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华师大二附中高三数学周测(14)答案



华师大二附中 2013 届高三数学周测(十四) 一、填空题

?y ? 2x , 1. 方程组 ? 共有 ? y ?| x( x ? 2) |

1

组解

2. 我们可以从“数”和“形”两个角度来检验函数的单调性。从“形”的角度:在区间 I 上,若函数 y ? f ?x ?的图像从左到右看总是上升的,则称 y ? f ?x ?在区间 I 上是增函 ,则称 y ? f ?x ?在区间 I 上是增函数. f ?x1 ? ? f ?x2 ? 3. 数列 {an } 中, 如果存在 ak , 使得 “ ak ? ak ?1 且 ak ? ak ?1 ” 成立 (其中 k ? 2 ,k ? N? ) , 则称 ak 为 {an } 的一个峰值.若 an ? ?6n 2 ? 22n , 且 {an } 的峰值为 ak ,则正整数 k 的 值为 2 4. 已知数列 {an } 是等比数列,其前 n 项和为 Sn ,若 S2 ? 12 , S3 ? a1 ? 6 ,则 lim S n ?
n ??

数.那么从“数”的角度:

任 意 x1 , x2 ? I , 若 x1 ? x 2 , 都 有

____16____ 2 5. 若存在 实数 x ? [1, 2] 满足 2 x ? ax ? 2 ? 0 ,则实数 a 的取值范围是 .. 6. 在平面直角坐标系 xOy 中,函数 f ? x ? ? k ? x ?1? ( k ? 1 )的图像与 它的反函数 y ? f
?1

。 (??,5)

x 轴交于点 A ,

? x? 的图像与 y 轴交于点 B ,并且这两个函数的图像交于点 P .若
3 2

四边形 OAPB 的面积是 3 ,则 k ? ___________.

7. 已知数列 {an } 是以 3 为公差的等差数列,Sn 是其前 n 项和, 若 S10 是数列 ?Sn ? 中的唯一 最小项,则数列 {an } 的首项 a1 的取值范围是

? ?30, ?27?

8. 对于定义域和值域均为 [0,1] 的函数 f(x),定义 f1 ( x) ? f ( x) , f 2 ( x) ? f ( f1 ( x)) ,?,

fn ( x) ? f ( fn?1 ( x)) ,n=1,2,3,?.满足 fn ( x) ? x 的点称为 f 的 n 阶周期点.设
1 ? 2 x, 0? x? , ? ? 2 2n f ( x) ? ? 则 f 的 n 阶周期点的个数是 ____ ?2 ? 2 x, 1 ? x ? 1, ? ? 2 ?? ? 2π 2 9. 函数 f ?x ? ? 3 cos? ? 2 x ? ? 2 cos x 在区间 ?0, ? 上的取值范围是 ? ?2 ? ? 3? ?

?? 2,1?

10. 近年来, 孩子的身体素质越来越受到人们的关注, 教育部也推出了 “阳光课间一小时” 活动。在全社会关注和推进下,孩子们在阳光课间中强健体魄,逐渐健康成长。然而也 有部分家长对该活动的实际效果提出了质疑.对此,某新闻媒体进行了网上调查,所有 参与调查的家长中,持“支持”“保留”和“不支持”态度的人数如下表所示: 支持 30 岁以下 800 30 岁以上 (含 30 岁) 100 保留 450 150 不支持 200 300

在“不支持”态度的家长中,用分层抽样的方法抽取 5 个人看成一个总体,从这 5 个人中任

意选取 2 人,则至少有 1 人在 30 岁以下的概率为

7 10

x | ? x ?3 } 11. 已知 A ? {x | 2 x ? 1 ? 0},B ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} , 且 A B ?{ 2 x?2 则实数 a ? b =_____-7_______.
解:依题意 A ? ( ??,? 2) 由A

1

,A

B ? R,

1 ( ,? ?) 2

4分

B ? R, A B ? {x |

1 ? x ? 3} 得 ∴ B ? {x | ?2 ? x ? 3} 2
9分

7 分,

即方程 x 2 ? ax ? b ? 0 的解是 x1 ? ?2,x2 ? 3 于是 a ? ?( x1 ? x2 ) ? ?1 , b ? x1 x2 ? ?6 ,

11 分

12. 在⊿ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c,且 tan A ? 若⊿ABC 最长的边为 1,则⊿ABC 的面积为______ 13. 数 列 {an } 通 项 为 a n ? n cos?

1 3 10 , cos B ? 2 10

1 10

______

5031 ? 3

?

?

? n? ? ? ? ? n ? N ? , Sn 为 其 前 n 项 的 和 , 则 S2012 = 6? ? 2

?

?

14. 设函数 f ( x) 的定义域为 D ,若存在非零实数 m 使得对于任意 x ? M (M ? D) ,有

x ? m ? D ,且 f ?x ? m? ? f ?x ? ,则称 f ( x) 为 M 上的 “ m 函数 ” . 如果定义域为

[?1, ? ?) 的 函 数 f ( x) ? x2 为 [?1, ? ?) 上 “ l 函 数 ” , 那 么 实 数 l 的 取 值 范 围 是

?2,???

二、选择题 15. 函 数 y ? Asin?? x? ?? ? A? 0,? ? 0,? ? (C )

? ?

??

? 的图像如图所示,则 y 的表达式为 2?

A. y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?

B. y ? 2sin ?

? 10 x ? ? ? ? ? 11 6 ?

C. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?

D. y ? 2sin ? 2 x ?

? ?

??
? 6?
? ?

16. 已知两个非零向量 a ? ?a1 , b1 ?, b ? ?a2 , b2 ? ,若条件 p :“ a // b ”,条件 q : “关于

?

?

x 的不等式 a1 x ? b1 ? 0 与 a2 x ? b2 ? 0 的解集相同”.则条件 p 是 q 的
A.充分必要条件 C.充分非必要条件 B.非充分非必要条件 D.必要非充分条件



D



17.若 数列?an ? 满足a1 ? 2,an ?1 ?

1 ? an (n ? N * ) ,则该数列的前 2012 项的乘积 1 ? an
( C)

a1 ? a2 ? a3 ?
A.3.

? a2011 ? a2012 ?
B. ? 6 . C.. D. 2

18. 对于数列 {an } , 若存在常数 M , 使得对任意 n ? N * , an 与 an ?1 中至少有一个不小于 M , 则记作 {an } A.若 {an } C. 若 {an } 三、解答题 19. 若函数 f ( x ) 在定义域 D 内某区间 I 上是增函数,而 F ( x) ? 称 y ? f ( x) 在 I 上是“弱增函数” (1)请分别判断 f ( x ) = x ? 4 , g ( x) ? x ? 4x ? 2 在 x ? (1, 2) 是否是“弱增函数”,并简要
2

M ,那么下列命题正确的是
B.若 {an } D. 若 {an }

( D )
2 M ,则 {an } M2

M ,则数列 {an } 各项均大于或等于 M
M, {bn } M , } 2 M 则 {an ? bn

M, 2 an 1 } ? 2 则{

M 1 ?

f ( x) 在 I 上是减函数,则 x

说明理由。
2 b 是常数)在 (0,1] 上是“弱增函数”,请求出 ? (2)若函数 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、

1 2

及正数 b 应满足的条件。 解:(1)由于 f ( x ) = x ? 4 在 (1, 2) 上是增函数,且 F ( x) = 数,所以 f ( x ) = x ? 4 在 (1, 2) 上是“弱增函数”

f ( x) 4 ? 1 ? 在 (1, 2) 上是减函 x x
3分

g ( x) ? x2 ? 4 x 在 (1, 2) 上是增函数,但
2

g ( x) ? x ? 4 在 (1, 2) 上不是减函数, x
6分

所以 g ( x) ? x ? 4x ? 2 在 (1, 2) 上不是“弱增函数”
2 b 是常数)在 (0,1] 上是“弱增函数” (2)设 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b ( ?、

1 2 1 ) 2 x? ( ? s i? n x 在 ? )b 所 以 h( x? (0,1] 上 是 增 函 数 , 且 F ( x) = 2 h( x ) b 1 ? x ? ? (sin ? ? ) 在 (0,1] 上是减函数 x x 2 1 ?(sin ? ? ) 1 2 2 ?0 由 h( x) ? x ? (sin ? ? ) x ? b 在 (0, 7分 1] 上是增函数得, 2 2

sin ? ?

1 2

? ? [2k? ?

?
6

, 2 k? ?

5? ] 6

k ?Z

9分

考察函数 F ( x) =

h( x ) b 1 ? x ? ? (sin ? ? ) 在 (0,1] 上的单调性 x x 2

①当 b ? 1 ,即 b ? 1 时,设 0 ? x1 ? x2 ? 1, 则 F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? [ x1 ?

b 1 b 1 ( x ? x )( x x ? b) ? (sin ? ? )] ? [ x2 ? ? (sin ? ? ] ? 1 2 1 2 x1 2 x2 2 x1 x2

∵ 0 ? x1 ? x2 ? 1,∴ x1 ? x2 ? 0 , 0 ? x1 x2 ? 1 ? b , ∴ F ( x1 ) ? F ( x2 ) ?

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? b) ? 0 即 F ( x) 在 (0,1] 上单调递减, x1 x2

11 分

h( x) 在 (0,1] 上是“弱增函数”;

12 分

②当 0 ? b ? 1 ,即 0 ? b ? 1 时, F (b) ? F (1) ? 1 ? b ? (sin ? ? ) ,即 F ( x) 在 (0, 1] 上不 是单调函数,∴ h( x) 在 (0, 1] 上不是“弱增函数”. 13 分

1 2

b ? 1 且 ? ? [2k? ? 综上所述,

?
6

, 2 k? ?

5? ] 6

k ? Z 时,h( x) 在 (0,1] 上是 “弱增函数” ;
14 分

0 ? b ? 1 时 ? ? R , h( x) 在 (0,1] 上不是“弱增函数”
20. 已知 f ( x) ?

2x ? a a ? R ( )的图像关于坐标原点对称 2x ? 1
4 ? 1 的零点; 2 ?1
x

x (1)求 a 的值,并求出函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ?
x (2)若函数 h( x) ? f ( x) ? 2 ?

b 在 [0,1] 内存在零点,求实数 b 的取值范围 2 ?1 k?x 1 2 ?1 (3)设 g ( x) ? log 4 ,若不等式 f ( x) ? g ( x) 在 x ? [ , ] 上恒成立, 求满足条件的 1? x 2 3
x

最小整数 k 的值 解: (1) 由题意知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 所以 f (0) ? 0 得 分

a ?1

2

2x ? 1 f ( x) ? x 2 ?1

F(x)=

4 2x ? 1 (2 x ) 2 ? 2 x ? 6 x 2 ? ? 1 + = 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
4分 5分

3分

由 (2x )2 ? 2x ? 6 =0,可得 2 x =2, 所以, x ? 1 ,即 F(x)的零点为 x ? 1

(2) h( x) ?

2x ?1 x b (2 x ) 2 ? 2 x ?1 ? 1 ? b ? 2 ? ? 2x ? 1 2x ? 1 2x ? 1
x 2 x ?1

6分

有题设知 h( x) ? 0 在 [0,1] 内有解,即方程 (2 ) ? 2

?1 ? b ? 0 在 [0,1] 内有解-------7 分
2?b?7
9分 10 分 11 分

b ? (2x )2 ? 2x?1 ?1 ? (2x ? 1)2 ? 2 在 [0,1] 内递增,
x 所以当 2 ? b ? 7 时函数 h( x) ? f ( x) ? 2 ? x

b 在 [0,1] 内存在零点 2 ?1 1? x k?x ?1 ? log 4 (3)由 f ( x) ? g ( x) 得 log 2 1? x 1? x

k?x?

1 2 (1 ? x) 2 2 x 2 ? x +1 ,显然 x ? [ , ] 时 k ? x ? 0 即 k ? 2 3 1? x 1? x 1 2 2 3 1 1 所以m ? [ , ] 3 2

12 分

设 m ? 1 ? x ,由于x ? [ , ]

于是

2 x 2 ? x +1 2m2 ? 5m ? 4 4 23 ? ? 2m ? ? 5 ? [4, ] 1? x m m 3
23 3
16 分 15 分

14 分

所以 k ?

满足条件的最小整数 k 的值是 k ? 8

21. 已知数列 {an } ,如果数列 {bn } 满足满足 b1 ? a1 , bn ? an ? an?1 (n ? 2, n ? N * ) ,则称数 列 {bn } 是数列 {an } 的“生成数列” (1)若数列 {an } 的通项为 an ? n ,写出数列 {an } 的“生成数列” {bn } 的通项公式

{ln } B 是常数), (2) 若数列 {cn } 的通项为 cn ? An ? B , (A.、 试问数列 {cn } 的 “生成数列”
是否是等差数列,请说明理由。
n (3)已知数列 {dn } 的通项为 dn ? 2 ? n ,设 {dn } 的“生成数列”为 { pn }

若数列 {Ln } 满足 Ln ? ?

?d n ? pn n ?1

n是奇数 n是偶数

求数列 {Ln } 的前 n 项和 Tn

解:(1) bn ? ?

?1 ? 2n ? 1

n ? 2 ,? N *

3分

bn ? 2n ? 1
(2) ln ? ?

4分

?A ? B ?2 An ? 2 B ? A

n ?1 n ? 2 ,? N *

6分

当 B ? 0 时 ln = 2 An ? A

由于 ln?1 ? ln ? 2 A (常数) , 所以此时数列 {cn } 的 “生成数列” 8分

{ln } 是等差数列。
当 B ? 0 时由于 l1 ? A ? B , l2 ? 3A ? 2B

l3 ? 5 A ? 2B ,此时 l1 ? l3 ? 2l2
10 分

9分

所以此时数列 {cn } 的“生成数列” {ln } 不是等差数列。 (3)

?3 pn ? ? n?1 ?3 ? 2 ? 2n ? 1
?2n ? n ? Ln ? ? n ?1 ? ?3 ? 2 ? 2n ? 1

n ?1 n ?1
n是奇数 n是偶数

11 分

12 分

当 n 时偶数时,

Tn ? (2+1) ? (23 ? 3) ? (25 ? 5) ?

? (2n?1 ? (n ?1)) ? (3 ? 2 ? 3) ? (3 ? 23 ? 7) ?

? (3 ? 2n?1 ? (2n ?1))
15 分

2 n n2 n(n ? 1) 8 n 3n2 ? 2n n ?1 = (2 ? 1) ? = (2 ? 1) ? ?2 ?2? 3 4 2 3 4
当 n 时奇数时

8 3(n ? 1)2 ? 2(n ? 1) Tn ? Tn?1 ? pn?1 = (2n?1 ? 1) ? ? (3 ? 2n ? (2n ? 1)) 3 4
=

7 ? 2n 3n2 ? 1 8 7 ? 2n 3 2 29 ? ? ? ? n ? 3 4 3 3 4 12

17 分

? 7 ? 2n 3 2 29 ? n ? ? ? 3 4 12 综合: Tn ? ? 2 ? 8 (2n ? 1) ? 3n ? 2n ? 4 ?3
22. 已知数列{ an }, Sn 为其前

n是奇数
18 分

n是偶数

n 项的和, S n ? n ? an ? 9, n ? N ?

(1) 证明数列 ?an ? 不是等比数列; (2) 令 bn ? an ? 1,求数列 ?bn ? 的通项公式 bn ;
2 (3)已知用数列 ?bn ? 可以构造新数列.例如: ?3bn ?, ?2bn ? 1?, bn ,?

? ? ?b1 ? , ?sin b ??, . ??2 ?
bn

?

n

?

n

请写出用数列 ?bn ? 构造出的新数列 ?pn ?的通项公式,使数列 ?pn ?满足以下①②两个条件,

并说明理由,①数列 ?pn ?为等差数列;②数列 ?pn ?的前 n 项和有最大值. (1)解: a1 ? S1 ? 1 ? a1 ? 9 ∴ a1 ? 5 -------------------------------------1 分

a2 ? 3 ------------------------------------------------------------------------- 2 分

a3 ? 2 ------------------------------------------------------------------------3 分
?
a 2 a3 ∴数列 ?an ? 不是等比数列--------------------------------------------------------4 分 ? a1 a 2

(2) n ? 2 S n ? n ? an ? 9 ① S n?1 ? n ? 1 ? an?1 ? 9 ② ①-② an ? 1 ? an ? an?1 即 2an ? 1 ? an?1 -----------------------------------6 分

n?2

1 a n ?1 ? ?1 bn an ? 1 1 2 ? ? 2 ? --------------------------------8 分 bn ?1 a n ?1 ? 1 a n ?1 ? 1 2
1 的等比数列--------------------------------------------9 分 2

∴数列 ?bn ? 为首项为 4,公比为 ∴ bn = 4? ?

?1? ?2?

n ?1

, n ? N ? ------------------------------------------------------------------------10 分

文(3) pn ? loga bn , a ? 0, a ? 1 ----------------------------------------13 分

n ? 2 pn ? pn?1 ? loga bn ? loga bn?1 ? loga

bn 1 ? loga 为常数 bn?1 2

∴数列 ?pn ?为等差数列----------------------------------------------16 分 理(3) pn ? loga bn , a ? 1 ---------------------------------------------12 分

pn ? pn?1 ? loga bn ? loga bn?1 ? loga

bn 1 ? loga 为常数 bn?1 2

∴①数列 ?pn ?为等差数列----------------------------------------------14 分

d ? log a

1 ?a ? 1? 时 d ? 0 ∴②数列 ?pn ?的前 n 项和有最大值.--------------------16 分 2 b ?a ? 0, b ? 0, x ? 0? 单 调 减 区 间 是 x

23. 已 知 y ? ax ?

? b ? ,0 ? , 单 调 增 区 间 是 ?? a ? ? ?

? b? 1 ?1 ? ? ? ?, ? ? .设 g ? x ? ? 2 x ? , x ? ? , 4 ? . ? x a? ?4 ? ?
(1)求 g ?x ? 的单调区间(简单说明理由,不必严格证明) (2 ) 证明 g ?x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? ? 2 ? ? ?

( 3 ) 设 已 知 函 数 f ( x) ( x ?[a, b]) , 定 义 : f1 ( x) ? min{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) , f 2 ( x) ? max{ f (t ) | a ? t ? x} ( x ?[a, b]) .其中, min{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最 小值,max{ f ( x) | x ? D} 表示函数 f ( x) 在 D 上的最大值. 例如:f ?x ? ? sin x, x ? ?? 则

? ? ?? , , ? 2 2? ?

? ? ?? ? ? ?? 设 f1 ?x ? ? ?1, x ? ?? , ? f 2 ?x ? ? sin x, x ? ?? , ? ? 2 2? ? 2 2? g ?x ? ? g ?2 x ? g ?x ? ? g ?2 x ? ,不等式 p ? ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? ? m 恒成立,求 p , m 的 ? ?x ? ? ? 2 2
1 为奇函数. 奇函数在对称区间单调性相同---------- 2 分 x

取值范围 (1) ? g ? x ? ? 2 x ?

?1 2 ? g ?x ? 在 x ? ? , ? 上递减------------------------------------------------------------------3 分 ?4 2 ? ? 2 ? ,4? 上递增-----------------------------------------------------------------4 分 g ?x ? 在 x ? ? ? 2 ?
(2)用最值的定义证明---------------------------------------------------------------------5 分

?1 2 ? ?1 2 ? ?1? g ?x ? 在 x ? ? , ? 上递减,对任意 x ? ? , ? ,都有 g ? ? ? g ? x ? ? ?4? ?4 2 ? ?4 2 ?

? 2? ? g? ? 2 ? ----7 分 ? ?

? 2 ? ? 2 ? ,4? 上递增,对任意 x ? ? ,4? ,都有 g ?4? ? g ?x ? ? g ?x ? 在 x ? ? ? 2 ? ? 2 ?
综上, g ?x ? 的最小值为 g ?

? 2? ? g? ? 2 ? --9 分 ? ?

? 2? ? ? 2 ? ----------------------------------------------------------------10 分 ? ?

? 2 ?2 x ? 文(3) g1 ? x ? ? ? x ? 4 ?
g 2 ?x ? ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? --------------------------------------12 分 x ? ?1,4?

17 -------------------------------------------------------------14 分 2

? 17 2 ? 2x ? ? ? 2 x g1 ?x ? ? g 2 ?x ? ? ? 9 ? ? 2 ?

?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? ---------------------------------15 分 x ? ?1,4?

g1 ?x? ? g 2 ?x? 的最小值为 0------------------------------------------------17 分
p ? 0 -----------------------------------------------------------------------------------------------------18 分
理(3)先求定义域 x ? ? ,2? 4

?1 ? ? ?

? ?1 1 ? g ?x ? x ? ? , ? ? g ?x ? ? g ?2 x ? g ?x ? ? g ?2 x ? ? ? 4 2 ? ------------12 分 ? ?x ? ? ? ?? 2 2 ? g ?2 x ? x ? ? 1 ,2? ? ? ?2 ? ? ? ? 3 ? ? ?1 ?x ? ? ? ?2 x ? 1 ? x ?
? 9 ? ? ? 2 ?x ? ? ? 2 ?4 x ? 1 ? 2x ?

?1 ? x ? ? ,2? ? 2 ? ---------------------------------------------13 分 ?1 1 ? x?? , ? ?4 2 ?
?1 ? x ? ? ,1? ? 4 ? -----------------------------------------14 分 x ? ?1,2?

? 1 9 ? 2x ? x ? 2 ? 3 ? ?1 ? x ? ? ? 2 ? x ? ? ? ? 2 ? ?3 ? 4 x ? 1 ? 2x ?

?1 1 ? x?? , ? ?4 2 ? ?1 ? x ? ? ,1? ?2 ? x ? ?1,2?

由题设条件可得 ?1 ?x ? ? ? 2 ?x ? 的最小值为 ? 5.25 -----------------------------15 分

?1 ?x? ? ? 2 ?x? 的最大值为 0-------------------∴ p ? ? 5.25 m ? 0



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