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高一数学必修3概率部分知识点总结及习题训练学生版


概率部分知识点总结
事件:____________,确定性事件: _____________和____________ 随机事件的概率(统计定义):一般的,如果随机事件 A 在 n 次实验中发生了 m 次,当实验的 次数 n 很大时,我们称事件 A 发生的概率为 P A ? ____ 概率是频率的__________,频率是概率的_________ 概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件 A ,有_________

( )

和F分别表示必然事件和不可能事件, 则有P W = __, P F = __ ② 用W
③如果事件 A和B互斥, 则有:P A + B = ________ 古典概率: ① ___________ ② _______________满足这两个条件的概率模型成为古典概型 如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个 n ,则每一个基本事件发生的概率都是 __ , 如果某个事件 A 包含了其中的 m 个等可能的基本事件,则事件 A 发生的概率为

( )

()

(

)

P ( A) = ___
求古典概型概率的方法:___________、___________、___________、___________ 几何概型:一般地,一个几何区域 D 中随机地取一点,记事件“改点落在其内部的一个区 域 d 内”为事件 A ,则事件 A 发生的概率为

P ( A) = __________(一般地,线段的测度为该线段的长度;平面多变形的测度为该图形
的面积;立体图像的测度为其体积 ) 几何概型的基本特点:① ____________ ② _______________ 互斥事件:___________________________称为互斥事件 对立事件:____________________________,则称两个事件为对立事件,事件 A 的对立事件 记为: A 注意:① 若 A , B 为互斥事件, 则 A , B 中最多有一个发生, 可能都不发生,但不可

能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对 立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件,但最多只有 一个发生, 可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看: 表示互斥事件和 对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,而两个互斥事件的并集 不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是 1 ,而两个互斥事件的概率之和小于或 者等于 1 ⑥ 若事件 A, B 是互斥事件,则有 P? A ? B ? ? P? A? ? P?B ? ⑦ 一般地,如果 ⑧

A1 , A 2 ,..., An 两两互斥,则有 P? A1 ? A2 ? ... ? An ? ? P? A1 ? ? P? A2 ? ? ... ? P? An ?

P? A? ? 1 ? P A ⑨ 在本教材中 A1 ? A2 ? ... ? An 指的是 A1 , A 2 ,..., An 中至少发生一个
⑩在具体做题中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照 那种概型的书写格式,最重要的是要设出所求的事件 事件 A 和事件 B 的和:_______________________________________________________
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??

事件 A 和事件 B 的积:_______________________________________________________

例题选讲:
例 1. 在大小相同的 6 个球中,4 个是红球,若从中任意选 2 个,求所选的 2 个球至少有一 个是红球的概率?

变式训练 1: 在大小相同的 6 个球中,2 个是红球,4 个是白球,若从中任意选取 3 个,求 至少有 1 个是红球的概率?

变式训练 2:盒中有 6 只灯泡,其中 2 只次品,4 只正品,有放回的从中任抽 2 次,每次抽 取 1 只,试求下列事件的概率: (1)第 1 次抽到的是次品 (2)抽到的 2 次中,正品、次品各一次

变式训练 3:甲乙两人参加一次考试共有 3 道选择题,3 道填空题,每人抽一道题,抽到后 不放回, 求 (1) 甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率? ( 2) 求至少 1 人抽到选择题的概率?

例 2.将一颗骰子向上抛掷两次,所得点数分别为 a 和 b ,则函数 y ? x ? 2 ? a ? b ? x ? 1 在
2

?5, 7 ? 上不是单调函数的概率是(
A.

) D.

1 4

B.

1 6

C.

5 36

1 2

变式训练 1:设关于 x 的一元二次方程 x ? 2ax ? b ? 0 ,若 a 是从 0,1,2,3 四个数中任取的
2

一个数,b 是从 0,1,2 三个数中任取的一个数,求上述方程有实根的概率.

变式训练 2:有 3 个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个 小组的可能性相同,则这两个同学参加同一个兴趣小组的概率为( ) A.

1 3

B.

1 2

C.

2 3

D.

3 4

变式训练 3:将一颗骰子先后抛掷 2 次,观察向上的点数,求: (1)两数之和为 5 的概率; (2)两数中至少有一个奇数的概率; (3)以第一次向上点数为横坐标 x,第二次向上的点数为纵坐标 y 的点(x,y)在圆 x2+y2=15 内部
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的概率.

变式训练 4. 袋中有除颜色外完全相同的红、黄、白三种颜色的球各一个,从中每次任取 1 个.有放回地抽取 3 次,求: (1)3 个全是红球的概率. (2)3 个颜色全相同的概率. (3)3 个颜色不全相同的概率. (4)3 个颜色全不相同的概率.

例 2. 如图,分别以正方形 ABCD 的四条边为直径画半圆,重叠部分如图中阴影区域,若向 该正方形内随机投一点,则该点落在阴影区域的概率为( )

4 ?? 2 ? ?2 C. 2
A.

4 ?? 4 ? ?2 D. 4
B.

图2 变式训练 1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的 2 倍,向方框中投掷硬 币硬币完全落在正方形外的不计,求硬币完全落在正方形内的概率?

变式训练 2:如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA, OB 为直径作两个半圆. 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴 影部分的概率是 A. 1 ? C.
2 π 2 π 1 1 ? 2 π

B. D.
1 π

AB ? 5 , AC ? 7 , 在正方形内 变 式 训 练 3 : 如 图 , 已 知 矩 形 ABCD 中 ,

任取一点P , 求 ?APB ? 90 ? 的概率?

A

B

变式训练 4:平面上画了彼此相距 2a 的平行线把一枚半径 r < a 的 硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相 碰的概率?
D

P

C

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变式训练 5. 右图是用模拟方法估计圆周率 ? 的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框 内应填 入( )

N 1000 4N B. P ? 1000 M C. P ? 1000 4M D. P ? 1000
A. P ? 例 3:甲乙两人约定在 6 时到 7 时在某地会面,并约定先到 者等候另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概 率?

例 4:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在斜边 AB 上任取一点 M ,求 AM ? AC 的概率?

变式训练:如图,在等腰直角三角形 ABC 中,在 ?ACB 内部任意作一条射线 CM ,与线 段 AB 交于点 M ,求 AM ? AC 的概率?

课堂练习: 一、选择题 1.任取两个不同的 1 位正整数,它们的和是 8 的概率是( A.
1 24

). D.
1 12

B.

1 6

C.

3 8

1 ? π π? 2.在区间 ? - , ? 上随机取一个数 x,cos x 的值介于 0 到 之间的概率为( 2 ? 2 2? 1 2 A. B. 3 π

).

C.

1 2

D.

2 3

3.从集合{1,2,3,4,5}中,选出由 3 个数组成子集,使得这 3 个数中任何两个数的和不 等于 6,则取出这样的子集的概率为( A.
3 10

). B.
7 10

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C.

3 5

D.

2 5

4.在一个袋子中装有分别标注数字 1,2,3,4,5 的五个小球,这些小球除标注的数字外 完全相同.现从中随机取出 2 个小球,则取出的小球标注的数字之和为 3 或 6 的概率是 ( A. C.
3 10 1 10

). B. D.
1 5 1 12

5.从数字 1,2,3,4,5 中,随机抽取 3 个数字(允许重复)组成一个三位数,其各位数字 之和等于 9 的概率为( A. C.
13 125 18 125

). B. D.
16 125 19 125

6.若在圆(x-2)2+(y+1)2=16 内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x2+y2=1 内的概率为 ( A. C.
1 2 1 4

). B. D.
1 3
1 16

7.已知直线 y=x+b,b∈[-2,3],则该直线在 y 轴上的截距大于 1 的概率是( A.
1 5

).

B.

2 5

C.

3 5

D.

4 5

8.在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中随机取点,则点落在四棱锥 O-ABCD(O 为正方体体对角 线的交点)内的概率是( A. C.
1 6 1 2

). B. D.
1 3
2 3

9.抛掷一骰子,观察出现的点数,设事件 A 为“出现 1 点” ,事件 B 为“出现 2 点” .已知 P(A)=P(B)= A. C.
1 2 1 6 1 ,则“出现 1 点或 2 点”的概率为( 6

).

B. D.

1 3
1 12

二、填空题
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10.某人午觉醒来,发觉表停了,他打开收音机想听电台报时,假定电台每小时报时一次, 则他等待的时间短于 10 分钟的概率为___________. 11.有 A,B,C 三台机床,一个工人一分钟内可照看其中任意两台,在一分钟内 A 未被照 看的概率是 .

12.抛掷一枚均匀的骰子(每面分别有 1~6 点),设事件 A 为“出现 1 点” ,事件 B 为“出 现 2 点” ,则“出现的点数大于 2”的概率为 .

?1 ? ?1 ? 13.已知函数 f(x)=log2 x, x∈ ? , 2? ,在区间 ? , 2? 上任取一点 x0,使 f(x0)≥0 的概率 2 ? ? ?2 ?





14.从长度分别为 2,3,4,5 的四条线段中任意取出三条,则以这三条线段为边可以构成三 角形的概率是 .

15.一颗骰子抛掷 2 次,观察出现的点数,并记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数 为 b.则 a+b 能被 3 整除的概率为 三、解答题 16. 射手张强在一次射击中射中 10 环、 9 环、8 环、 7 环、 7 环以下的概率分别是 0.24、0.28、 0.19、0.16、0.13.计算这个射手在一次射击中: (1)射中 10 环或 9 环的概率; (2)至少射中 7 环的概率; (3)射中环数小于 8 环的概率. .

17.甲、乙两船驶向一个不能同时停泊两艘船的码头,它们在一昼夜内到达该码头的时刻是 等可能的.如果甲船停泊时间为 1 h,乙船停泊时间为 2 h,求它们中的任意一艘都不需要等 待码头空出的概率.

18.同时抛掷两枚相同的骰子(每个面上分别刻有 1~6 个点数,抛掷后,以向上一面的点数 为准),试计算出现两个点数之和为 6 点、7 点、8 点的概率分别是多少??

19.从含有两件正品 a1,a2 和一件次品 b 的三件产品中,每次任取一件,每次取出后不放 回,连续取两次,求取出的两件产品中恰有一件次品的概率.
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