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2014届高三数学(第25讲 平面向量及其线性运算--第27讲平面向量的数量积与平面向量应用举例,含精细解析)



45 分钟滚动基础训练卷(六) (考查范围:第 25 讲~第 27 讲 分值:100 分)

一、选择题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) → → 1.△ABC 中,点 D 在边 AB 上,CD 平分∠ACB.若CB=a,CA=b,|a|=1,|b|=2,则 → CD=( ) 1 2 2

1 A. a+ b B. a+ b 3 3 3 3 3 4 4 3 C. a+ b D. a+ b 5 5 5 5 2.若向量 a=(cosα ,sinα ),b=(cosβ ,sinβ ),a≠± b,则 a 与 b 一定满足( ) A.a 与 b 的夹角等于 α-β B.a⊥b C.a∥b D.(a+b)⊥(a-b) 3.设 a,b 是非零向量,若函数 f(x)=(xa+b)· (a-xb)的图象是一条直线,则必有( ) A.a⊥b B.a∥b C.|a|=|b| D.|a|≠|b| 4.已知下列命题:①若 k∈R,且 kb=0,则 k=0 或 b=0;②若 a· b=0,则 a=0 或 b =0;③若不平行的两个非零向量 a,b,满足|a|=|b|,则(a+b)· (a-b)=0;④若 a 与 b 平行, 则 a· b=|a|· |b|.其中真命题的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.已知向量 a,e 满足:a≠e,|e|=1,对任意 t∈R,恒有|a-te|≥|a-e|,则( ) A.a⊥e B.a⊥(a-e) C.e⊥(a-e) D.(a+e)⊥(a-e) → → 6. 如图 G6-1, 在△ABC 中, AB=BC=4, ∠ABC=30°, 是边 BC 上的高, AD 则AD· AC 的值等于( )

图 G6-1 A.0 B.4 C.8 D.-4 π 7.等腰直角三角形 ABC 中,A= ,AB=AC=2,M 是 BC 的中点,P 点在△ABC 内 2 → → 部或其边界上运动,则BP·AM的取值范围是( ) A.[-1,0] B.[1,2] C.[-2,-1] D.[-2,0] → → → → 8.已知两点 M(-3,0),N(3,0),点 P 为坐标平面内一动点,且|MN|·|MP|+MN·NP =0,则动点 P(x,y)到点 M(-3,0)的距离 d 的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.6 二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分) 9.在长江南岸渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向东流,渡船的速度为 25 km/h.渡船要

垂直地渡过长江,则航向为________. → → → → 10.△ABC 的外接圆的圆心为 O,两条边上的高的交点为 H,OH=m(OA+OB+OC), 则实数 m=________. → → 11. 在面积为 2 的△ABC 中, F 分别是 AB, 的中点, P 在直线 EF 上, E, AC 点 则PC· PB → +BC2 的最小值是________. 三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 14 分,共 42 分,解答应写出文字说明,证明过 程或演算步骤) 12.已知向量 a,b 满足|a|=|b|=1,且|a-kb|= 3|ka+b|,其中 k>0. (1)试用 k 表示 a· b,并求出 a· 的最大值及此时 a 与 b 的夹角 θ 的值; b (2)当 a· 取得最大值时,求实数 λ,使|a+λb|的值最小,并对这一结果作出几何解释. b

13.[2013· 郑州模拟] 已知二次函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f (1-x)=f(1+x)成立,设向 1 量 a=(sinx, , ?2sinx,2?, 2) b=? b) ? c=(cos2x,1),d=(1,2),当 x∈[0,π ]时,求不等式 f(a· >f(c· d)的解集.

14.如图 G6-2,平面上定点 F 到定直线 l 的距离|FM|=2,P 为该平面上的动点,过 P → → → → 作直线 l 的垂线,垂足为 Q,且(PF+PQ)· -PQ)=0. (PF (1)试建立适当的平面直角坐标系,求动点 P 的轨迹 C 的方程; → → → → (2)过点 F 的直线交轨迹 C 于 A,B 两点,交直线 l 于点 N,已知NA=λ1AF,NB=λ2BF, 求证:λ1+λ2 为定值.

图 G6-2

45 分钟滚动基础训练卷(六) → → → 2→ 2 → → 2 1.B [解析] 由角平分线的性质得|AD|=2|DB|,即有AD= AB= (CB-CA)= (a-b). 3 3 3 2 2 1 → → → 从而CD=CA+AD=b+ (a-b)= a+ b.故选 B. 3 3 3 2.D [解析] ∵a+b=(cosα +cosβ ,sinα +sinβ ), a-b=(cosα -cosβ ,sinα -sinβ ), ∴(a+b)· (a-b)=cos2α -cos2β +sin2α -sin2β =1-1=0, 可知(a+b)⊥(a-b). 3.A [解析] f(x)=(xa+b)· (a-xb)的图象是一条直线, 而(xa+b)· (a-xb)=x|a|2-x2a·b+a· b-x|b|2, 故 a· b=0,又∵a,b 为非零向量,∴a⊥b,故应选 A. 4.C [解析] ①是对的;②也可能 a⊥b;③(a+b)·(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2=0; ④平行时分两向量的夹角为 0°和 180°两种,a· b=|a|· |b|cosθ =± |b|. |a|· 2 2 5.C [解析] 由条件可知|a-te| ≥|a-e| 对 t∈R 恒成立,又∵|e|=1, ∴t2-2a· t+2a· e· e-1≥0 对 t∈R 恒成立, 2 即 Δ=4(a· -8a· e) e+4≤0 恒成立. ∴(a· e-1)2≤0 恒成立, 而(a· e-1)2≥0,∴a· e-1=0. 2 即 a· e=1=e ,∴e· (a-e)=0,即 e⊥(a-e). 3→ → 6.B [解析] BD=ABcos30°=2 3,所以BD= BC. 2 3→ → → → → → → → 故AD=BD-BA= BC-BA.又AC=BC-BA. 2 3→ 3→ → 3 → → → → → → → → → 所以AD·AC=? BC-BA?·(BC-BA)= BC2-?1+ ?BA·BC+BA2,BC2=BA2 2 2? ?2 ? ? → → =16,BC·BA=4×4×cos30°=8 3, 3 → → 代入上式得AD·AC=8 3-?1+ ?×8 3+16=4. 2? ? 7.D [解析] 以点 A 为坐标原点,射线 AB,AC 分别为 x 轴,y 轴的正方向建立平面 直角坐标系,则 B(2,0),M(1,1).设 P(x,y),则由于点 P 在△ABC 内部或其边界上运动, ?x≥0, ? → → → → → → 故?x+y≤2,BP=(x-2,y),AM=(1,1),BP·AM=x-2+y,所以BP·AM的取值范围

?y≥0. ?

是[-2,0]. 8.B → → → [解析] 因为 M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y), → NP=(x-3,y). → → → → 由|MN|·|MP|+MN·NP=0, 得 6 (x+3)2+y2+6(x-3)=0,化简得 y2=-12x,所以点 M 是抛物线 y2=-12x 的 焦点,所以点 P 到 M 的距离的最小值就是原点到 M(-3,0)的距离,所以 dmin=3. → → 9.北偏西 30° [解析] 如图,渡船速度为OB,水流速度为OA,船实际垂直过江的速 → → → → → 度为OD,依题意知,|OA|=12.5,|OB|=25,由于四边形 OADB 为平行四边形,则|BD|=|OA |,又 OD⊥BD,

∴在 Rt△OBD 中,∠BOD=30°,∴航向为北偏西 30°.

→ → → 10.1 [解析] 取 BC 的中点 D,则OB+OC=2OD,且 OD⊥BC,AH⊥BC. → → → → 由OH=m(OA+OB+OC), → → → → 可得OA+AH=m(OA+2OD), → → → ∴AH=(m-1)OA+2mOD. → → → → → → AH·BC=(m-1)· ·BC+2m· ·BC, OA OD → → 即 0=(m-1)· ·BC+0,故 m=1. OA → → → 11.2 3 [解析] 方法一:问题可转化为已知△PBC 的面积为 1,求PC·PB+BC2 的最 小值. 设△PBC 中,有 P,B,C 所对的边分别为 p,b,c, 由题设知 bcsinP=2, → → → ∴ PC · PB + BC 2 = bccosP + (b2 + c2 - 2bccosP) = b2 + c2 - bccosP ≥ 2bc - bccosP = 2(2-cosP) , sinP 2-cosP 从而进一步转化为求 的最小值.(可数形结合,可引入辅助角化为一个三角函数 sinP 的形式,也可用万能公式转化后换元等,下略) 方法二:建立坐标系,立即得目标函数. 由题设知,△PBC 的面积为 1,以 B 为原点,BC 所在直线为 x 轴,过点 B 与直线 BC 2 垂直的直线为 y 轴建立平面直角坐标系,设 C(a,0),P?t,a?(a>0), ? ? 2? → ? 2? → ? 则PB=?-t,-a?,PC=?a-t,-a?, a 2 4 3a2 4 → → → ∴PC·PB+BC2=-t(a-t)+ 2+a2=?t-2? + 2+ ≥0+2 3, ? ? a a 4 4 16 a → → → 当且仅当 t= ,a= 时取等号,∴PC·PB+BC2 的最小值是 2 3. 2 3 1+k2 12.解:(1)|a-kb|= 3|ka+b|?(a-kb)2=3(ka+b)2?a·b=- (k>0). 4k 1 1 1 ∴a·b=- ?k+k?≤- , ? 4? 2 2π 1 1 ∴a·b 的最大值为- ,此时 cosθ =- ,θ= . 2 2 3 2π 故 a 与 b 的夹角 θ 的值为 . 3 1 (2)由题意,(a· max=- , b) 2 1 2 3 故|a+λb|2=λ2-λ+1=?λ -2? + , ? ? 4 1 1 1 ∴当 λ= 时,|a+λb|的值最小,此时?a+2b?·b=0,这表明当?a+2b?⊥b 时,|a+λb| ? ? ? ? 2 的值最小. 13.解:设 f(x)的二次项系数为 m,由条件二次函数 f(x)对任意 x∈R,都有 f(1-x)=f(1

+x)成立得 f(x)的图象关于直线 x=1 对称,若 m>0,则当 x≥1 时,f(x)是增函数 ; 若 m<0,则当 x≥1 时,f(x)是减函数. 1 ? ∵a· b=(sinx,2)·2sinx, 2?=2sin2x+1≥1, ? ? c· d=(cos2x,1)· (1,2)=cos2x+2≥1, ∴当 m>0 时,f(a· b)>f(c· d)?f(2sin2x+1)>f(cos2x+2) 2 ? 2sin x+1>cos2x+2?1-cos2x+1>cos2x+2 π 3π ?cos2x<0?2kπ + <2x<2kπ + ,k∈Z, 2 2 π 3π ?kπ + <x<kπ + , k∈Z, 4 4 π 3π ∵0≤x≤π ,∴ <x< , 4 4 ? ? 3π π ? 当 m<0 时,同理可得不等式的解集为?x?0≤x< 或 <x≤π 4 4 ? ? ? 综上所述,不等式 f(a· b)>f(c· d)的解集是: ? ?π 3π ? ? ; 当 m>0 时,为?x <x< 4 ? ? ?4 ? ? 3π π ? 当 m<0 时,为?x?0≤x< 或 <x≤π . 4 4 ? ? ? 14.

解:(1)方法一:如图,以线段 FM 的中点为原点 O,以线段 FM 所在的直线为 y 轴建立 直角坐标系 xOy,则 F(0,1). 设动点 P 的坐标为(x,y),则动点 Q 的坐标为(x,-1), → → PF=(-x,1-y),PQ=(0,-1-y), → → → → 由(PF+PQ)· -PQ)=0,得 x2=4y. (PF → → → → → → 方法二:由(PF+PQ)· -PQ)=0,得|PQ|=|PF|. (PF 所以,动点 P 的轨迹 C 是抛物线,以线段 FM 的中点为原点 O,以线段 FM 所在的直 线为 y 轴建立直角坐标系 xOy,可得轨迹 C 的方程为 x2=4y.

(2)证明:方法一:如图,设直线 AB 的方程为 y=kx+1, A(x1,y1),B(x2,y2), 2 则 N?-k ,-1?. ? ? ? 2 ?x =4y, 联立方程组? 消去 y 得, ?y=kx+1, ? x2-4kx-4=0,Δ=(-4k)2+16>0, ?x1+x2=4k, ? 故? ? ?x1x2=-4. → → → → 由NA=λ1AF,NB=λ2BF得,

2 2 x1+ =-λ1x1,x2+ =-λ 2x2, k k 2 2 整理得,λ1=-1- ,λ2=-1- , kx1 kx2 2 1 1 λ 1+λ2=-2- ?x +x ? k ? 1 2?

2 x1+x2 2 4k =-2- · =-2+ · =0. k x1x2 k 4 → → → → 方法二:由已知NA=λ1AF,NB=λ2BF,得 λ1·λ 2<0. → → λ 1|AF| |NA| 于是, =- ,① → → |NB| λ 2|BF| 如图,过 A,B 两点分别作准线 l 的垂线,垂足分别为 A1,B1, → → → |NA| |AA1| |AF| 则有 = = ,② → → → |NB| |BB1| |BF| 由①、②得 λ1+λ2=0.



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