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高三数学第一轮复习巩固与练习:二次函数



2011 年高三数学第一轮复习巩固与练习:二次函 数

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2011 年高三数学第一轮复习巩固与练习: 二次函数
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1. 分) (4 (2008?辽宁)若函数 y=(x+1) (x﹣a)为偶函数,则 a=( A.﹣2 B.﹣1 C.1 2. 分)若 f(x)=x ﹣ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是( (4 A.a>2 或 a<﹣2 B.﹣2<a<2 C.a≠±2 3. 分)若 f(x)=x ﹣x+a,f(﹣m)<0,则 f(m+1)的值为( (4 A.正数 B.负数 C.非负数
2 2 2

) D.2 ) D.1<a<3 ) D.与 m 有关 ) D.

4. 分)已知函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象是( (4 A. B. C.

5. 分)已知函数 f(x)=x +ax+b,且 f(x+2)是偶函数,则 f(1) (4 ,f( ) ,f( )的大小关系是( A.

2



B. C. D. f( )<f(1)<f( ) f(1)<f( )<f( ) f( )<f(1)<f( ) f( )<f( )<f(1)

6. 分)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12) (4 、4m, 不考虑树的粗细.现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的最大面积为 S, 若将这棵树围在花圃内,则函数 S=f(a) (单位 m )的图象大致是(
2



A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 2 7. 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b= _________ . 章 4 课时作业 7) (5 (2 8. 分)设方程 x ﹣mx+1=0 两根为 α,β,且 0<α<1,1<β<2,则实数 m 的取值范围是 _________ (5
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www.jyeoo.com 2 9. 分)已知定义在区间[0,3]上的函数 f(x)=kx ﹣2kx 的最大值为 3,那么实数 k 的取值范围为 (5 _________ . 三、解答题(共 3 小题,满分 0 分) 10.求下列二次函数的解析式: (1)图象顶点坐标为(2,﹣1) ,与 y 轴交点坐标为(0,11) ; (2)已知二次函数 f(x)满足 f(0)=1,且 f(x+1)﹣f(x)=2x. 11.已知函数 f(x)=x ﹣4ax+2a+6(a∈R) . (1)若函数的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若函数值为非负数,求函数 f(a)=2﹣a|a+3|的值域. 12.已知函数 f(x)=ax +2x+c(a、c∈N )满足:① f(1)=5;② 6<f(2)<11. (1)求 a、c 的值; (2)若对任意的实数 x∈[ , ],都有 f(x)﹣2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围.
2 * 2

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2011 年高三数学第一轮复习巩固与练习: 二次函数
参考答案与试题解析
一、选择题(共 6 小题,每小题 4 分,满分 24 分) 1. 分) (4 (2008?辽宁)若函数 y=(x+1) (x﹣a)为偶函数,则 a=( A.﹣2 B.﹣1 C.1

) D.2

考点: 偶函数。 分析: 本小题主要考查函数的奇偶性的定义:f(x)的定义域为 I,?x∈I 都有,f(﹣x)=f(x) .根据定义列出方 程,即可求解. 解答: 解:f(1)=2(1﹣a) ,f(﹣1)=0 ∵ f(x)是偶函数 ∴ 2(1﹣a)=0,∴ a=1, 故选 C. 点评: 本题主要考查偶函数的定义,对于函数的奇偶性问题要注意恰当的使用特殊值法.
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2. 分)若 f(x)=x ﹣ax+1 有负值,则实数 a 的取值范围是( (4 A.a>2 或 a<﹣2 B.﹣2<a<2 C.a≠±2

2

) D.1<a<3

考点: 一元二次不等式与二次函数。 专题: 计算题。 2 分析: 欲使 f(x)=x ﹣ax+1 有负值,利用二函数的图象知,f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,再根据根的 判别式即可求得实数 a 的取值范围. 解答: 解:f(x)有负值, 则必须满足 f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点,
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其充要条件是:△ =(﹣a) ﹣4>0,a >4 即 a>2 或 a<﹣2. 故选 A. 点评: 本小题主要考查一元二次不等式的应用、函数的解析式、恒成立问题等基础知识,考查运算求解能力,考 查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题. 3. 分)若 f(x)=x ﹣x+a,f(﹣m)<0,则 f(m+1)的值为( (4 A.正数 B.负数 C.非负数
2

2

2

) D.与 m 有关

考点: 二次函数的性质。 专题: 整体思想。 分析: 根据 f(﹣m)小于 0,把﹣m 代入 f(x)的解析式中得到关于 m 的二次三项式小于 0,然后再把 x=m+1 代 入 f(x)的解析式中,利用完全平方公式化简,合并后利用刚才得到的式子小于 0 即可判断 f(m+1)也小 于 0. 解答: 解:∵ f(﹣m)<0, 2 ∴ +m+a<0, m 2 2 ∴ f(m+1)=(m+1) ﹣(m+1)+a=m +m+a<0. 故选 B. 点评: 此题考查学生掌握二次函数的性质,是一道基础题.
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www.jyeoo.com 2 4. 分)已知函数 y=ax +bx+c,如果 a>b>c,且 a+b+c=0,则它的图象是( (4 A. B. C. ) D.

考点: 专题: 分析: 解答:

二次函数的图象。 数形结合。 先依据条件判断 a>0,且 c<0,联系二次函数的图象特征,开口方向、及与 y 轴的交点的位置,选出答案. 解:∵ a>b>c,且 a+b+c=0,得 a>0,且 c<0,∴ f(0)=c<0, 2 ∴ 函数 y=ax +bx+c 的图象开口向上,与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴上, 故选 D. 点评: 本题考查二次函数的图象特征,由二次函数的二次项的系数符号确定开口方向,由 c 值确定图象与 y 轴的 交点的位置.
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5. 分)已知函数 f(x)=x +ax+b,且 f(x+2)是偶函数,则 f(1) (4 ,f( ) ,f( )的大小关系是( A.

2



B. C. D. f( )<f(1)<f( ) f(1)<f( )<f( ) f( )<f(1)<f( ) f( )<f( )<f(1)

考点: 偶函数;函数单调性的性质。 专题: 计算题。 分析: 比较大小,要用函数的单调性,而二次函数的单调性与对称轴有关,所以从对称轴入手,由 f(x+2)是偶 函数,得到关于直线 x=2 对称,再利用离轴远近函数值的变化求解. 解答: 解:∵ f(x+2)是偶函数 2 ∴ 函数 f(x)=x +ax+b 关于直线 x=2 对称, ∴ f(1)=f(3) , 又该函数图象开口向上, 当 x>2 时单调递增,
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故 f( )<f(3)=f(1)<f( ) 故选 A. 点评: 本题主要通过比较大小来考查二次函数的单调性和对称性,要抓两点,一是开口方向;二是对称轴. 6. 分)如图,有一直角墙角,两边的长度足够长,在 P 处有一棵树与两墙的距离分别是 a m(0<a<12) (4 、4m, 不考虑树的粗细.现在想用 16m 长的篱笆,借助墙角围成一个矩形的花圃 ABCD.设此矩形花圃的最大面积为 S, 2 若将这棵树围在花圃内,则函数 S=f(a) (单位 m )的图象大致是( )

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www.jyeoo.com A. B. C. D.

考点: 函数的图象与图象变化。 专题: 分类讨论。 分析: 为求矩形 ABCD 面积的最大值 S,可先将其面积表达出来,又要注意 P 点在长方形 ABCD 内,所以要注意 分析自变量的取值范围,并以自变量的限制条件为分类标准进行分类讨论. 解答: 解:设 AD 长为 x,则 CD 长为 16﹣x 又因为要将 P 点围在矩形 ABCD 内, ∴ a≤x≤12 则矩形 ABCD 的面积为 x(16﹣x) , 当 0<a≤8 时,当且仅当 x=8 时,S=64 当 8<a<12 时,S=a(16﹣a)
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S= 分段画出函数图形可得其形状与 C 接近 故选 C. 点评: 解决本题的关键是将 S 的表达式求出来,结合自变量的取值范围,分类讨论后求出 S 的解析式. 二、填空题(共 3 小题,每小题 5 分,满分 15 分) 2 7. 分)已知函数 f(x)=x ﹣2x+2 的定义域和值域均为[1,b],则 b= 2 . 章 4 课时作业 7) (5 (2 考点: 函数的定义域及其求法;函数的值域。 分析: 根据二次函数对称性,定义域和值域均为[1,b],是一个单调区间,不难求解. 2 解答: 解:∵ f(x)=(x﹣1) +1,∴ f(x)在[1,b]上是增函数, 2 2 f(x)max=f(b) f(b)=b,∴ ﹣2b+2=b,∴ ﹣3b+2=0,∴ 或 1(舍) ,∴ b b b=2 . 故答案为:2 点评: 本题考查函数的定义域及其求法,函数的值域,是基础题.
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8. 分)设方程 x ﹣mx+1=0 两根为 α,β,且 0<α<1,1<β<2,则实数 m 的取值范围是 (5

2



考点: 一元二次方程的根的分布与系数的关系。 专题: 计算题。 2 分析: 构造二次函数 f(x)=x ﹣mx+1,根据一元二次函数的性质与图象知,考查 x=1,0,2 处的函数值的符号 即可. 解答: 解:方程 x2﹣mx+1=0 对应的二次函数 f(x)=x2﹣mx+1, 2 方程 x ﹣mx+1=0 两根根为 α,β,且 0<α<1,1<β<2,
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解得



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www.jyeoo.com 故答案为: 点评: 本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系.考查一元二次函数的图象与性质. 9. 分)已知定义在区间[0,3]上的函数 f(x)=kx ﹣2kx 的最大值为 3,那么实数 k 的取值范围为 (5 {1,﹣3} . 考点: 二次函数的性质;函数最值的应用。 专题: 计算题。 分析: 先用配方法将函数变形,求出其对称轴,再根据开口方向,确定函数的单调性,明确取最大值的状态,再 计算. 2 解答: 解析:∵ f(x)=k(x﹣1) ﹣k, (1)当 k>0 时,二次函数图象开口向上,
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2

当 x=3 时,f(x)有最大值,f(3)=k?3 ﹣2k×3=3k=3 ∴ k=1; (2)当 k<0 时,二次函数图象开口向下, 当 x=1 时,f(x)有最大值,f(1)=k﹣2k=﹣k=3 ∴ k=﹣3. (3)当 k=0 时,显然不成立. 故 k 的取值集合为:{1,﹣3}. 故答案为:{1,﹣3} 点评: 本题主要考查函数最值的求法,基本思路是:二次项系数位置有参数时,先分类讨论,再确定对称轴和开 口方向,明确单调性,再研究函数最值. 三、解答题(共 3 小题,满分 0 分) 10.求下列二次函数的解析式: (1)图象顶点坐标为(2,﹣1) ,与 y 轴交点坐标为(0,11) ; (2)已知二次函数 f(x)满足 f(0)=1,且 f(x+1)﹣f(x)=2x. 考点: 二次函数的性质。 专题: 计算题。 分析: (1)因为抛物线的顶点坐标已知,所以根据顶点坐标设出抛物线的顶点式,把(0,11)代入即可求出 a 的值; (2)设出二次函数的一般式,由 f(0)=1,代入可得 c 的值,然后把 f(x+1)和 f(x)分别代入到 f(x+1) ﹣f(x)=2x 中,根据多项式相等时系数相等的方法即可求出 a 与 b 的值,把 a,b 和 c 的值代入即可确定 出 f(x)的解析式. 2 解答: 解: (1)设 y=a(x﹣2) ﹣1. 将(0,11)代入可得:11=4a﹣1,于是 a=3, 2 2 所以 y=3(x﹣2) ﹣1=3x ﹣12x+11. 2 (2)设二次函数 f(x)=ax +bx+c(a≠0) , 由 f(0)=1,可知 c=1. 2 2 而 f(x+1)﹣f(x)=[a(x+1) +b(x+1)+c]﹣(ax +bx+c)=2ax+a+b, 由 f(x+1)﹣f(x)=2x,可得 2a=2,a+b=0. 因而 a=1,b=﹣1, 2 所以 f(x)=x ﹣x+1. 点评: 此题考查学生会利用待定系数法求函数的解析式,掌握多项式相等的条件和二次函数的性质,是一道综合 题.
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www.jyeoo.com 2 11.已知函数 f(x)=x ﹣4ax+2a+6(a∈R) . (1)若函数的值域为[0,+∞) ,求 a 的值; (2)若函数值为非负数,求函数 f(a)=2﹣a|a+3|的值域. 考点: 函数的值域。 专题: 计算题。 分析: (1)二次函数的值域,可以结合二次函数的图象去解答,这里二次函数图象开口向上,△ 时,值域为[0, ≤0 +∞) (2)在(1)的结论下,化简函数 f(a) ,转化为求二次函数在闭区间上的最值问题. 2 解答: 解: (1)∵ 函数的值域为[0,+∞) ,即二次函数 f(x)=x ﹣4ax+2a+6 图象不在 x 轴下方, 2 2 ∴=0,即 16a ﹣4(2a+6)=0,∴ ﹣a﹣3=0, △ 2a
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解得:a=﹣1 或 a= . (2)由(1)知,对一切 x∈R 函数值均为非负数, 有△ ≤0,即﹣1≤a≤ ;∴ a+3>0, ∵ f(a)=2﹣a|a+3|=﹣a ﹣3a+2=﹣ ∴ 二次函数 f(a)在 ∴ f
2 2

+

,其中



上单调递减. ≤f(a)≤4,

≤f(a)≤f(﹣1) ,即﹣ .

∴ f(a)的值域为

点评: 本题属于二次函数的值域问题,通常结合二次函数的图象,还是容易解得问题. 12.已知函数 f(x)=ax +2x+c(a、c∈N )满足:① f(1)=5;② 6<f(2)<11. (1)求 a、c 的值; (2)若对任意的实数 x∈[ , ],都有 f(x)﹣2mx≤1 成立,求实数 m 的取值范围.
2 *

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义;函数恒成立问题。 专题: 计算题。 分析: (1)把条件① f(1)=5;② 6<f(2)<11 代入到 f(x)中求出 a 和 c 即可;

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(2)不等式 f(x)﹣2mx≤1 恒成立?2(1﹣m)≤﹣(x+ )在[ , ]上恒成立,只需要求出[﹣(x+ )]min= ﹣ ,然后 2(1﹣m)≤﹣ 求出 m 的范围即可. 解答: 解: (1)∵ f(1)=a+2+c=5, ∴ c=3﹣a.① 又∵ 6<f(2)<11,即 6<4a+c+4<11,② 将① 式代入② 式,得﹣ <a< ,又∵ a、c∈N ,∴ a=1,c=2. (2)由(1)知 f(x)=x +2x+2. 证明:∵ x∈[ , ],∴ 不等式 f(x)﹣2mx≤1 恒成立?2(1﹣m)≤﹣(x+ )在[ , ]上恒成立. 易知[﹣(x+ )]min=﹣ ,
2 *

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www.jyeoo.com 故只需 2(1﹣m)≤﹣ 即可. 解得 m≥ . 点评: 考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力,理解函数最值及几何意义的能力,理解不等式恒成立的能 力.

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www.jyeoo.com 参与本试卷答题和审题的老师有:sllwyn;wodeqing;qiss;caoqz;杨南;Mrwang;742048;yhx01248(排名不分 先后)
菁优网 2012 年 9 月 25 日

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