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2015届高考数学热点题型训练:第3章 第1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数含解析



第一节

任意角和弧度制及任意角的三角函数

考点一

角的集合表示及象限角的判定

[例 1] (1)写出终边在直线 y= 3x 上的角的集合; 6π θ (2)若角 θ 的终边与 角的终边相同,求在[0,2π )内终边与 角的终边相同的角; 7 3 (3)已知角 α 为第三象限角,试确定 2α 的

终边所在的象限. π [自主解答] (1)∵在(0,π )内终边在直线 y= 3x 上的角是 , 3 ? ? π ∴终边在直线 y= 3x 上的角的集合为?α |α = +kπ ,k∈Z?. 3 ? ? 6π (2)∵θ = +2kπ (k∈Z), 7 θ 2π 2kπ ∴ = + (k∈Z). 3 7 3 2π 2kπ 3 18 依题意 0≤ + <2π ?- ≤k< ,k∈Z. 7 3 7 7 θ 2π 20π 34π ∴k=0,1,2,即在[0,2π )内终边与 相同的角为 , , . 3 7 21 21 3π (3)由 α 是第三象限角,得 π +2kπ <α < +2kπ (k∈Z), 2 ∴2π +4kπ <2α <3π +4kπ (k∈Z). ∴角 2α 的终边在第一、二象限及 y 轴的非负半轴. 【互动探究】 α 在本例(3)的条件下,判断 为第几象限角? 2 3π 解:∵π +2kπ <α < +2kπ (k∈Z), 2 π α 3π ∴ +kπ < < +kπ (k∈Z). 2 2 4 π α 3π 当 k=2n(n∈Z)时, +2nπ < < +2nπ , 2 2 4 3π α 7π 当 k=2n+1(n∈Z)时, +2nπ < < +2nπ , 2 2 4 α ∴ 为第二或第四象限角. 2 【方法规律】 象限角和终边相同角的判断及表示方法 (1)若要确定一个绝对值较大的角所在的象限,一般是先将角化为 2kπ +α (0≤α < 2π )(k∈Z)的形式,然后再根据 α 所在的象限予以判断. (2)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出这个角的终边相 同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数 k 赋值来求得所需角.

1

1.若 α =k·180°+45°(k∈Z),则 α 在( ) A.第一或第三象限 B.第一或第二象限 C.第二或第四象限 D.第三或第四象限 解析:选 A 当 k 为偶数时,α 在第一象限;当 k 为奇数时,α 在第三象限. 2.设集合 M= ? x x ? A.M=N C.N?M

? ?

k k ? ? ? · 180 ? 45 , k ? Z ? ,N= ? x x ? · 180 ? 45 , k ? Z ? ,那么 2 4 ? ? ?
( B.M?N D.M∩N=? )

解析: 选 B 法一: 由于 M= ? x x ? 225°,…},

? ?

k ? -45°, 45°, 135°, · 180 ? 45 , k ? Z ? ={…, 2 ?

N= ? x x ? · 180 ? 45 , k ? Z ? ={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,
225°,…},显然有 M?N. 法二:由于 M 中,x= ·180°+45°=k·90°+45°=45°·(2k+1),2k+1 是奇 2 数;而 N 中,x= ·180°+45°=k·45°+45°=(k+1)·45°,k+1 是整数,因此必 4 有 M?N. 考点二 弧度制的应用

? ?

k 4

? ?

k

k

[例 2] 已知扇形的圆心角是 α ,半径为 R,弧长为 l. (1)若 α =60°,R=10 cm,求扇形的弧长 l; (2)若扇形的周长为 20 cm,当扇形的圆心角 α 为多少弧度时,这个扇形的面积最大? π [自主解答] (1)∵α =60°= , R=10 cm, 3 π 10π ∴l=Rα =10× = cm. 3 3 (2)∵扇形的周长为 20 cm,∴2R+l=20, 即 2R+Rα =20, 1 2 1 2 ∴S= R α = R(20-2R)=-R +10R 2 2 2 =-(R-5) +25, 20-10 ∴当 R=5 时,扇形的面积最大,此时 α = =2, 5 即 α =2 弧度时,这个扇形的面积最大. 【互动探究】 在本例(1)的条件下,求扇形的弧所在的弧形的面积. 1 2 1 2 π 1 π 1 3 2 2 解:设弧形的面积为 S,则 S=S 扇-S△= R α - R sin = ×10 × - ×10 × = 2 2 3 2 3 2 2 3? ?50π ?π -25 3? 50? - ?=? ?cm2. ? ?3 2 ? ? 3

2

【方法规律】 应用弧度制解决问题的方法 (1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度. (2)求扇形面积最大值的问题时, 常转化为二次函数的最值问题, 利用配方法使问题得 到解决. (3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.

1.设扇形的周长为 8 cm,面积为 4 cm ,则扇形的圆心角的弧度数是________. 解析:设扇形所在圆的半径为 r cm,则扇形的弧长 l=8-2r. 1 由题意得 S= (8-2r)×r=4, 2 2 整理得 r -4r+4=0,解得 r=2, 即 l=4,故|α |= =2. 答案:2 2.已知扇形的圆心角是 α =120°,弦长 AB=12 cm,求弧长 l.

2

l r

解:设扇形的半径为 R cm,如图. 6 由 sin 60°= ,得 R=4 3 cm.

R

2π 8 3π 故 l=|α |·R= ×4 3= cm. 3 3 高频考点 考点三 三角函数的定义

1.三角函数的定义是高考的常考内容,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小, 属中低档题. 2.高考对三角函数定义的考查主要有以下几个命题角度: (1)利用三角函数的定义求三角函数值; (2)三角函数值的符号和角的位置的判断; (3)与向量等问题形成交汇问题. [例 3] (1)(2011·江西高考)已知角 θ 的顶点为坐标原点,始边为 x 轴的正半轴,若 2 5 P(4,y)是角 θ 终边上一点,且 sin θ =- ,则 y=________. 5 (2)(2012·山东高考)

如图,在平面直角坐标系 xOy 中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点

P 的位置在(0,0),圆在 x 轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时, OP 的坐标为
___________. (3)(2014·日照模拟)已知点 P(sin θ cos θ ,2cos θ )位于第三象限,则角 θ 是第
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________象限角. 2 5 y y 2 2 2 [自主解答] (1)r= x +y = 16+y ,且 sin θ =- ,所以 sin θ = = 2 5 r 16+y 2 5 =- ,所以 θ 为第四象限角,解得 y=-8. 5 (2)

如图,连接 AP,分别过 P,A 作 PC,AB 垂直 x 轴于 C,B 点,过 A 作 AD⊥PC 于 D 点.由 题意知 BP 的长为 2. ∵圆的半径为 1,∴∠BAP=2, π 故∠DAP=2- . 2 ? π? ∴DP=AP·sin?2- ?=-cos 2, 2? ? ? π? ∴PC=1-cos 2,DA=APcos?2- ?=sin 2, 2? ? ∴OC=2-sin 2.故 OP =(2-sin 2,1-cos 2). (3)因为点 P(sin θ cos θ ,2cos θ )位于第三象限,
?sin θ >0, ? 所以 sin θ cos θ <0,2cos θ <0,即? ?cos θ <0, ? 所以 θ 为第二象限角. [答案] (1)-8 (2)(2-sin 2,1-cos 2) (3)二

三角函数定义问题的常见类型及解题策略 (1)利用定义求三角函数值.在利用三角函数的定义求角 α 的三角函数值时,若角 α 终边上点的坐标是以参数的形式给出的, 则要根据问题的实际及解题的需要对参数进行分类 讨论.任意角的三角函数值仅与角 α 的终边位置有关,而与角 α 终边上点 P 的位置无关. (2)三角函数值的符号及角的位置的判断.已知一角的三角函数值(sin α ,cos α ,tan α )中任意两个的符号,可分别确定出角终边所在的可能位置,二者的交集即为该角的终边 位置.注意终边在坐标轴上的特殊情况. (3)与向量等问题形成的交汇问题.抓住问题的实质,寻找相应的角度,然后通过解三 角形求得解. 2π 1. 点 P 从(1,0)出发, 沿单位圆逆时针方向运动 弧长到达 Q 点, 则点 Q 的坐标为( 3 3? ? 1 A.?- , ? ? 2 2? 3? ? 1 C.?- ,- ? 2? ? 2 B.?-

)

? ? ? D.?- ?

3 1? ,- ? 2 2? 3 1? , ? 2 2?

2π 1 2π 解析: 选 A 由三角函数定义可知点 Q 的坐标(x, y)满足 x=cos =- , y=sin = 3 2 3

4

3 . 2 2.若三角形的两个内角 α ,β 满足 sin α cos β <0,则该三角形的形状为________. 解析:∵sin α cos β <0,且 α ,β 是三角形的两个内角. ∴sin α >0,cos β <0,∴β 为钝角.故三角形为钝角三角形. 答案:钝角三角形 4 3.若角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°),且 cos α =- ,则 m 的值为________. 5 -8m 4 2 解析:∵r= 64m +9,∴cos α = =- , 2 5 64m +9 4m 1 1 ∴m>0, 2 = ,∴m= . 64m +9 25 2 1 答案: 2 —————————[课堂归纳——通法领悟]———————————————— 条规律——三角函数值的符号规律 三角函数值在各象限的符号规律概括为:一全正、二正弦、三正切、四余弦. 个技巧——三角函数的定义及单位圆的应用技巧 (1)在利用三角函数定义时,点 P 可取终边上异于原点的任一点,如有可能则取终边 与单位圆的交点,|OP|=r 一定是正值. (2)在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧. 个注意点——理解角的概念、弧度制及三角函数线应注 意的问题 (1)第一象限角、锐角、小于 90°的角是概念不同的三类角,第一类是象限角,第二 类、第三类是区间角. (2)角度制与弧度制可利用 180°=π rad 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制 度必须一致,不可混用. (3)要熟记 0°~360°间特殊角的弧度表示. (4)要注意三角函数线是有向线段.
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