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7-8讲 圆的方程



第四章 4.1.1 圆的标准方程
教学目标

圆的方程

(1)掌握圆的标准方程,能根据圆心、半径写出圆的标准方程. (2)会用待定系数法求圆的标准方程. 重点与难点 重点:圆的标准方程的推导过程和圆的标准方程特点的明确. 难点:会根据不同的已知条件,利用待定系数法求圆的标准方程. 知识探讨: ①已知两点 A(2,-5),B(6,

9),如何求它们之间的距离?若已知 C(3,-8),D(x,y),又如何求它们 之间的距离?

②具有什么性质的点的轨迹称为圆?

③图 1 中哪个点是定点?哪个点是动点?动点具有什么性质?圆心和半径都反映了圆 的什么特点?

图1

④我们知道,在平面直角坐标系中,确定一条直线的条件是两点或一点和倾斜角 ,那么,决 定圆的条件是什么?

⑤如果已知圆心坐标为 C(a,b),圆的半径为 r,我们如何写出圆的方程?

⑥圆的方程形式有什么特点?当圆心在原点时,圆的方程是什么? 想一想:

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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①根据圆的标准方程说明确定圆的方程的条件是什么?

②确定圆的方程的方法和步骤是什么?

③坐标平面内的点与圆有什么位置关系?如何判断?

典例讲解 例 1 写出下列各圆的标准方程: (1)圆心在原点,半径是 3; ⑵圆心在点 C(3,4),半径是 5 ; (3)经过点 P(5,1),圆心在点 C(8,-3); (4)圆心在点 C(1, 3),并且和直线 3x-4y-7=0 相切.

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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例 2 写出圆心为 A(2,-3),半径长等于 5 的圆的方程,并判断点 M1(5,-7),M2(- 5 ,-1)是否在 这个圆上.

例 3 △ ABC 的三个顶点的坐标是 A(5,1),B(7,-3),C(2,-8),求它的外接圆的方程.

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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例 4. 图 2 是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图,该圆拱跨度 AB=20 m,拱高 OP=4 m,在建造时 每隔 4 m 需用一个支柱支撑,求支柱 A2P2 的长度(精确到 0.01 m).

图2

例 5 求与圆 x2+y2-2x=0 外切,且与直线 x+ 3 y=0 相切于点(3,- 3 )的圆的方程.

【跟踪训练】

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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一圆过原点 O 和点 P(1,3),圆心在直线 y=x+2 上,求此圆的方程.

课堂小结 ①圆的标准方程. ②点与圆的位置关系的判断方法. ③根据已知条件求圆的标准方程的方法. ④利用圆的平面几何的知识构建方程. ⑤直径端点是 A(x1,y1)、B(x2,y2)的圆的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.

课堂检测: 1.求下列圆的方程: (1)圆心在直线 y=-2x 上且与直线 y=1-x 相切于点(2,-1). (2)圆心在点(2,-1),且截直线 y=x-1 所得弦长为 22.

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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2.求圆心在直线 y=2x 上且与两直线 3x+4y-7=0 和 3x+4y+3=0 都相切的圆的方程.

4.1.2 圆的一般方程 1 教学目标 (1)在掌握圆的标准方程的基础上,理解记忆圆的一般方程的代数特征,由圆的一般 方程确定圆的圆心半径,掌握方程 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 表示圆的条件. (2)能通过配方等手段,把圆的一般方程化为圆的标准方程,能用待定系数法求圆的 方程. (3)培养学生探索发现及分析解决问题的实际能力. 2 教学重点与难点 教学重点:圆的一般方程的代数特征,一般方程与标准方程间的互化,根据已知条件确定 方程中的系数 D、E、F. 教学难点:对圆的一般方程的认识、掌握和运用. 教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……
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3 导入新课 ①说出圆心为(a,b),半径为 r 的圆的标准方程.

②学生练习:将以 C(a,b)为圆心,r 为半径的圆的标准方程展开并整理得:______________

③指出:如果 D=-2a,E=-2b,F=a2+b2-r2,得到方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,这说明圆的方程还可 以表示成另外一种非标准方程形式.

④能不能说方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 所表示的曲线一定是圆呢?这就是我们本堂课的内 容,教师板书课题:圆的一般方程.

问题: 求过三点 A (0,0),B(1,1),C(4,2)的圆的方程.利用圆的标准方程解决此问题显然有些 麻烦,用直线的知识解决又有其简单的局限性,那么这个问题有没有其他的解决方法呢?

思考: ①前一章我们研究直线方程用的什么顺序和方法?

②这里我们研究圆的方程是否也能类比研究直线方程的顺序和方法呢?

③给出式子 x2+y2+Dx+Ey+F=0,请你利用配方法化成不含 x 和 y 的一次项的式子.

④ 把 式 子 (x - a)2 + (y - b)2=r2 与 x2+y2+Dx+Ey+F=0 配 方 后 的 式 子 比 较 , 得 出 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表示圆的条件. 教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……
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⑤对圆的标准方程与圆的一般方程作一比较,看各自有什么特点?

4 典例讲解 例 1 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程?如果是,请求出圆的圆心及半径. (1)4x2+4y2-4x+12y+9=0; (2)4x2+4y2-4x+12y+11=0.

【跟踪训练 1】 求下列圆的半径和圆心坐标: 教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……
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(1)x2+y2-8x+6y=0;(2)x2+y2+2by=0.

例 2 求过三点 O(0,0)、M1(1,1)、M2(4,2)的圆的方程,并求圆的半径长和圆心坐标.

例 3 已知点 P(10,0),Q 为圆 x2+y2=16 上一动点.当 Q 在圆上运动时,求 PQ 的中点 M 的轨迹 方程.

【跟踪训练 2】 已知线段 AB 的端点 B 的坐标是(4,3),端点 A 在圆(x+1)2+y2=4 上运动,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程. 教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……
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例 3 求圆心在直线 l:x+y=0 上,且过两圆 C1:x2+y2-2x+10y-24=0 和 C2:x2+y2+2x+2y-8=0 的 交点的圆的方程.

例 4 已知圆在 x 轴上的截距分别为 1 和 3,在 y 轴上的截距为-1,求该圆的方程.

课堂检测: 教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……
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1.试求圆 C:x2+y2-x+2y=0 关于直线 l:x-y+1=0 对称的曲线 C′的方程.

2. 已知圆 x2+y2-x-8y+m=0 与直线 x+2y-6=0 相交于 P、Q 两点,定点 R(1,1),若 PR⊥QR,求实 数 m 的值.

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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课堂小结 1.任何一个圆的方程都可以写成 x2+y2+Dx+Ey+F=0 的形式,但方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0 表 示 的 曲 线 不 一 定 是 圆 , 只 有 D2+E2-4F > 0 时 , 方 程 表 示 圆 心 为 (r=

D E ,), 半 径 为 2 2

1 2

D 2 ? E 2 ? 4F 的圆.
2.求圆的方程,应根据条件特点选择合适的方程形式:若条件与圆心、半径有关,则宜用

标准方程;若条件主要是圆所经过的点的坐标,则宜用一般方程. 3.要画出圆的图像,必须要知道圆心坐标和半径,因此应掌握利用配方法将圆的一般方程 化为标准方程的方法.

教师寄语:不比智力,比努力;不看起步,看进步……

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