? 0

∴m=-1 从而得方程组的解为 ?

?x ? 2 ,下同上. ? y ?1

21.解: (1)∵ f ?

? x1 ? x2 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ?? 2 ? 2 ?
2

ax 2 ? bx1 ? c ? ax2 2 ? bx2 ? c ?x ?x ? ?x ?x ? ? a? 1 2 ? ? b? 1 2 ? ? c ? 1 2 ? 2 ? ? 2 ?

??

a 2 ? x1 ? x2 ? ? 0 , 4

----------------------------------------------------------------2 分

∵ x1 ? x2 ,∴ a ? 0 .∴实数 a 的取值范围为 ? 0, ?? ? .------------------------------------------- 4 分

2? 4 ? (2)∵ f ? x ? ? ax ? 4 x ? 2 ? a ? x ? ? ? 2 ? , a? a ?
2

2

显然 f ? 0 ? ? ?2 ,对称轴 x ? ? ①当 ?2 ?

2 ? 0 . ---------------------------------------------------------6 分 a

4 ? 2 ? ? ?4 ,即 0 ? a ? 2 时, M ? a ? ? ? ? , 0 ? ,且 f ? ? M ? a ?? ? ? ?4 . a ? a ?
?2 ? 4 ? 2a , a
?2 ? 4 ? 2a ?2 ? , a 4 ? 2a ? 2

令 ax ? 4 x ? 2 ? ?4 ,解得 x ?
2

此时 M ? a ? 取较大的根,即 M ? a ? ? ∵ 0 ? a ? 2 , ∴ M ?a? ? 分 ②当 ?2 ?

?2 ? ?1 . ----------------------------------------------------10 4 ? 2a ? 2

4 2 ? ?4 ,即 a ? 2 时, M ? a ? ? ? ,且 f ? ? M ? a ?? ? ? 4. a a
?2 ? 4 ? 6a , a
?2 ? 4 ? 6a ?6 ? , a 4 ? 6a ? 2

令 ax ? 4 x ? 2 ? 4 ,解得 x ?
2

此时 M ? a ? 取较小的根,即 M ? a ? ? ∵ a ? 2 ,∴ M ? a ? ?

?6 ? ?3 . -------------------------------------------------13 分 4 ? 6a ? 2

当且仅当 a ? 2 时,取等号. ∵ ?3 ? ?1,∴当 a ? 2 时, M ? a ? 取得最小值-3.-------------------------------------- 14 分



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