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2017届江苏省苏州市高三暑假自主学习测试试卷数学(扫描版)



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6

2017 届高三暑假自主学习测试试卷

>
数学参考答案及评分标准
正 题
1 3
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.

2016.9

?? 1,0?

2.

?x ? 1 ,使得 x 2 ? 2
8. ? 2
2

3. 2 ? i

4.

5. y ? x ? 1

6.30 11. (0, )

7. ? 1

9. 3 13. ( ,8)

10. ?

4?6 2 15

1 2

12. ( x ? 1) ? ( y ? ) ? 1
2

1 2

9 2

14. ?2

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 解: (1) 法一:在△ABC 中,由正弦定理,及 b cos C ? c cos B ? 2a cos A , 得 sin B cos C ? sin C cos B ? 2sin A cos A ,………………………………… 3 分 即 sin A ? 2sin A cos A , 因为 A ? (0,π) ,所以 sin A ? 0 ,所以 cos A ? 所以 A ?

1 ,…………………………6 分 2

π . ……………………………………………………………………8 分 3

解法二:在△ABC 中,由余弦定理,及 b cos C ? c cos B ? 2a cos A ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 得 b a ? b ? c ? c a ? c ? b ? 2a b ? c ? a ,…………………………3 分 2ab 2ac 2bc

所以 a 2 ? b2 ? c 2 ? bc ,
2 2 2 所以 cos A ? b ? c ? a ? 1 , ………………………………………………6 分 2bc 2

因为 A ? (0,π) ,所以 A ? π .…………………………………………………8 分 3
??? ? ??? ? (2)由 AB ? AC =cbcosA= 3 ,得 bc ? 2 3 ,………………………………11 分

所以△ABC 的面积为 S = 1 bc sin A ? 1 ? 2 3 sin 60? ? 3 . 2 2 2

……………… 14 分

16.证明: (1)连结 AC,因为正方形 ABCD 中 F 是 BD 的中点,则 F 是 AC 的中点,又 E 是 PC 的中点,在 △ CPA 中 , E F ∥ P A … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 3 分 且 PA ? 平面 PAD , EF ? 平面 PAD ,∴ EF ∥平面 PAD ……………………………………… 6 分
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(2)因为平面 PAD⊥平面 ABCD,平面 PAD∩平面 ABCD=AD,CD ? 平面 ABCD,又 CD⊥AD,所以 CD⊥平面 PAD, …………………………………………………………………………………8 分

又 PA ? 平面 PAD,∴CD⊥PA ,因为 EF//PA, ∴CD⊥EF……………………………………10 分 又 PA=PD=

? 2 AD,所以△PAD 是等腰直角三角形,且 ?APD ? ,即 PA⊥PD 2 2
………………………………………………………………13 分

又 EF//PA, ∴PD⊥EF

而 CD ∩ PD=D ,∴ PA ⊥平面 PDC ,又 EF ∥ PA ,所以 EF ⊥平面 PDC ……………………… 14 分

x2 y2 17.解: (1)① 由条件,可设椭圆的标准方程为 2 ? 2 ? 1 , a b
可知
2

9 1 ? 2 ? 1, c ? 2 2 2 a b
2 2

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·2 分

又a ?b ?c , 所以 a 2 ? 12, b 2 ? 4 ,

x2 y2 ? ?1 · 所以椭圆的标准方程为 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·4 分 12 4
② 当? ?

?
3

2 2 2 ? ?QF1 ? QF2 ? QF1 ? QF2 ? (2c) ? 32 16 所以 QF1 ? QF2 ? · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·8 分 3

时,有 ?

? ?QF1 ? QF2 ? 2a ? 4 3,

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·6 分

? x2 y2 ? ? ? 1 ,得 4 x 2 ? 6kx ? 3k 2 ? 12 ? 0 · (2)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ?12 4 · · · · · · ·10 分 ? ? y ? x?k

x1 ? x2 ? ?

3k 3k 2 ? 12 k 2 ? 12 , x1 x2 ? , y1 y2 ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·12 分 2 4 4

因为以 AB 为直径的圆经过坐标原点,则 OA? OB ? x1 x2 ? y1 y2 ? k 2 ? 6 ? 0 , 解得 k ? ? 6 ,此时 ? ? 120 ? 0 ,满足条件 因此 k ? ? 6 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·14 分 18. 解: (1)过 N 作 AB 的垂线,垂足为 F ;过 M 作 NF 的垂线,垂足为 G . RT ? BNF 在 中, BF ? 16 cos ? ,则 MG ? 20 ? 16 cos ? D 20 ? 16 cos ? N 在 RT ?MNG 中, MN ? ,· · · · · · · · · · · · · · 4分 由题意易得 CN ? 16(
第页

C

?
2

sin ?

?? )

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 6分
8

M A E F

G B

因此, W (? ) ? 2a ?

20 ? 16 cos ? ? ? 16a( ? ? ), sin ? 2

· · · · · · · · · · · · · · · · 7分

4 cos ? ? (0, ) 5

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 9分

, (2) W (? ) ? ?16a ? 8a

? 1 ? ,因为 (?1 , ) ,所以 ? ? ,· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 12 分 2 2 3 ? 4 (0, ) 设锐角 ? 1 满足 cos ?1 ? , ?1 ? 3 5
令W , (? )=0 , cos ? ? 当 ? ? (?1 , 当? ? (

4 ? 5cos ? (2 cos ? ? 1)(cos ? ? 2) =8a 2 sin ? sin 2 ?

?

, ) 时, W , · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 14 分 (? )>0 , W (? ) 单调递增.· 3 2 ? 8? ) a ,此时 MN ? 8 3 , NG ? 4 3 , NF ? 8 3 , 所以当 ? ? ,总造价 W 最小,最小值为 (16 3 ? 3 3
因此当 AM ? 4 3 米时,能使总造价最小.· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 16 分 19.解(1)∵ an?1 =3an ? 2n ?1 ,∴ an?1 ? n ? 1 ? 3(an ? n) . 又 a1 ? 2 ,∴ an ? 0, an ? n ? 0 ,故

? ?

3

) 时, W , (? )<0 , W (? ) 单调递减;

an?1 ? n ? 1 ?3, an ? n
………………………4 分

??a n ?n? 是以 3 为首项,公比为 3 的等比数列

(2)由(1)知道 an +n ? 3n ,?bn ? 3n ? n? . ………………………6 分 3 n(n ? 1) ?Tn ? 31 ? 32 ? L ? 3n ? (1 ? 2 ? 3 ? L ? n)? ? (3n ? 1) ? ? . ………………8 分 2 2

3 n(n ? 1) ? ? 39 ? 6? 恒成立 若 T3 为数列 ?Tn ? 中的最小项,则对 ?n ? N* 有 (3n ? 1) ? 2 2
即 3n?1 ? 81 ? (n2 ? n ?12)? 对 ?n ? N* 恒成立 36 1? 当 n ? 1 时,有 T1 ? T3 ? ? ? ; 5
2? 当 n ? 2 时,有 T2 ? T3 ? ? ? 9 ;
……………………10 分

………………12 分

3? 当 n ? 4 时, n2 ? n ?12 ? (n ? 4)(n ? 3) ? 0 恒成立,

?? ?

3n?1 ? 81 对 ?n ? 4 恒成立. n 2 ? n ? 12 3n ?1 ? 81 3n?1 (2n 2 ? 26) ? 162(n ? 1) ,则 f ( n ? 1 ) ? f ( n ) ? ? 0 对 ?n ? 4 恒成立, n 2 ? n ? 12 (n 2 ? 3n ? 10)(n 2 ? n ? 12)

令 f ( n) ?

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9

3n ?1 ? 81 在 n ? 4 时为单调递增数列. ? f ( n) ? 2 n ? n ? 12
?? ? f (4) ,即 ? ?
81 . 4
………………………15 分 ………………………16 分

81 . 4 1 20.解(1) f ?( x) ? 1 ? ,令 f ?( x) ? 0 ,则 x ? 1 , x

综上, 9 ? ? ?

当 t ? 1 时, f ( x) 在 ?t, t ?1? 上单调递增,
f ( x) 的最小值为 f (t ) ? t ? ln t ;
………………………1 分

当 0 ? t ? 1 时, f ( x) 在区间 ? t ,1? 上为减函数,在区间 ?1, t ?1? 上为增函数,
f ( x) 的最小值为 f (1) ? 1 .

综上,当 0 ? t ? 1 时, m(t ) ? 1 ;当 t ? 1 时, m(t ) ? t ? ln t .

…………………3 分

(2) h( x) ? x2 ? (a ? 1) x ? ln x ,对于任意的 x1, x2 ? (0, ??) ,不妨取 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 , 则由

h( x1 ) ? h( x2 ) ? 1, 可得 h( x1 ) ? h( x2 ) ? x1 ? x2 , x1 ? x2
………………………5 分

变形得 h( x1 ) ? x1 ? h( x2 ) ? x2 恒成立, 令 F ( x) ? h( x) ? x ? x2 ? (a ? 2) x ? ln x , 则 F ( x) ? x2 ? (a ? 2) x ? ln x 在 (0, ??) 上单调递增, 故 F ?( x) ? 2 x ? (a ? 2) ?
? 2x ? 1 ? 0 在 (0, ??) 恒成立, x

………………………7 分

1 ? ( a ? 2) 在 (0, ??) 恒成立. x 1 2 ? 2 2 ,当且仅当 x ? 时取 " ? " , x 2
………………………10 分

? 2x ?

?a ? 2 2 ? 2 .
(3)? f ( x) ?
a ? g ( x) , x

2 .x ? a( x ? 1 ) ? 2 x ?x ln

? x ? (0,1] ,? x ? 1? (1, 2] ,??x ? (0,1] 使得 a ?

2 x 2 ? x ln x 成立. x ?1

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10

令 t ( x) ?

2 x 2 ? x ln x 2 x 2 ? 3x ? ln x ? 1 ,则 t ?( x) ? , x ?1 ( x ? 1)2

………………………12 分

( x ? 1)(4 x ? 1) 1 ? 0 可得 x ? 或 x ? ?1 (舍) x 4 1 1 当 x ? (0, ) 时 y? ? 0 ,则 y ? 2 x2 ? 3x ? ln x ?1在 (0, ) 上单调递减; 4 4 1 1 当 x ? ( , ??) 时 y? ? 0 ,则 y ? 2 x2 ? 3x ? ln x ?1在 ( , ??) 上单调递增. 4 4 1 ? y ? ln 4 ? ? 0 8

令 y ? 2 x2 ? 3x ? ln x ?1,则由 y? ?

? t ?( x) ? 0 在 x ? (0,1] 上恒成立.

?t ( x) 在 (0,1] 上单调递增.
? a ? t (1) ,即 a ? 1 .
………………………15 分 ………………………16 分

? 实数 a 的最大值为 1 .

附加题
21.【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题 ,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 解:弦切角 ?PAE ? ?ABC ? 60? ,又 PA ? PE , 所以 △ PAE 为等边三角形,由切割线定理有 PA2 ? PD ? PB ? 9 , …………………5 分 所以 AE ? EP ? PA ? 3 , ED ? EP ? PD ? 2 , EB ? PB ? PE ? 6 , 由相交弦定理有: EC ? EA ? EB ? ED ? 12 , EC ? 12 ? 3 ? 4 .………………………10 分 B.选修 4—2:矩阵与变换 解:由条件可知 ? ∴?

? 1 a ? ? 2? ? 2? ? ? ?? ? ?1 ? , ??1 4 ? ?1 ? ? ?
………………… 5 分

?2 ? a ? 2? ,解得 a ? ? ? 2 . ??2 ? 4 ? ?

因此 A ? ?

? 1 2? ? 1 2? ? 1 2? ? ?1 10? 2 ,所以 A ? ? ? ?? ??? ?. ? ?1 4 ? ??1 4? ??1 4? ??5 14?

……………10 分

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:设 P ( ? ,? ) ,M ( ? ?,? ) , ∵ OM ? OP ? 12 ,∴ ?? ? ? 12 .

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11

∵ ? ? cos? ? 3 ,∴

12

?

? cos ? ? 3 .

则动点 P 的极坐标方程为 ? ? 4cos? . …………………… 5 分 ∵极点在此曲线上,∴方程两边可同时乘 ? , 得 ? 2 ? 4? cos? . ∴ x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 . D.选修 4—5:不等式选讲 解:证明:因为|m|+|n|≥|m-n|, 所以 | x ? 1 ? a | ? | x ? a |≥|x ? 1 ? a ? ( x ? a) |=| 2a ? 1| .…………………………… 6 分 又 a ≥2,故|2a ? 1| ≥3. 所以 | x ? 1 ? a | ? | x ? a | ≥3 .……………………………………… 10 分 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22. 解: (1)记“在一次游戏中摸出 3 个白球”为事件 A .
P( A) ?
1 C32 C2 1 ? . 2 2 C5 C3 5

……………………10 分

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 3分
1 5

故在一次游戏中摸出 3 个白球的概率 . (2) X 的所有可能取值为 0,1,2
P( X ? 0) ?

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 4分

3 3 9 3 21 7 7 49 1 7 . ? ? , P( X ? 1) ? C2 ? ? , P( X ? 2) ? ? ? 10 10 100 10 10 50 10 10 100

X 的分布列为

X
P

0
9 100

1
21 50

2
49 100

· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 8分 故 X 的数学期望 E ( X ) ? 0 ? (或:∵ X ~ B (2,
9 21 49 7 ? 1? ? 2 ? ? . 100 50 100 5

· · · · · · · · · · · · · · ·· · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · 10 分

7 7 7 ) ,∴ E ( X ) ? 2 ? ? ,同样给分) 10 5 10
2

23.解: (1)将 R(1, 2) 代入抛物线中,可得 p ? 2 ,所以抛物线方程为 y ? 4 x (2)设 AB 所在直线方程为 x ? m( y ? 1) ? 1(m ? 0) , A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 与抛物线联立

……3 分

? y2 ? 4x 得: ? ? x ? my ? m ? 1
y 2 ? 4my ? 4(m ?1) ? 0 ,所以 y1 ? y2 ? 4m, y1 y2 ? 4(m ?1)
第页 12

……5 分

设 AR : y ? k1 ( x ?1) ? 2 , 由?

? y ? k1 ( x ? 1) ? 2 y ? 2 y1 ? 2 4 k1 ? 2 ? 得 xM ? ,而 k1 ? 1 x1 ? 1 y1 y1 ? 2 k1 ? 2 ? y ? 2x ? 2 ?1 4
2 2 ,同理 xN ? ? y1 y2

可得 xM ? ?

所以 | MN |? 5 | xM ? xN |? 2 5 令 m ? 1 ? t (t ? 0) ,则 m ? t ? 1

m2 ? m ? 1 | m ? 1|

……8 分

所以 | MN |? 5 | xM ? xN |? 2 5 ( ? ) ?
2

1 1 t 2

3 ? 15 4
……10 分

此时 m ? ?1 , AB 所在直线方程为: x ? y ? 2 ? 0

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