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直线与方程3



高中数学必修二第三章
-- 直线与方程

知识结构
点斜式方程 斜截式方程

直线方程

截距式方程

单 元 结 构
直线的交点坐 标与距离公式

两点式方程
一般式方 程 直线的交点坐标 线段的中点公式 两点间的距离 点到直线的距离公式



两条平行线之间的距离

三、直线方程

直线方程的分类
点斜式方程y-y0=k(x-x0) 斜截式方程y=kx+b
直线方程
y ? y1 x ? x1 ? 两点式方程 y 2 ? y1 x 2 ? x 1

截距式方程 x ? y ? 1
a b

一般式方程Ax+By+C=0

1、直线的点斜式方程
直线L经过点P0(xo,yo),且斜率为k,设点P(x,y)是直线L 上不同于点P0的任意一点,有直线斜率公式得:

点斜式方程:即一点及其斜率确定一条直线 注:如果直线L过点P0(xo,yo)且与x轴垂直,此时 它的倾斜角为90?,斜率不存在,它的方程就不能 用点斜式表示,这时直线方程表示为:x=xo

即y-y0=k(x-x0)

y ? y0 k? x ? x0

直线的点斜式方程

L p(x,y) p0(x0,y0)

y ? y0 k? x ? x0
o x

即y-y0=k(x-x0)

点斜式方程:即一点及其斜率确定一条直线

例题讲解
例1、过点(-1,2),倾斜角为135?的直线方程为 例2、过点(2,1)且平行于x轴的直线方程为 且平行于y轴的直线为 ; 且过原点的方程为 。 例3、写出下列直线的点斜式方程。 (1)经过点A(2,5),斜率是4; (2)经过点B(2,3),倾斜角是45;? (3)经过点C(-1,-1),与x轴平行; (4)经过点D(1,2),与x轴垂直。 ;

2、直线的斜截式方程
如果直线的斜率为K,且与y轴交于 点(0,b),代入直线的点斜式方 程可得:y-b=k(x-0) 即:y=kx+b (2) 我们把直线L与y轴交于点(0,b) 的纵坐标b叫做直线L在y轴上的截 距。斜截式方程由直线的斜率K 与它在y轴上的截距b确定,所以方 程(2)叫做斜截式方程,简称斜 截式。

L

(0,b)

o

x

关于直线斜截式方程y=kx+b 应注意的几点
注意: ? 若直线L:y=kx+b 与x轴的相 交,令交点坐标为(m,0), 则m叫做直线L在x轴上的截 距; ? 截距不等同于距离,截距可 正可负可为零; ? 点(0,b)、(m,0)可看 成定点。

L

(0,b)

o

x

例题讲解
例1、写出下列直线的斜截式方程 ? 斜率是3,在y轴的截距式-3; ? 倾斜角是60?,在y轴上的截距是5; ? 倾斜角是30?,在y轴的截距是0; ? 倾斜角为135?,在x轴上的截距是2; ? 倾斜角是120?,在x轴上的截距是-1.

例题讲解
例2、(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线 方程 (2)求经过点(-1,1),且与直线y=-2x+7垂直的直 线方程 (3)求倾斜角为直线 y ? ? 3x ? 1 的倾斜角的一半, 且分别满足下列条件的直线方程 a、经过点(-4,0) b、在y轴上的截距为-10

课堂练习
1 3、直线 y ? ax ? 的图像可能是( ) a

A o x

B o x

C o x

D o x

课堂练习
1、直线L不过第三象限,L的斜率为k,L在y轴上的截距为b (b≠0),则有: A、kb?0 B 、kb≤0 C、kb>0 D、kb≤0 2、直线L的方程y=kx+b的图象 如图所示,则k、b满足: A、k>0,b?0 B 、k?0,b?0 C、k?0 ,b>0 D、k>0,b?0 o

x

课堂练习
4、经过点p(3,2),且在两坐标轴上的截距相等的直线方 程是( )
(x - 2 ) 绕点(2,0)顺时针方向旋转30?所 5、求直线 y ? - 3 得的直线方程。

6、求与直线y=3x+4在y轴上有相同截距,且和它关于y轴对 称的直线方程 7、光线自点M(2,3)射到y轴上的点N(0,1)后被y轴反射, 求反射光线的方程。

3、直线的两点式方程
已知两点p1(x1,y1)、p2(x2,y2)(其中x1≠x2),求p1p2所在的直 线方程? 因为x1≠x2,所以 k p1p2 ?
y1 ? y 2 ,任去p1、p2中的一点, 可 x1 ? x 2

由点斜式求直线方程。 如取点p1(x1,y1),则有:

y2 ? y1 y ? y1 ? ( x ? x1 ) x2 ? x1 当y2 ? y1时,上式可转化为: y - y1 x ? x1 ? (3) y2 ? y1 x2 ? x1

直线的两点式方程
则(3)式可称为直线的两点式方程。 两点式方程:

y - y1 x ? x1 ? y2 ? y1 x2 ? x1

注:在用两点式求直线方程时应注意两点式方程的限制条件, 即:x1≠x2,y1≠y2

若 x1=x2,y1≠y2,则直线方程为x-x1=0,即x=x1 若 y1=y2,x1≠x2,则直线方程为y-y1=0,即y=y1

直线的两点式方程

总结:
因为两点式既涉及到了两点求斜率,又运用 了点斜式求方程因此在实际解题中我们直接用点 斜式代替两点式。

例题讲解
例1、根据两点式求下列过两点的直线方程 (1)(-3,-2)、(2,2) (2)(-2,-3)、(-5,-6) (3)(-3,4)、(-3,10) (4)(-4,-4)、(10,-4) 例2、直线L过点(-1,-1)、(2,5)两点,点(1002,b) 在L上,则b的值等于() 例3、已知点A(2,5)与点B(4,-7),试在y轴上求一点, 使得|PA|+|PB|的值最小。

4、直线的截距式方程
推导: 已知直线L的交点为A(a,0),与y轴的交点为B(0,b) 如图,其中a,b≠0,求直线L的方程 y L

解析:由两点求斜率 b-0 b K= ?? a-0 a ?由点斜式可求直线 L: b A(a,o) y - 0 ?(? )? (x - a) a x y 得: ? ? 1 ( 4 ) a b

B(0,B) o x

直线的截距式方程
截距式方程:

x y ? ?1 a b

说明:截距式方程的条件是:a,b≠0,即截距式不能求过原 点的直线的解析式,也不能表示与坐标轴平行的直线。

例题讲解
例1、根据下列条件,求直线方程 (1)在x轴上的截距为-2,在y轴的截距为-2; (2)过点(1,1),在两坐标轴上的截距之和为10.

课堂练习
1、直线

x y ? 2 ? 1(ab ? 0)在y轴的截距是 ( 2 a b




2、直线3x-2y=4的截距式方程为(

5、中点坐标公式
已知点A(x1,y1)B(x2,y2),点P(x0,y0)是线段|AB|的中 点,则有:

x 1 ? x 2 y1 ? y 2 ( ( , ) 即线段|AB|中点P的坐标为: 2 2

x1 ? x 2 x0 ? 2 y1 ? y 2 y0 ? 2

中点坐标公式的推导
如图,过A点作AM┴x轴于 M,过B点作BN┴x轴于N, 过A点作AC┴BN于C,则C 点坐标为(X2,Y1),过p x ?x 点作PD┴AC于D,则D( 1 2 2 , y1 ) ,过p点作PE┴BN于E,则 () y ?y E (X 2 , 1 2 ) .
2

x 1 ? x 2 y1 ? y 2 ( ( , ) 2 2
( x1 ? x 2 , y1 ) 2

E D

y ? y2 (X 2 , 1 ) 2

C (X2,Y1)

x 1 ? x 2 y1 ? y 2 ( ( , ) 故P点坐标为 2 2

M

N

例题讲解
例1、求下列每对点的中点坐标。 (1)(3,4)(5,4) (2)(3,4)(-3,-4) (3)(a,b)(a+b,a-b) (4)(a,c)(b,d)

课堂练习
1、已知?ABC的三个顶点A(1,1)、B(-2,-1)、C(3,3),求AB边上的中线所在的直线方程 6x ? 7y ? 3 ? 0 2、直线l过点(1,2)和第一、二、四象限,若直线l的横截距 与纵截距之和为6,求直线l的直线方程? 3、已知直线ax+by=1,若ab>0,且a+b=4,则直线与坐标轴围成 的三角形的面积最小是( 解析 ) 4、直线3x-4y+k=0在坐标轴的截距之和为12,则实数k=(?)

2x ? y ? 4 ? 0, x ? y ? 3 ? 0

课堂练习
线方程?

3 5、求斜率为 4

,且与坐标轴围成的三角形的面积为6的直

6、已知直线L经过点P(-5,-4),且与坐标轴围成的三角 形的面积为5,求直线L的方程

课堂练习
7、如图,已知三角形三个顶点A(-2,2)B(3,2)C(3,0) 求这个三角形三边所在的直线方程及AC边上的高线BD所在 的直线L的方程。

解析:
x y 设直线方程为: ? ? 1 a b

因为点(1,2)在直线上

1 2 所以 ? ? 1 a b b ? 2a (a ? b)? a ? ? ? 1(1) ab ab 因为截距之和为6 所以 a ? b ? 6 ( 2 )

由( 1 )( 2 )( 3 )可得: 6 ? a ? a(6 ? a) ? a 2 ? 5a ? 6 ? 0 解得:a ? 2或a ? 3
当a ? 2时 ,b ? 4 x y ? ? ?1 2 4 ? 2x ? y ? 4 ? 0
x y ? ? ?1 3 3 ? x? y ?3? 0

? b ? 6 ? a( 3 )

当a ? 3时,b ? 3

解析:
因为ab>0,且a+b=4 所以a>0,b>0 1 直线ax+by=1与x轴的交点坐标为 ( ,0 ) 1 a 与y轴的交点坐标为( 0, )

b

1 1 1 1 ? ? ? 所以三角的面积S= 2 a b 2ab

因为 ab ? ( a ? b ) 2 ? ( 4 ) 2 ? 4
2 2

所以 1 ? 1 , 即 1 ? 1
ab 4 2ab 8

1 ?S ? 8

解析5:
x y 解:设直线方程为 ? ? 1 a b
? y?? b x?b a

由(1)(2)可得: 3 2 a ? 12 4 2 ? a ? 16

b 3 ?- ? a 4 3 ? b ? ? a( 1 ) 4 因为直线与坐标轴围成的 三角形面积为6 所以 1 | ab | ? 6
2 ?| ab | ? 12(2)

? a ? ?4
当a ? 4时,b ? ?3
? 3x ? 4 y ? 12 ? 0

当a ? ?4时,b ? 3 ? 3x ? 4 y ? 12 ? 0

6、直线的一般方程
直线的一般方程 我们把x,y的二元一次方程:Ax+By+C=0叫做直线的一般式 方程,简称:一般式。 Ax+By+C=0 (A,B不同时为零)

A C 当B≠0时, y ? ? x ? B B

C 表示过点 ( 0 , - ) ,斜率k= B

A B

的直线。

直线的一般方程
直线的一般式方程: Ax+By+C=0 (A,B不同时为零) 当A=0,B≠0时,直线L:y ? -

C , 平行于x轴; B

C 当B=0,A≠0时,直线L:x ? , 平行于y轴。 A

例题讲解
熟练掌握五种直线方程 例1、根据下列条件分别求出直线的方程,并化为一般式方 程。 ? 斜率是 3 ,且经过点A(5,3); 3x ? y ? 3 ? 5 3 ? 0 ? 过点(-3,0),且 垂直于x轴; x ? 3 ? 0 ? 斜率为4,在y轴上的截距为-3; 4 x ? y ? 3 ? 0 ? 在x、y轴的截距分别为-3,-1; x ? 3 y ? 3 ? 0 ? 在y轴上的截距为3,且平行于x轴; y ? 3 ? 0 ? 经过两点(-1,5)(2,-1) 6 x ? 3 y ? 9 ? 0

例题讲解
利用直线的一般式方程研究直线的平行问题 例2、(1)求直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线L 的方程。 (2)直线L1:2x+(m+1)y+4=0与直线L2:mx+3y-2=0平行, 则m的值为( ) A. 2 B. -2 C. 2或-3 D.-2或-3

知识补充:一般式中的直线平行须满足的条件
已知直线L1: A1x+B1y+C1=0,直线L2:A2x+B2y+C2=0 A A 直线L1的斜率 k1 ? ? 1 , 直线L2的斜率 k2 ? ? 2
B1 B2

若直线L1?L2,则有: ?

A1 A ?? 2 B1 B2 A1 A2 ? ? 即 B1 B2 A B A 另 1 ? 1 ? K , 则A2 ? 1,B2 ? A2 B2 K

A1 B1 ? A2 B2 B1 K

A1 B1 ? L2 : x ? y ? C2 ? 0 K K

A1x+B1y+KC1=0

知识补充:一般式中的直线平行须满足的条件
因此,当直线L1?L2时,我们可以用:

L1:Ax+By+C1=0

L2:Ax+By+C2=0

(其中C1≠C2)

来表示两条直线的平行关系。 同时,我们也可以能用直线L1?L2时,直线方程之间的系数关 系: A1 ? B1 ? K , A ? A1,B ? B2 2 2 A2 B2 K K 来解决直线的平行问题

解析
1、求直线3x+4y+1=0平行且过点(1,2)的直线L的方程。 解:因为直线L与直线3x+4y+1=0平行 所以可设直线L的方程为:3x+4y+C=0 因为直线L经过点(1,2) 所以,3×1+4×2+C=0 解得:C=-11 所以,直线L:3x+4y-11=0

解析
2、直线L1:2x+(m+1)y+4=0与直线L2:mx+3y-2=0平行, 则m的值为( ) 解:当m=0时,L2:3y-2=0,此时L1不平行于L2 当m≠0时,因为L1?L2

所以有:

2 m ?1 ? m 3

即m2+m-6=0, 解得m=-3或者m=2

例题讲解
利用直线的一般式研究直线的垂直问题 例3:(1)求经过点M(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的L 的方程。 (2)直线(a+2)x+(1-a)-3=0与(a-1)x+(2a+3)y+2=0互 相垂直,求a的值。

补充:直线一般式中的垂直问题
已知直线L1: A1x+B1y+C1=0,直线L2:A2x+B2y+C2=0 A A 直线L1的斜率 k1 ? ? 1 ,直线L2的斜率 k2 ? ? 2 (B1,B2≠0)
B1 B2

当L1┴L2时,K1?K2=-1,即:

A1 A2 ? ? ?1 B1 B2
即A1A2=-B1B2

解析:
1、求经过点A(2,1)且与直线2x+y-10=0垂直的L的方程。 解:令L1为2x+y-10=0,所以k1=-2

A 1 则直线L的斜率K= ? ? B 2
设直线L的方程为: x-2y+C=0 因为点A(2,1)在直线上 所以有:2-2×1+C=0,解得C=0 所以L:x-2y=0

解析:
2.直线L1(a+2)x+(1-a)y-3=0与L2(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相 垂直,求a的值。 解:当L1的斜率不存在时,即a=-2 此时,L1:3y-3=0,L2:-3x-y+2=0 L1与L2不垂直. 当L2的斜率不存在时,即a=1 此时,L1:3x-3=0,L2:5y+2=0 满足了L1垂直于L2. 当L1与L2的斜率都存在时,因为L1垂直于L2 所以有:(a+2)?(a-1)=-(1-a)?(2a+3) 解得:a=1 综上:a=1

例题讲解
截距问题 例4.已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3和 -4,求m,n的值

知识补充:直线一般式中的截距问题
直线L: Ax+By+C=0(A,B不为零), 求直线L在x轴、y轴上 的截距。 1、在x轴上的截距 当直线L与x轴相交时,纵坐标为0,有: Ax +C=0, X ? ? C
A

即直线L在x轴的截距为: ?

C A

2、在y轴上的截距 当直线L与y轴相交时,横坐标为0,有: C y ? ? By+C=0,
B

C 即直线L在y轴的截距为: ?

B

解析
4.已知直线mx+ny+12=0在x轴、y轴上的截距分别是-3和 -4,求m,n的值 12 ? 解:直线mx+ny+12=0在x轴的截距= m ? ?3 解得m=4 12 ? ? ?4 直线mx+ny+12=0在x轴的截距= n 解得n=-3

课堂练习
1、若直线Ax+By+C=0过第一、二、三象限,则() A.AB>0,BC>0 B.AB>0,BC?0 C.AB?0 ,BC?0 C.AB?0 ,BC>0 2.已知直线Ax+By+C=0,且AB>0,AC?0, 则该直线不经过 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.一直线ax+3y-5=0经过A(-1,-2),B(2,4)两点线段的中点, 则a=( )

课堂练习
4.求垂直于直线3x+2y-6=0,且在坐标轴的截距之和为-2的直 线方程

5.已知直线l:(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6,根据下列条 件分别确定实数m的取值范围 (1)直线l在x轴上的截距为-3; (2)斜率为1

课堂练习
6.求过点P(-5,-4),且满足下列条件的直线方程 (1)与两坐标轴围成的三角形的面积为5; (2)在x轴和y轴上的截距相等。

7、直线的交点坐标与距离公式
1、直线的交点坐标
已知两条直线:

L1:A1x+B1y+C1=0

L2:A2x+B2y+C2=0 , 相交,如何求两条
直线的交点坐标?

直线的交点
求两条相交直线的交点,须联立直线方程:

L1:A1x+B1y+C1=0 L2:A2x+B2y+C2=0
? 若方程有一解,则两直线相交,此解就是交点的坐标; ? 若方程无解,则两条直线无公共点,此时L1?L2

例题讲解
例1.求下列两条直线的交点坐标。 L1:3x +4y-2=0 L2: 2x+y+2=0

解:联立直线方程 3x +4y-2=0
2x+y+2=0 解得:

x=-2 y=2

例题讲解
例2:判断下列各直线的位置关系,如果相交,求出交点 (1)x-3y=0 , 3x-y+1=0 (2)3x+4y-5=0 , 6x+8y-10=0 (3)3x-y+4=0 , 6x-2y-1=0
3 1 - ) 答案:(1)相交,交点坐标 (- , 8 8

(2)平行

(3)平行

课堂练习
求过交点的直线
例1.求经过两条直线2x-3y-3=0和直线x+y+2=0的交点且与 直线3x+y-1=0平行的直线方程 3 法一:联立 得: x?? 2x-3y-3=0 x+y+2=0 因为直线l与直线3x+y-1=0平行 所以l的斜率k=-3 7 3 ? ? 由点斜式可得: y ? ( ? ) ? ?3 ?x ? ( ? ) ? 5 5 ? ? 化简得:15x+15y+16=0
5 7 y?? 5

课堂练习
法二:因为直线l过直线2x-3y-3=0和直线x+y+2=0的交点 所以可设l:2x-3y-3+λ(x+y+2)=0 即:(2+λ)x+(λ-3)y+2λ-3=0 因为直线l与直线3x+y-1=0平行 所以 λ ? 2 λ - 3 2 λ - 3
3 ? 1 ? -1

解得: λ = 11 2 所以l:15x+15y+16=0

题型练习(1)
1、过两直线2x-3y+10=0和3x+4y-2=0的交点,且垂直于直 线x-2y+4=0的直线方程为()

2、过两直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点,且平行于直线 4x-3y-2=0的直线方程为()

解析:
1、解:联立

2x-3y+10=0 得:x=-2,y=2

3x+4y-2=0
因为直线l与直线x-2y+4=0垂直 所以直线l的斜率k=-2 由点斜式可得:y-2=-2[x-(-2)] 化简得:2x+y+2=0

解析:
2、解:法一: 因为直线l过直线2x+y-8=0和x-2y+1=0的交点 所以可设l:2x+y-8+λ(x-2y+1)=0 即(2+λ)x+(1-2λ)y+λ-8=0 因为直线l与直线4x-3y-2=0平行 所以有: ? ? 4 -3 -2 解得:λ=2 故直线L:4x-3y-6=0
2 ?λ 1 - 2λ λ -8

解析
2.法二: 联立 2x+y-8=0 解得: x=3 y=2

x-2y+1=0
即交点坐标为(3,2) 因为直线l与直线4x-3y-2=0平行 所以可设l:4x-3y+C=0 将点(3,2)代入直线l方程可得:C=-6 即所求直线l:4x-3y-6=0

课堂练习
直线的对称问题 (1)点的对称问题 例1.过点A(2,2)关于直线2x-4y+9=o的对称点坐 标。

解析:
法1:设A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称点为A'(x0,y0) 连接AA',则AA'垂直于直线2x-4y+9=0 所以可设AA'所在直线方程为:4x+2y+C=0 将点A(2,2)代入直线方程,可求得:C=-12 所以直线AA'所在直线方程为:4x+2y-12=0,即2x+y-6=0 设LAA'与直线2x-4y+9=0的交点为P,P点即为AA'线段的中点 联立 解得: 3 2x-4y+9=0 3 x? 2x+y-6=0 由中点坐标公式得:

2 y ?3

? P( , 3) 2

x0 ? 2 3 ? 2 2 y0 ? 2 ?3 2

? A' (1 , 4)

得:x0=1,y0=4

解析:
法二:设A'(a,b)是点A(2,2)关于直线2x-4y+9=0的对称 点,则AA'与已知直线垂直,且线段AA'的中点坐标在已知直 线上,则有:
1 b?2 ? ? ?1 2 a?2
2? a?2 b?2 ?4? ?9?0 2 2

解得:

a=1

b=4

所以A'的对称点坐标为(1,4)

课堂练习
(2)直线的对称问题 例2、已知直线L1:x+y=1,L2:2x-y+3=0,求直线L2关于 直线L1对称的直线L的方程。 2 法一:联立 x+y=1 得: x ? ? 3 5 y? 2x-y+3=1 3
2 5 所以,L1与L2 的交点坐标为 ( ? , ) 2 5 3 3 ( ? , ) 所以直线L必过点 3 3 取直线L2:2x-y+3=0上的任一点Q(-1,1)

题型练习(2)
1、求点P(2,5)关于直线x+y=0的对称点的坐标()

2、已知点P(a,b)与点Q(1-b,1-a)(a≠1-b)关于直线l对称,求直 线l的方程?

解析
设Q'(a,b)与Q关于直线L1对称,则有:
y0 ?1 ? ( ?1) ? ?1 xo ?1 x o ? 1 yo ? 1 ? ?1 ? 0 2 2

解得:

xo ? 0 yo ? 2

故Q'(0,2) 2 5 因为直线L过点 ( ? , ) 和(0,2) 3 3 由两点式可得L:x-2y+4=0

解析:
法二:取直线L上任意一点P(x,y) 设P点关于直线L的对称点为P'(xo,yo) 则 yo - y 解得: xo ? (- 1 )? -1 xo - x yo x o ? x yo ? y ? -1 ? 0 2 2 因为P'(xo,yo)满足直线L2的方程 所以2(1-y)-(1-x)+3=0 所以L:x-2y+4=0

? 1- y ? 1- x

题型练习:
1、求直线x-3y-2=0关于直线x+y+6=0对称的直线方程。 2、求直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程。

课堂练习
(3)直线关于点的对称问题 例3.已知直线L:x-y-2=0,求其关于点(1,1)对称的直线L'的 方程。 解:设直线L'的方程为:x-y+m= 0 在直线L:x-y-2=0上取一点(1,-1),设为Q点 所以Q点关于点(1,1)的对称点(1,3)也在直线L'上 将点Q(1,3)代入L':x-y+m= 0,解得m=2 所以,所求直线L':x-y+2= 0

题型练习
1、求直线x-y+4=0关于点(1,0)对称的直线L的方程。

课堂练习
直线中线段的最值问题 2,5) 例4、在直线L:3x-y-1=0上求一点P,使得: ( (1)P到A(4,1)和B(0,4)的距离之差最大 (2)P到A(4,1)和C(3,4)的距离之和最小 (11 , 26)
7 7

课堂练习
直线的定点问题 所谓直线的定点问题,就是斜率K或者某一参量无论怎样变 化,直线必过某一点,过该点的所有直线组成一个直线系, 该点就称为这组直线系的定点。 例如:直线L:y=kx+b,无论斜率k怎样变化,直线恒过点 (0,m),则点(0,m)可称为直线L的定点。 例1.求直线y=k(x-1)+3定点 解析:将已知直线方程转化为y-yo=k(x-xo)的形式,则定点 坐标为(xo,yo)

课堂练习
分离系数法求定点 若已知方程是一个含有参数的m的直线系方程,我们可以把 系数中的m分离出来,化成: f(x,y)=0 f(x,y)+m?g(x,y)=0的形式,由 解x,y 即得定点坐标。 例2.无论m取何实数,直线(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 恒过定点,此定点坐标为(?) g(x,y)=0

课堂练习
解:(2m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0 m(2x-y-1)-(x+3y-11)=0 令 2x-y-1=0 x+3y-11=0 所以直线必过定点(2,3) 解得: x=2 y=3

题型练习
1、已知直线L:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0,求直线L恒过 点P的坐标( )



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