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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第二章 函数概念与基本初等函数I 2.5 指数与指数函数课件 文



第二章 函数概念与基本初等函数 I

§2.5 指数与指数函数

内容 索引

基础知识 自主学习

题型分类 深度剖析 思想与方法系列
思想方法 感悟提高 练出高分

基础知识 自主学习

1

知识梳理

/>1.分数指数幂 (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是 a =
*

m n

n

a
?

m

n ? N ,且n ? 1); 正数的负分数指数幂的意义是 a

m n

(a ? 0,m, 1 ? n a m (a>0, m,

没有意义 n∈N? ,且 n>1 ); 0的正分数指数幂等于0 ;0的负分数指数幂_________. (2)有理数指数幂的运算性质:asat= as+t ,(as)t= ast ,(ab)t=atbt ,其中
a>0,b>0,s,t∈Q.

答案

2.指数函数的图象与性质 y=ax a>1 0<a<1

图象

定义域

R (1)____

答案

值域

(0,+∞) (2)___________ (0,1) (3)过定点______ (4)当x>0时, y>1 ;当x<0时, (5)当x>0时, 0<y<1 ;当x<0

0<y<1 性质 _______

y>1 时,_____

(6)在(-∞,+∞)上是增函数 ______ (7)在(-∞,+∞)上是减函数 ______

答案

思考辨析
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1) a =( a)n=a.( × )
n

n

n

m (2)分数指数幂 a 可以理解为 n 个 a 相乘.( × )
m n

(3) (-1) =(-1) = ?1. ( × ) (4)函数 y=a (5)函数 y=a
-x

2 4

1 2

是 R 上的增函数.( × ) (a>1)的值域是(0,+∞).( × )

x 2+1

(6)函数 y=2x-1 是指数函数.( × )
答案

2

考点自测

(1,1) 1.函数f(x)=ax-1 (a>0,且a≠1)的图象经过定点坐标为_____. 解析 令x-1=0得x=1,此时y=a0=1,

所以点(1,1)与a无关,
所以函数f(x)=ax-1(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,1).

1

2

3

4

5

解析答案

1 ④ 2.函数 f(x)=a - (a>0,a≠1)的图象可能是______.( 填图象序号) a
x

解析

函数f(x)的图象恒过(-1,0)点,只有图象④适合.

1

2

3

4

5

解析答案

1 1 3.计算: 3× 1.5× 12+lg 4-lg 25=__. 3 6

解析
1 2

1 3× 1.5× 12+lg -lg 25 4 3 6

3

1 3 1 3
1 6
1 3

=3 × 2 ×3 ×2 -lg 4-lg 25

=3-lg 100=3-2=1.

1

2

3

4

5

解析答案

4.若函数y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,则实数a的取值范围
(- 2,-1)∪(1, 2) 是_____________________.

解析

由y=(a2-1)x在(-∞,+∞)上为减函数,得0<a2-1<1,

∴1<a2<2,即 1<a< 2或- 2<a<-1.

1

2

3

4

5

解析答案

[0,8) 5.函数y=8-23-x(x≥0)的值域是_____. 解析 ∵x≥0, ∴-x≤0, ∴3-x≤3, ∴0<23-x≤23=8, ∴0≤8-23-x<8, ∴函数y=8-23-x的值域为[0,8).

1

2

3

4

5

解析答案

返回

题型分类 深度剖析

题型一

指数幂的运算
a 3b 2 3 ab 2 (a b ) a b
1 3
1 4 1 2 4 1 ? 3 1 3

例1 化简:(1)

(a ? 0,b ? 0);



3 1 1 1 1 ?a3b2a b ? + -1+ 1+ -2- -1 原式= = a2 6 3 3 3 1 1 b = ab . ? ab2a 3 b 3

2 3

1 2

解析答案

1 27 ? ? 2 ? (- ) +? 0.002 ? 2 -10( 5-2)-1+( 2- 3)0 . 8 ?

2 3



2 1 ? ? 27 1 10 2 原式= (- ) 3 +( ) - +1 8 500 5?2

8 =(- ) +500 -10( 5+2)+1 27

2 3

1 2

4 167 =9+10 5-10 5-20+1=- 9 .

思维升华

解析答案

跟踪训练1
(1) [(0.064 )
1 2 5 -2.5 3

3 0 ] -3 3 -π 0= _____. 8
2 3

5 ? 1 ? ? 1 1 1 5 2 2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( ? )? 27 4 ? 3 5 ? ? ? ? ? ? ??3?3? 3 3 5 2 3 64 ? ? ? ? ? ? -? ? -1=?? ? ? 解析 原式=? ?? -??2? ? -1= ? 8 10 ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? 10000 ? ? ?? ? ? ? ? ? ?

5 3 - - 1 = 0. 2 2

解析答案

(2) ? 1 ? ? ? · 3 -3 2 -1 4 ? 0.1 ? · ? a · b ? ? ?
3 2
3 2
? 3 2

1 ? 2

? 4ab-1?3

8 5 1 =_____.

解析

2×4 ×a b 8 原式= =5. 3 3 ? 2 10a b 2

解析答案

题型二

指数函数的图象及应用

例2 (1)函数f(x)=ax-b的图象如 图所示,其中a,b为常数,则下列结论正确的是________. ①a>1,b<0; ②a>1,b>0; ③0<a<1,b>0; ④0<a<1,b<0.

解析答案

(2)若曲线|y|=2x+1与直线y=b没有公共点,则b的取值范

[-1,1] 围是________.
解析 曲线|y|=2x+1与直线y=b的图象如图所示, 由图象可知:如果|y|=2x+1与直线y=b没有公共点, 则b应满足的条件是b∈[-1,1].

思维升华

解析答案

跟踪训练2
(1)在同一坐标系中,函数 y=2x 与
?1? ? ?x y=?2? ? ?

的图象之间的关系,下列判断

① 正确的是____. ①关于y轴对称; ②关于x轴对称; ③关于原点对称; ④关于直线y=x对称. ?1? ? ?x 解析 ∵y=?2? =2-x, ? ? ∴它与函数y=2x的图象关于y轴对称.

解析答案

(2)已知函数f(x)=|2x-1|,a<b<c且f(a)>f(c)>f(b),则下列结论中,一定成
立的是________.

①a<0,b<0,c<0; ②a<0,b≥0,c>0;
③2-a<2c; ④2a+2c<2.

解析答案

题型三

指数函数的图象和性质

命题点1 比较指数式的大小
例3 (1)下列各式比较大小正确的是___. ①1.72.5>1.73; ③0.8-0.1>1.250.2; ②0.6-1>0.62; ④1.70.3>0.93.1.

解析答案

2 3 2 3 5 2 5 2 5 (2)设 a=( ) ,b=( ) ,c=( ) ,则a,b,c的大小关系是______. a>c>b 5 5 5

解析

?2? ? ?x ∵y=?5? 为减函数, ? ?
3 5 2 5

?2? ?2? ∴ ? ? ?? ? ?5? ?5?
3 ( )5 5 2 a 2 又c= ( ) 5 5
2

即 b<c,
?3? ?0 >? ? ? =1, ?2?

2 ?3? ?5 =? ? ? ?2?

∴a>c,故a>c>b.
解析答案

命题点2 解简单的指数方程或不等式
例4
? ?? ?1?x ?? ? -7,x<0, 设函数 f(x)=??2? ? ? x, x≥0,

若 f(a)<1, 则实数 a 的取值范围

是_______.

解析答案

命题点3 和指数函数有关的复合函数的性质
例5 设函数f(x)=kax-a-x(a>0且a≠1)是定义域为R的奇函数.

(1)若f(1)>0,试求不等式f(x2+2x)+f(x-4)>0的解集;

解析答案

3 (2)若 f(1)=2,且 g(x)=a2x+a-2x-4f(x),求 g(x)在[1,+∞)上的最小值.

思维升华

解析答案

跟踪训练3
(1) 已知函数 f(x) = 2|2x - m|(m 为常数 ) ,若 f(x) 在区间 [2 ,+ ∞) 上是增函数, (-∞,4] 则m的取值范围是__________. 解析 令t=|2x-m|,
m m 则 t=|2x-m|在区间[ ,+∞)上单调递增,在区间(-∞, ]上单调递减. 2 2

而y=2t为R上的增函数,

所以要使函数f(x)=2|2x-m|在[2,+∞)上单调递增,
m 则有 ≤2,即 m≤4, 2

所以m的取值范围是(-∞,4].
解析答案

(2)函数
解析

?1? ? f(x)=? ? ? ?4?

x2-2 x

(0,4] 的值域为_______.

令t=x2-2x,

?1? ? ?t 则有 y=?4? , ? ?

根据二次函数的图象可求得t≥-1,

结合指数函数
即0<y≤4.

?1? ? ?x y=?4? 的图象可得 ? ?

?1? ? ?-1 0<y≤?4? , ? ?

解析答案

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思想与方法系列

思想与方法系列

4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用
?1? ?1? ? ?x ? ?x y=?4? -?2? +1 ? ? ? ?

典例

(1)函数

在区间[ -3,2] 上的值域是________.
?1? ? ?x t=?2? ,将原函数的值域转 ? ?

思维点拨 求函数值域,可利用换元法,设
化为关于 t 的二次函数的值域.

思维点拨

解析答案

?1? (-∞,1] (2)函数 f ? x ?=? ? 的单调减区间为_________. ?2? 思维点拨 根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求.

-x 2+ 2 x+1

解析 设u=-x2+2x+1,
?1? ?u ∵y=? ? ? 在 ?2?

R 上为减函数,
-x 2+2 x+1

?1? ∴函数 f ? x ?=? ? 的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间. ?2? 又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1],
∴f(x)的减区间为(-∞,1].
温馨提醒 思维点拨 解析答案 返回

思想方法 感悟提高

方法与技巧
1.通过指数函数图象比较底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数 的值,再进行比较. 2.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a>1与 0<a<1. 3.对与复合函数有关的问题,要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合 而成.

失误与防范

1.恒成立问题一般与函数最值有关,要与方程有解区别开来. 2.复合函数的问题,一定要注意函数的定义域. 3.对可化为a2x+b· ax+c=0或a2x+b· ax+c≥0 (≤0)形式的方程或不等式,常 借助换元法解决,但应注意换元后“新元”的范围.

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练出高分

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x 7 ? 2 ? ,x<1, 1.已知函数 f(x)=? 则 f(log27)的值为____. 4 ? ?f?x-2?,x≥1,

解析 由于log24<log27<log28,

7 即 2<log27<3,log27-2=log24<1,
因此
7 ? ? log 2 7 7 ? ? 4 f(log27)=f(log27-2)=f?log2 4?=2 = . 4 ? ?

解析答案

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2.5 0

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1 2.5 a>b>c 2.已知 a=2 ,b=2.5 ,c=( ) ,则 a,b,c 的大小关系是_______. 2

解析

10 a>2 =1,b=1,c<(2) =1,
0

∴a>b>c.

解析答案

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3.若函数 f(x)=a
[2,+∞) 是___________.

|2x-4|

1 (a>0,a≠1),满足 f(1)= ,则 f(x)的单调递减区间 9

1 1 2 解析 由 f(1)= 得 a = , 9 9 1 1 所以 a=3或 a=-3(舍去), 1 |2x-4| 即 f(x)=( ) . 3 由于 y = |2x - 4| 在 ( - ∞ , 2] 上递减,在 [2 ,+ ∞) 上递增,
所以f(x)在(-∞,2]上递增,在[2,+∞)上递减.
解析答案

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4.若关于x的方程|ax-1|=2a (a>0且a≠1)有两个不等实根,则a的取值范
围是__________.

解析答案

1
1 1 ?3? ? ? ? 7 ? 3 ? ?0 4 - 5.计算:? × ? ? ? ? +8 6? ?2? ?

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× 2-
1 4 1 3

4

? ?2 2 ? ?3 - ? 3? ? ?

2 =__.

解析

2? 2? ? ? 原式= ? ? ?1+2 ? 2 -? ? =2. ?3? ?3?

1 3

3 4

解析答案

1
x

2

3

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4 1 6. 已知函数 y=a +b (b>0)的图象经过点 P(1,3),如图所示,则 + 的 a-1 b 最小值为____.

解析答案

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7.已知正数a满足a2-2a-3=0,函数f(x)=ax,若实数m、n满足f(m)>f(n), 则m、n的大小关系为_____. m>n 解析 ∵a2-2a-3=0, ∴a=3或a=-1(舍). 函数f(x)=3x在R上递增, 由f(m)>f(n),得m>n.

解析答案

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? ?f?x?,x≥0, 1 x 8.已知函数 f(x)=2 - x, 函数 g(x)=? 则函数 g(x)的最小 2 ? ?f?-x?,x<0,

0 值是_____.

解析

1 当 x≥0 时,g(x)=f(x)=2 - x为单调增函数, 2
x
-x

所以g(x)≥g(0)=0;

1 当 x<0 时,g(x)=f(-x)=2 - -x为单调减函数, 2 所以g(x)>g(0)=0,
所以函数g(x)的最小值是0.
解析答案

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?1? 9.已知函数 f ? x ?=? ? ?3?

ax 2-4 x+3

(1)若 a=-1,求 f(x)的单调区间;

解析答案

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(2)若f(x)有最大值3,求a的值.



令 g(x)=ax

2

?1? ?g(x) -4x+3,f(x)=? , ? ? ?3?

由于f(x)有最大值3,

所以g(x)应有最小值-1,
?a>0, ? 因此必有?3a-4 ? =-1, ? a

解得 a=1,

即当f(x)有最大值3时,a的值为1.
解析答案

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10.已知函数f(x)=ex-e-x(x∈R,且e为自然对数的底数). (1)判断函数f(x)的单调性与奇偶性;
?1? ? ?x 解 ∵f(x)=e -?e? , ? ? ?1? ? ?x x ∴f′(x)=e +?e? , ? ? x

∴f′(x)>0对任意x∈R都成立, ∴f(x)在R上是增函数. ∴f(x)的定义域为R,且f(-x)=e-x-ex=-f(x), ∴f(x)是奇函数.
解析答案

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(2)是否存在实数t,使不等式f(x-t)+f(x2-t2)≥0对一切x∈R都成立? 若存在,求出t;若不存在,请说明理由.

解析答案

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11. 函数 f(x) = a|x + 1|(a>0 , a≠1) 的值域为 [1 ,+ ∞) ,则 f( - 4) 与 f(1) 的大小 f(-4)>f(1) 关系是____________. 解析 由题意知a>1, ∴f(-4)=a3,f(1)=a2, 由单调性知a3>a2, ∴f(-4)>f(1).

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9 12.已知函数 f(x)=x-4+ , x∈(0,4), 当 x=a 时, f(x)取得最小值 b, x+1 则在直角坐标系中函数
?1? ?|x+b| g(x)=? 的图象为 ________. ? ? ?a?

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13.关于 x
解析

?3? 2+3a ? ?x 的方程?2? = 有负数根,则实数 ? ? 5-a

a

? ? 2 3 ? ? - , ? ? 3 4 ? ? 的取值范围为_________.

由题意,得x<0, ?3? ?x 所以 0<? ? ? <1, ?2?

2+3a 2 3 从而 0< <1,解得-3<a<4. 5-a

解析答案

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14.当x∈(-∞,-1]时,不等式(m2-m)· 4x-2x<0恒成立,则实数m的

(-1,2) 取值范围是________.

解析

原不等式变形为 m

2

?1? ?x -m<? ? ? , ?2?

因为函数

?1? ?x y=? - 1] 上是减函数, ? ? 在(-∞, ?2?

?1? ?1? ?x ? ?-1 所以? ≥ ? ? ? ? =2, 2 ? ? ?2?



?1? ? ?x 2 x∈(-∞,-1]时,m -m<?2? 恒成立等价于 ? ?

m2-m<2,

解得-1<m<2.
解析答案

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15.已知定义在实数集 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2, 且当 x∈(0,1)时, f(x) 2x = x . 4 +1
(1)求函数f(x)在(-1,1)上的解析式;

解析答案

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(2)判断f(x)在(0,1)上的单调性; 解 设0<x1<x2<1,
x1+2 x2 x2+2 x1 x1 x2 2 - 2 2 ? 2 ? ?+? ?

f(x1)-f(x2)=
x1 x2

?4

x1

+1??4

x2

+1?

?2 -2 ??1-2 ?? = , x2 x1 ?4 +1??4 +1?
∵0<x1<x2<1, ? 2
x1

x1+x2

? 2 , 2 x +x ? 20=1,
x2
1 2

∴f(x1)-f(x2)>0,∴f(x)在(0,1)上为减函数.
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(3)当λ取何值时,方程f(x)=λ在(-1,1)上有实数解? 解 ∵f(x)在(0,1)上为减函数,

?2 1? 21 20 ? ∴ 1 <f(x)< 0 ,即 f(x)∈?5,2? ?. ? ? 4 +1 4 +1 ? 1 2? ? ? 同理,f(x)在(-1,0)上时,f(x)∈?-2,-5?. ? ? ? ? ?2 ? 1 2 1 ? ? ? - ,- , 又 f(0)=0,当 λ∈? ∪ ? ? ? ?, 2 5 5 2 ? ? ? ?

或λ=0时,方程f(x)=λ在x∈(-1,1)上有实数解.

解析答案

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