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两条直线平行与垂直的判定



复习回顾
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交 时,取x轴作为基准, x轴正向与直线l向上 方向之间所成的角α 叫做直线l的倾斜角. 倾斜角不是900的直线,它的倾斜角的正 切叫做这条直线的斜率,常用k来表示.

k=tan α
经过两点P : 1 ( x1 , y1 ), P 2 ( x2 , y2 )的直线的斜率公式 y2 ? y1

k? ( x1 ? x2 ) x2 ? x1

问题 .若两条直线互相平行 :
(1)它们的倾斜角有何关系 ? ( 2)它们的斜率有何关系 ?
y y
l1 l2

l1

l2

O

α1

α2

x

O

x

结论1:对于两条不重合的直线 l1和l2 :

(1)l1 // l2 ? ? 1 ? ? 2 ; ( 2)l1 // l2 ? k1 ? k 2 或k1 , k 2都不存在.

注意:l1∥l2

k1=k2.

条件: 不重合、都有斜率

例题讲解

例1、已知A(2,3),B(-4,0),P(-3,1), Q(-1,2),试判断直线BA与PQ的位置关系,并 证明你的结论。

3?0 1 解 : k BA ? ? 2 ? (?4) 2 2 ?1 1 k PQ ? ? ? 1 ? (?3) 2

y

Q P

A

B

O

x

? kBA ? kPQ ? BA∥ PQ

例题讲解 例2、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A(0, 0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试 判断四边形ABCD的形状,并给出证明。
解 : k AB

k BC
kCD

? k AB ? kCD , k BC ? k DA ∥ DA ? AB∥CD, BC 因此四边形ABCD是平行四边形 .

2 ? (?1) 3 ? ? 4?2 2 1 3 ?? k DA ? 2 2

?1? 0 1 ? ?? 2?0 2

y

D C

A

O

B

问题 .若两条直线互相垂直 :
(1)它们的倾斜角有何关系 ? ( 2)它们的斜率有何关系 ?

y

l2

l
1

O

α1

α2

x

? 2 ? ?1 ? 90?

k2 ? tan? 2 ? tan??1 ? 90?? ? ? cot?1

k1 ? tan?1
k1 ? k2 ? ?1

l2

y

l1

O

x

结论2: 对于任意两条直线l1和l2 : (1)l1 ? l2 ? ? 2 ? ? 1 ? 90 0 ;

( 2)l1 ? l2 ? k1 ? k 2 ? ?1 或k1 , k 2中一个为 0, 另一个不存在.

注意: l1⊥l2
都有斜率 条件:

k1k2=-1.

练习
下列哪些说法是正确的( C )
A 、两直线l1和l2的斜率相等,则 l1 ∥ l2;
B、若直线l1 ∥ l2,则两直线的斜率相等;

C、若两直线l1和l2中,一条斜率存在,另一条斜 率不存在,则l1和l2相交; D、若直线l1和l2斜率都不存在,则l1 ∥ l2;
E、若直线l1 ⊥ l2,则它们的斜率之积为-1;

例题讲解
例3、已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3) Q(6,-6),判断直线AB与PQ的位置关系。

解 : k AB k PQ

6?3 2 ? ? 3 ? (?6) 3 ?6?3 3 ? ?? 6?0 2

? k AB ? kPQ ? -1 ? BA ? PQ

例题讲解
例4、已知A(5,-1),B(1,1),C(2,3)三 点,试判断△ABC的形状。

1 ? ( ?1) 1 解: ? k AB ? ?? 1? 5 2 3 ?1 k BC ? ?2 2 ?1 ? k AB ? k BC ? ?1 ? AB ? BC 即?ABC ? 90 因此?ABC是直角三角形 .
0

y

C B

O

x

A

小结
结论1:对于两条不重合的直线 l1和l2 : (1)l1 // l2 ? ? 1 ? ? 2 ; ( 2)l1 // l2 ? k1 ? k 2 或k1 , k 2都不存在. l1∥l2 k1=k2. 条件:不重合、都有斜率
结论2: 对于任意两条直线l1和l2 : (1)l1 ? l2 ? ? 2 ? ? 1 ? 90 0 ;

( 2)l1 ? l2 ? k1 ? k 2 ? ?1 或k1 , k 2中一个为 0, 另一个不存在. l1⊥l2 k1k2=-1. 条件:都有斜率

练习
1、 若三点A(5,1),B(a,3),C(-4,2) 在同一条直线上,确定常数a的值.
解: k AB 3 ?1 2 2 ?1 1 ? ? , k AC ? ? a ?5 a ?5 ?4?5 ?9

因为点A.B.C在同一直线上,所以 k AB ? k AC

2 1 ? , a ?5 ?9

?18 ? a ? 5, a ? ?13

作业:书本P89页A组 5、6(3) 、 7(2)、8题



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