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一类分式函数值域的求法



2 0 01年 第 1 0  

数 学 教 学 研 究 

(   一3 )  +(   一2 )   =5  ,  

小数部分 , 试求 A—  

的值.  

解 得 

:6,   =一1 ( 负根舍去)  

分 析  我 们

似 乎 感 到 ( 5+2 √ 百 )与 它 的 井 轭 根 

敞S  


=÷ × 5× 6=l 5 ( 平方单位)  

式f 5— 2 √ 百 )可以组成某 个整体, 联想到它们之积可 
找到解题的突破 口  

构造特殊 。 体 ”解 题  倒4   若锐角 a  、 Y , 满足 c 0 s   d +c 0 s   卢+ c 0 9  

解  构 造 关 系 式 C = ( 5~ 2 √   ) 2 1 #  则 由 二 项  1 式定理知 , A +C为 自然 数 




1 , 求证 : t g t? i f t   ‘ t g T≥2 √ 2   分析   题 设 条 件 

0 ( 5—2√ 6 (1 , 0 ( C < 1,  

与 立 体 几 何 中 的 一 个 结  ~   论 若长 方体 的一 条 对 L ) I   角线与一个顶点 的三条  棱 所 成 的 角 分 别 是  、 口 、  
Y  贝 9   c 0 s   a+c 0 s 。   , J  
周 2  

而 口为 ^的 小 数 部 分  则 丑 +C : I  
. .

A 一 ^B = A f 1 一 B) : AC  


( 5+2 √ 百 )   ( 5—2 √   )   ” 。  
( 2 5 —2 4)   “  = 1 .  



6   构造特殊“ 命题”解题 
倒6   有七十城市 , 它们之间 的距离都 不相等 ,  

c 0 s   7 =1 ”相 同 , 因此,  

可构造长方体来 证嬲这 
个 不 等 式 

如 果 每 一 个 城 市 都 出 动 一 架 飞 机 到 离 它最 近 的 城 市  降落 , 试证明 : 每 一 个 城 市 所 降 落 的 飞机 不 会 超 5 架  分 析  用 平 面 内 的 七 个 点 A . … A  A …A … A  A   、   A   表 示这 七 个城 市  于是 可构 造等 价 的 特殊 “ 命  题” : 平 面 内 不 存 在 这 样 的点 它 到 另 6点 的 距 离 比 

证 明  如 图 2示 , 设 长 方 体 三 条棱 A D、   县 、 且   的长分别为 。 、 6 、  对角线 A C   与A D 、 A B 、 A A . 的夹角   分 别 为  、   、  , 则 
c 0 s   a +c o s   声 +c 。 s  
 ̄ =  ,  

1 ,  

选 6点 被 此 间 的 距 离 都 短 
证明   用反 证法 ,  

/c 2   +a z  

假设存在某点 A  到 另 6  
点 A  A … A  A 5   A 6 、 ^   』  

:  

距 离 比 ^  A … A  A 5 、  
. .

‘ g   ‘I  

’  

y  

{   A 之 间 的 距 离 都 短 


:  
a b e  

如 图 3 所 示 , 则 在 

△A l A 2 A ,中 ,  A 2 A   >  

图3  



避 : 卓 ’  
 ̄O t 3  


: 2 √ 2 l  

^ 2  l , ^ 2 A  ) A , A  
6 0。 .   3 >6 0。  

厶1 ) 6 0 。 , 同理 可证 :  2)  

5   构造特殊“ 关系”解题  倒 5   设  E   N, 且:( 5+2 √ 6 ) 2 a # 1 , B为  的 

4 )6 0。 ,   5 )6 0。   6>6 0。  即 

1+   2+   3+   4十   5+   6) 3 6 0 。 ( 矛盾 1 , 假 

设命题不成立 , 从 而 原 命 题 成 立 



类分 式 函数值域 的 求法 
陈燕州  
兰州 7 3 0 0 7 0 )  

( 西北 师 范 太 学 附属 中 学 , 甘肃

求形  n  =  

c 。 、 与  , n   与  ,  

与6 : 均不同时为零 ) 的 分式 函数 的值域 , 最常用 的   方法是“ 判别式 ”法, 但 当 自变量  仅 在定义域 内的  

数 学 教 学 研 究  某个子区间上取值时 , 判 别 式 法 就 不 再 能用 , 而 若 转  化为一元 二次程 实根 的分 布问 题, 如 求 函数   =  

2 0 0 1年 第 l 0 期 
1  

略 解  没 s I n =  
一 ≤ I )  

? 则y  l 厂 (   )  

+ 三 ( D≤  

s i J 1 一   + j81 …

蔓   l l }  — + 4 的 值 域若 设   i … c . 则 转 化为 求  
4  

由定理 l 知该函数在区间 ( 0 . 1 : 上是碱 函数. 所 

函数 y=  

t 一1 ≤  ≤ 1 )的 值 域 . 由文[ 1 ]  

以 可 得 Y≥, ( 1   J=3 , 即值 域 为 [ 3 . +   )  
例 2 球 面数   略 解  将解 析 式 化为 
:  

知判别式法不能用 文 [ I ]是 将 问 题 转 化 为关 于 f 的 


的值 域 

元二次方程(  

I )   + 3 ( y十1 ) l +4 ( y —I ) =0  

在区间[ 一I   I ] 上 有 实 根 求  的 取 值 范 围  求 解 显 然 
很 繁 

r -  =  2 :  !   = 一  
2 一s i n x  

本 文 给 出 一 种 一般 解 法 . 较 简捷 的求 出其 值 域  定理 1   函数 厂 (   ):   十   ( 。≠0 ) , 当 口 >0  

= 2一 s 一  

— 二  

一 j  

设 2 一s l n x=f . 则 

时, 在区间  一  

一 √ _ ] , [ √   ,+∞) 上单谓递增, 在 

y : l , (   ) =   + ÷一 l( 1 ≤   ≤ 3 )  
由 定理 l 知该函数在区间[ j , 3 ] 上递增 , 所  可 

区间[ 一 √   , 0 )  ( 0 , √ _ _ 上单谓递减 ; 当  <0 时, 在  
区间( 一   , 0 ) , ( 0 . 十∞ ) 上 单 调 递 增  证明   若 Ⅱ>0 , 设  >  
/  : ) 一 , (   . )=  
0. 且 

得  1 )≤ y≤ l 厂 ( 3 ) ,即 1≤ y≤ 丁 7


>0 , 则 
  1

故 值 域 为 

— : —  

,   : 一 

l>0, 且 X 2  l> 0  

定理2 形 如   =   数.  

( 其中 n . 6 , c ,  为 常 

当 :  
一  

≥  

时,   . 一d >0 , N ̄ - f (  j  

非 零 )的 分 式 函 数 , 在 其 定 义 域 内 的 任 何 子 



)>0 , 即, (   )>厂 (  . ) , 故  ) 在区间[  ̄ ,   , 十  

区 间 上都 存 在反 函 数 , 且 在 该 子 区 间 上 的 值 域 可 通  过 反 函 数 的定 义 域求 出  

)上 递 增 ;   当 0<   l‘   ≤   时  l   1 一口< 0 , 可得   2 )  


证明   对定义域内任意 两个 自变量的值 . ,   :   设  + c ? y   五_ a   +  ; 假设 y  


厂 (  , )(0 , 即, (   )(1 厂 (  . ) , 故, (  ) 在 区间 ( 0 ,  
]上 递 减 ;   叉固l 厂 (  )为 奇 函 数  在 关 于 原 点 的 对 称 区 间 上 

即 

+c=  

+c , 可推出  =  : ; 因此 . 若 .  

的单调 睦相 同, 因此可得 l 厂 (  )在区间 ( 一   , 一 √   上递增 在区间[一 √  , 0 )上递减 
若 “ <0, 设  >   .> 0 , 则显见l 厂 (   : )一  
:  

≠  : ,  . ≠y  故 确 定 该 函数 是 从 其 定 义 域 副值 域 上  的一 一 映 射 , 因 此 在 其 定 义 域 内 的 任 何 子 区 间 上 必 

. )  

存 在 反 函数 不 妨 设 

[  .  ] , 根 据 原 函 数 的 值 域 

二  ≥  

> 0 , O [ 1 f (   ) > 厂 l (   . ) , 所 以  
) 是 奇 函 数知 

剧为 其 反 函数 的定 义 域 知 :   若 求 函数 y=   十c (   p ,   。 j 的值域 , 可 

, (  ) 在区问( 0 , 十   ) 上递增 , 叉由  

, (  )在 区 间 ( 一   , 0 )上 也 递增 , 得证  

从  
为 函数 y  

+ c 中 解 出  志

一 ÷ , 由  

利 用 函 数  ) =  十 —  (  ≠0 ) 的单 调性 , 可方   便 地 求 出 当 其 自变 量 在 定 义域 内 的子 区 间 上取 值 的  
值 域 

≤   得 ,   ≤ 志
例3

一 ÷≤ 目 - 此 不 等 式 的 解 集 即  
+c ( P≤   ≤   )的值 域  的 值 域 

例1   求函数  =s i n   十÷

的值域 

求 函 数  =  

2 0 0 1年 第 l 0 期 

数 学 教 学 研 究 

略 解  由   =   鲁解 得 e   =   Z y  
)o ,   r  域为 ( 0 , 1 )   )o 一 可解 得 o (, < 】 t 故 值 



3 ≥ 5 , 得 l ( y ≤ 4 或 ÷≤ y < 1 ; 若  … 0 , 则  
例  当  e [  t   :时 , 求  的  

由 原 解 析 式 可 得  = 】 综 上 得 值 域 为 [ ÷ , 4 j ,  
值域.  

对形如  :  
8  ‘ + 6  

_ +   的分式函数求值域
+ C  

,  

或术其 自变量  在定义域 内的子区间上取 值时的值  域, 则 可 先 设  ≠ O .将 解 析 式 变 形 为 y =  
(  一 6 , c ,   , p为 常 数 , 其 中  一  非零 ]  

略解  为  Y  

l≤  ≤8 ,  
十1  

十l≠ O 解 析 式 可变 形 

3f  

十2   + 1 )十   ~2  
十 I  

【   々j “ 
的 形式 , 再设 t =   P, l l 根据 定理 l 求出t 的值域 然 


后 根据定堙 求 出,=  

+c 的值域 ; 当  =0 对,  

可直接根据函数 的原解析式 分析此 时无 函数 值 , 最  后综合上述两种情况 , 即得所求值域 

倒 4( I ) 求 函 数 , = } {   }  的 值 域 ;   ( Ⅱ ) 求 函 数 y =   妻 {   的 值 域  
略解
:  

( I)设  ≠ O , 则 

: =   ! !:(   : ±   ! ! ! ! =   !  
+3 x+4   十3   十4  

设  :   +   , 则 由定理 l可得 ≥4或 t ≤一4  

由 定 理 2 , 从 y   墨+ 1 中 解 出   = r  一 3 .  
解不等式 6


3 ≥ 4或 

一3≤ 一4 , 得  ≤  

(1 或 1<Y≤ 7 ; 当  :0 时,   :1 . 综上得值域为 
[   , 7 ]   ( Ⅱ)设 s l n x≠0 , 将解析式变形 为  
r  
s ln

  :  — +

s   3 l 眦

+ 

3  

—  
. 



+  


 

i 9  :s i n  十— 4 。




由   l≤ s l n   (O 或 0(s j  

≤ l 及 定 理 l , 得   ≤ ~ 5 或 I ≥ 5 , 从 y = 云 % + l 中  
解出t =   6  


3 , 解不 等式 

一 3≤ 一 5或r  

数 学 教 学 研 究 

2 0 0 1 年第 】 O期  

R由   =  

得 u=  1  

超过 2赢的分式函数的值域 , 其通 用性强 . 无论列 
的 取 值 范 围 有 无 限 制 均 适 用 

由   ; 竽得  ; 竽, 可 解 得 。   譬  
因此 , 所求值域是 【 0.   本 文 的 方 甚 对 求 分 子 分 母 中 自 变 量  的 次数 不 

参 考 文 献 

I   部 惠 耘 判 别 式 法 求 函数 值 域 的错 固 筒 析 【 J 】数 
学通讯, 1 9 9 9( 1 2 ): 1 5 .  

求数 列通 项的 若干 技巧 
虞  涛 
( 上 海 市 建平 中 学 2 0 0 1 3 5 )  

当前 高 考 命 题 改 革 主 张 谭 于 教 材 . 不 拘 泥 教  材” , 注重 能力的考查 , 有 关 数 列 的 解 答 题 占 有 较 大  的 比重 . 而求 数 列 的 通 项 往 往 在 其 中 唱 主 角 因 此 .  

“ , 用求差相消法可求得 。 .= n 十 ∑   )   2 求 商相 消 法  

如 果 数 列 递 推 式 可 变 形 为 左 边 成 相 邻 两 项 之 

通过递归数列关系式求 数列 柏通项继8 0 年代 中期又  再次成 为高考命 题的热 点及高考 复 习的重点 现荟 
粹 多届 高考 试 题 , 井归 纳小结若 干类求 数列通 项 的  
技巧   I 求 差 相 消 法 

商, 绐 n=i , 2 , 一等具 体数值 , 把所得的一系列等式 
两边分别相乘 . 消 击 中 间项 获 得 数列 的通 项 

伊   2 ( 2 O o o年垒国高考题 ) 设 ¨  。 是首项为 f  

的正项数列 , 且( n十i ) n : .   .
1 . 2 , 一) , 求 它 的通 项 公 式 

:十n   . . Ⅱ  =o . f   n=  

把递推公 式左边 变形成 相邻 的两项之 差, 给   =1 , 2 . 一 等具体数 值, 把 所 得 的 一系 列 等 式 两 边 分   别相加 , 消 去 中 间 项 获 得 数 列 的 通 项  例1 ( : 9   车垒国理科高考题 ) 已 知 数 列 

解   由条 件等式得  :÷
Ⅱ  …

L  

, 则  

n  

一  , 等 … ÷= 古  
:, f  ) ,  .   可  

)的图像是 自原点出发的一条折线 . 当  ≤ ,≤n  
+【 c   =0 , f , 2 . )时 . 谈雷 缘是斜率为 b  的 线 段   ( 正常数 6   1 ) . 设数列 i   I由 , (   j (   =1 , 2 . 一 )   定 义 (i) 求  . ,   和 t 的表达式 ; (1 I ) ( Ⅲ )略  

小 结  若 数 列 {  . } 满 足 

求商相消法得   =n l i  ^  
3   列 举 归 纳 法 

解  依 题 意 得   -  l ?   】  亡? 记   。 ,  
有  
一  

根据递推式, 绐出   =1 . 2 , 一 - 等具体数值 , 一一 
写出 。   ,   . 一 的表 达 式 , 井 从 中找 出 前  项 的 结 构   式 与 项 数  的 内在  系 , 对n   作 出 猜想 , 再崩数学归  

_ l 】 l _ :  
.一

J  

卫, c   )=  

(  

)…

】 ,  

纳 法给予证明  

则   , ~一  ( ÷j  ?  
= ∑(   一  ¨ )  

伊 j   3 ( 1 9 9 9年 6月北 京 海 淀 区 高 考 摸 拟 题 )已   知函数, c  ) 满足 。   ) : b十, (  )   ( n? 6≠ 0 )   ,

, ( I j =2 , 且, (   +2 ) =一 , ( 2一  )   (1) 求 函数  )的 解 析 式 :   】   ( Ⅱ) 若数列 { n . {的前   项 和 为  . 且当 …

1  



1  



。 。  

1  

l  

小 结  若 数 列 

I 满足 。   + . 一   = , c   n ) , n .:  

时 ^  ,   c )  2 , n 乏 2 时  ~  

÷  



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