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圆幂与根轴,



圆幂与根轴, 几何综合问题选讲
范端喜 2011.7

根轴
与圆幂定理相关的另一个概念是根轴。 首先我们有幂的定义:从一点A作一圆周的任 一割线,从A起到和圆周相交为止的两线段 之积,称为点对于圆周的幂。 若A点在圆外,A点的幂等于从A点所引圆周 切线的平方,由相交弦定理及割线定理, 知道点A的幂为定值。

不难证

明,幂有下列两个性质 (1):两圆周相交,交点处的切线成直角,则每一圆半径的平方 等于它的圆心对于另一圆周的幂,反之亦然。 (2):点A对于以O为圆心的圆周的幂,等于OA及其半径的平方差。

由此,我们有 定理1:对于两已知圆有等幂的点的轨迹, 是一条垂直于连心线的直线。

由此可以看出: 1.若两圆同心,则O1O2 ? 0,所以,同心圆的根轴 不存在;

2.若R2 ? 0,圆O2缩成一点O2,这时M点对圆O2的幂即是
2 MO2 . 上面的论述均成立。这 时,直线(轨迹)称为 一圆

与一定点的根轴。

定义:两圆等幂点的轨迹,称为两圆的根轴或等幂轴。
定理2:若两圆相交,其根轴就是公共弦所在的直线,由于两圆的交点对于两圆 的幂都是O,所以,它们位于根轴上。根轴是直线,所以,根轴是两交点的连线

定理3:若两圆相切,其根轴就是过两圆切点的公切线. 这由幂的定义,可立即推出: 定理4:若三个圆两两不同心,则其两两的根轴相交于一点,或互 相平行。若这三条根轴中有两条相交,则这一交点对于三个圆的幂 均相等,所以必在第三条根轴上。这一点,称为三圆的根心。

显然,当三个圆的圆心在一条直线上时,三条根轴互相平行。 当三个圆的圆心不共线时,根心存在。

设D、E是ΔABC中AB、AC上的点,求证:以BE、CD为直径的两圆的 根轴必通过ΔABC的垂心。

已知两个半径不相等的 O1与圆O2相交于M、N两点,且圆O1与圆O2分别与 圆 圆O内切于S、T两点,求证:OM ? MN的充分必要条件是 、N、T三点共线。 S

设 O 和 I 分别为 ΔABC 的外心和内心,ΔABC 的内切圆与边 BC、CA、AB 分别 相切于点 D、E、F,直线 FD 和 CA 相交于点 P,直线 DE 与 AB 相交于点Q, 点 M、N 分别为线段 PE,QF 的中点,求证:OI ? MN .

如图,设圆O1和圆O2 相离,引它们的一条外 公切线切圆O1于A,切圆O2于C, 引它们的一条内公切线 切圆O1于B,切圆O2于D,求证:直线AB和CD的交点 在两圆的连心线上。

设 A 是圆O 的直径BB '上或其延长线上任一定点,过 A引圆O 的割线 MAM ' 或 AMM ',过 A 作 BB ' 的垂线交 BM 的延长线于点N,交 BM ' 的延长线于点 N ' . 求证:AN ? AN ' 是定值。
N'

M'

B

A

B'

M N

提示:可证 M、M '、N '、N 四点共圆,记此圆为Γ。于是,MM ' 是圆 O 和圆 Γ 的根轴,又 A 在根轴上,则AN ? AN ' ? AB ? AB ' .

ΔABC 中,E、F 分别为 AB、AC 中点,CM、BN 为高,EF 交 MN 于P, O、H 分别为三角形的外心和 垂心。求证:AP ? OH .

A
A

o'
M E
O H

M
P F N

H' P N
H

E
O
C

F

B

B

C

设四边形 ABCD 的对角线交于点O,点 M、N 分别是 AD、BC 的中点,点 H 1、H 2 (不重合)分别是ΔAOB 与 ΔCOD的垂心,求证:H 1 H 2 ? MN .
A

M

A
H1

O
H2

D
H1

M F O

B N C

D
H2

E B N

C

根轴及其应用
根轴是沟通圆与圆之间关系的一条基本直线。由于 根轴和共轴圆系易于构造和计算,不少涉及圆的 解析几何问题,若运用根轴知识来解决,不仅思 路简捷,解题明快,而且饶有趣味,容易掌握。

例1. 已知圆C 的方程是 x 2 ? y 2 ? Dx ? Ey ? F ? 0,求经过圆上一点 P ( x 0,y 0 )的切线方程.

例2. 过点 M ( x 0,y 0 )引圆( x ? a ) 2 ? ( y ? b) 2 ? r 2 ( r ? 0)的两条切线,切点为 A,B,求弦 AB 所在的直线方程.

例3. 求经过圆C 1 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 28 ? 0 与圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 20 y ? 52 ? 0 之交点且与直线x ? 7 相切的圆的方程.

例4. 若圆C 1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 10 ? 0 与圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 交于 A,B 两点,求以弦 AB 为直径的圆的方程.

例4. 若圆C 1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 10 ? 0 与圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 交于 A,B 两点,求以弦 AB 为直径的圆的方程.

例4. 若圆C 1 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 6 y ? 10 ? 0 与圆C 2 : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 2 y ? 6 ? 0 交于 A,B 两点,求以弦 AB 为直径的圆的方程.

例5. 求经过点 A(1, ),并且与直线l : x ? y ? 3 ? 0 相切于点 M (1, )的圆 4 2 的方程.

例6. 求圆 x 2 ? y 2 ? 4 y ? 0 关于直线 x ? 3 y ? 1 ? 0 对称的圆的方程 .

例7. 一圆过点 A(1, ) 与 B(3, 4),且与 x 轴截出的弦长为6,试求该圆的方程 2 .



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