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§2.1数列的概念与简单表示法(2)



§2.1 数列的概念与简单表示法(2)
学习目标
1. 了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同; 2. 会由递推公式写出数列的前几项,并掌握求简单数列的通项公式的方法.

学习过程
一、课前准备 (预习教材 P31 ~ P34 ,找出疑惑之处) 复习 1:什么是数列?什么是数列的通项公式?

复习 2

:数列如何分类?

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:数列的表示方法
问题: 观察钢管堆放示意图,寻 系? 1. 通项公式法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的一个通项公式是 2. 图象法: 数列的图形是 侧,而点的个数取决于数列的 化而变化的趋势. ,因为横坐标为 数,所以这些点都在 y 轴的 .从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变 找每层的钢管数 a n 与层数 n 之间有何关

.

3. 递推公式法: 递推公式:如果已知数列 ?an ? 的第 1 项(或前几项),且任一项 a n 与它的前一项 an ?1 (或前 n 项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 试试:上图中相邻两层的钢管数 a n 与 an ?1 之间关系的一个递推公式是 4. 列表法: 试试:上图中每层的钢管数 a n 与层数 n 之间关系的用列表法如何表示? .

反思:所有数列都能有四种表示方法吗?

※ 典型例题
a1 ? 1 ? ? 例 1 设数列 ?an ? 满足 ? 写出这个数列的前五项. 1 ? an ? 1 ? a (n ? 1). n ?1 ?

变式:已知 a1 ? 2 , an ?1 ? 2an ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n .

小结:由递推公式求数列的项,只要让 n 依次取不同的值代入递推公式就可求出数列的项. 例 2 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n , 那么 a2007 ? ( A. 2003×2004 C. 2007×2006 B. 2004×2005 D. 20042 ).

变式:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 , an ?1 ? an ? 2n ,求 a n .

小结:由递推公式求数列的通项公式,适当的变形与化归及归纳猜想都是常用方法. ※ 动手试试 2 练 1. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , 且 an?1 ?an ? an ?an1 (n ? 2 ) , 求 a3 , a4 . an? ? 0 a2 ? , ? ? 2a 1 n? ? 1 3

练 2.(2005 年湖南)已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 0 ,
an ?1 ? an ? 3 3an ? 1

( n ? N * ),则 a20 ? ( C. 3 D.



.

A.0

B.- 3

3 2

练 3. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 2 , a17 ? 66 ,通项公式是项数 n 的一次函数. ⑴ 求数列 ?an ? 的通项公式; ⑵ 88 是否是数列 ?an ? 中的项.

三、总结提升 ※ 学习小结 1. 数列的表示方法; 2. 数列的递推公式. ※ 知识拓展 n 刀最多能将比萨饼切成几块? 意大利一家比萨饼店的员工乔治喜 欢将比萨饼切成形状各异的小块, 以便 出售. 他发现一刀能将饼切成两块, 两 刀最多能切成 4 块, 而三刀最多能切成 7 块(如图).请你帮他算算看,四刀 最多能将饼切成多少块?n 刀呢? 解析:将比萨饼抽象成一个圆,每 一刀的切痕看成圆的一条弦 . 因为任 意两条弦最多只能有一个交点, 所以第 n 刀最多与前 n-1 刀的切痕都各有一个不同的交点, 因此第 n 刀的切痕最多被前 n-1 刀分成 n 段,而每一段则将相应的一块饼分成两块. 也就 是说 n 刀切下去最多能使饼增加 n 块. 记刀数为 1 时,饼的块数最多为 a1 ,……,刀数为 n 时,饼的块数最多为 a n ,所以 a n = an ?1 ? n .

由此可求得 a n =1+ n( n ? 1) . 2

学习评价
※ 自我评价 你完成本节导学案的情况为( ). A. 很好 B. 较好 C. 一般 D. 较差 ※ 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 已知数列 an ?1 ? an ? 3 ? 0 ,则数列 ?an ? 是( ).
A. 递增数列 B. 递减数列 C. 摆动数列 D. 常数列 2. 数列 ?an ? 中, an ? ?2n2 ? 9n ? 3 ,则此数列最大项的值是( A. 3 B. 13 C. 13

).

1 D. 12 8 3. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ? an ? 2 (n≥1),则该数列的通项 an ? (
B. n(n ? 1) n(n ? 1) D. 2 1 4. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ? (?1)n ?2an?1 (n≥2),则 a5 ? 3 1 1 5. 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? , an ?1 ? 1 ? (n≥2), an 2 则 a6 ? . A. n(n ? 1) n(n ? 1) C. 2

).

.

1. 数列 ?an ? 中, a1 =0, an ?1 = a n +(2n-1) (n∈N),写出前五项,并归纳出通项公式.

课后作业

2. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 , an ?1 ?

2an (n ? N ) ,写出前 5 项,并猜想通项公式 a n . an ? 2



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