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求函数解析式的6种方法



求函数解析式的 6 种方法
一、待定系数法 待定系数法是求函数解析式的常用方法之一, 它适用于已知所求函数类型 (如一次函数, 二次函数,正、反例函数,指数函数,对数函数、幂函数等)及函数的某些特征求其解析式 的题目,它在函数解析式的确定中扮演着十分重要的角色。其方法:已知所求函数类型,可 预先设出所求函数的解析式,再根据题意列出方程组求出系数。 例 1 (1)已知二次函数 f ( x ) 满足 f (1) ? 1 , f (?1) ? 5 ,图象过原点,求 f ( x ) ; (2)已知二次函数 f ( x ) ,其图象的顶点是 (?1, 2) ,且经过原点, f ( x ) . (3)已知 f ( x ) 是二次函数,若 f (0) ? 0, 且 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 试求 f ( x ) 的表达式 (4)已知二次函数 f(x)满足 f(0)=0,f(x+1)= f(x)+2x+8,求 f(x)的解析 式. 解: (1)由题意设 f ( x) ? ax ? bx ? c ,
2

∵ f (1) ? 1 , f (?1) ? 5 ,且图象过原点,

?a ? b ? c ? 1 ? ∴ ? a ? b ? c ? ?5 ?c ? 0 ?
∴ f ( x ) ? 3x ? 2 x .
2

?a ? 3 ? ∴ ?b ? ? 2 ?c ? 0 ?
2

(2)由题意设 f ( x) ? a( x ? 1) ? 2 , 又∵图象经过原点, ∴ f (0) ? 0 ,∴ a ? 2 ? 0 ∴ f ( x) ? ?2 x ? 4 x .
2

得 a ? ?2 ,

(3)解析:设 f ( x) ? ax ? bx ? c
2

(a ? 0)

由 f (0) ? 0, 得 c=0 由 f ( x ? 1) ? f ( x) ? x ? 1 得 a( x ? 1) ? b( x ? 1) ? c ? ax ? bx ? c ? x ? 1
2 2

整理得

ax +(2a+b)x+a+b+c=ax +(b+1)x+c+1

2

2



1 ? a ? ? 2 ? 2a ? b ? b ? 1 ? 1 ? ? ?a ? b ? c ? c ? 1 ? ?b ? 2 ?c ? 0 ? ? c ? 0 ? ? ? 1 1 ? f ( x) ? x 2 ? x 2 2
1

(4)解:设二次函数 f(x)= ax +bx+c,则 f(0)= c= 0 f(x+1)= a ( x ? 1) 2 +b(x+1)= ax +(2a+b)x+a+b
2

2





由 f(x+1)= f(x)+2x+8 与①、② 得

?2a ? b ? b ? 2 ? ?a ? b ? 8

解得 ?

?a ? 1, ?b ? 7.

故 f(x)= x +7x.

2

例 2 (1)已知函数 f(x)是一次函数,且满足关系式 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x)的解析式。 解:设 f(x)=ax+b(a≠0),由条件得:3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17, ∴f(x)=2x+7 (2)求一个一次函数 f(x),满足 f{f[f(x)]}=8x+7 解:设 f(x)=ax+b(a≠0),依题意有 a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴ a x +b( a +a+1)=8x+7,∴f(x)=2x+1 例 3 已知函数 F(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是正比例函数,g(x)是反比例函数,且 F( )=16,F (1)=8.求 F(x)的解析式 解:设 f(x)=kx 得 a=5, k=3 g(x)=
a x
3 2

F(x)=kx+

a x

k 由 F( )= +3a=16, F(1)=k+a=8 3
4

所以 F(x)=3x+5/x

例 4 (1)已知幂函数 f(x)的图像经过(3,, 27) ,则求 f(x)的解析式 (2)已知幂函数 y=f(x)的图像过点(3,1/3) ,求出此函数的解析式 二、换元法 它主要适用于已知复合函数的解析式,但使用换元法时要注意新元定义域的变化,最后 结果要注明所求函数的定义域。方法:已知 f ( g ( x)) 的表达式,欲求 f ( x) ,我们常设

t ? g ( x) ,从而求得 x ? g ?1 (t ) ,然后代入 f ( g ( x)) 的表达式,从而得到 f (t ) 的表达式,
即为 f ( x) 的表达式。

例 1:已知 f ( x ?1) ? x ? 2 x ?1, 求 f ( x) 的解析式。 解析:如果把 x ? 1 视为 t ,那左边就是一个关于 t 的函数 f (t ) , 只要在等式

x ? 1 ? t 中, 用 t 表示 x ,将右边化为 t 的表达式, 问题即可解决。 使用配凑法时,
要注意新元取值的变化。 令 x ?1 ? t

?x ? 0 ?t ? 1 ? f (t ) ? (t ? 1) 2 ? 2(t ? 1) ? 1 ? t 2 ? f ( x) ? x 2 ( x ? 1)
2

例 2(1)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) .
2

(2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ? 1) . 解:令 x ? 1 ? t ,则 x ? t ? 1 , ∴ f ( x) ? x ? 4x ? 3 .
2

f (t ) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? t 2 ? 4t ? 3

(2)设 u ?

x ? 1 ? 1 ,则 x = u ? 1 , x ? (u ?1)2
2 2 2

于是 f (u) ? (u ?1) ? 2(u ?1) ? u ?1(u ? 1) ∴ f ( x) ? x ?1( x ? 1) ∴ f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ?1 ? x ? 2x( x ? 1 ? 1)
2 2

即 f ( x ? 1) ? x ? 2 x( x ? 0) .
2

例 3 已知 f(

x+1 x

)=

x2 ?1 1 ? ,求 f(x)的解析式 x x2

x ?1 1 = t ,则 x= (t≠1) , x t ?1 1 2 ( ) ?1 1 t ? 1 ∴f(t)= = 1+ (t ? 1) 2 +(t-1)= t2-t+1 ? 1 2 1 ( ) t ?1 t ?1
解: 设 故 f(x)=x2-x+1 (x≠1). 例 4 (1)函 数 f ( x ) 满 足 f ( x 2 +1 ) =x 4 -1 , 求 f ( x ) 的 解 析 式
解 : 根 据 题 意 , 设 x 2 +1=t , ( 其 中 t≥ 1) , ∴ x 2 =t-1 ;∴ f( t ) =( t-1 ) 2 -1=t 2 -2t , ( 其 中 t≥ 1) ; ∴ f ( x ) =x 2 -2x , ( 其 中 x≥ 1)

(2)设 x?R,对于函数 f(x)满足条件 f(x 2 +1)=x 4 +5x 2 -3,求当 x?R,f(x 2 ? 1) 的解析式 解:设 x 2 +1=t ∴ x 2 =t-1 f( +1)= +5 -3 可变形为: f(t) =(t ? 1)2 +5(t-1)-3=t 2 +3t-7 所以, 当 t=x 2 -1 时, 有 f(x 2 -1)=(x2 ? 1)2 +3(x 2 -1)-7=x 4 -2x 2 +1+3x 2 -3-7=x 4 +x 2 -10 例 5.已知 f(1-cosx)=sin2x,则 f(x)=_____

解 : ∵ f ( 1-cosx ) =sin 2 x=1-cos 2 x 令 1-cosx=t ?[0,2], 则 cosx=1-t f ( t ) =1- ( 1-t ) 2 =2t-t 2 ∴ f ( x ) =-x 2 +2x ( 0 ≤x ≤ 2)
例 6.已知 f(cosx)=cos2x,则 f(sinx)=__________(2sin2 x-1) 三、配凑法 已知复合函数 f [ g ( x)] 的表达式,要求 f ( x ) 的解析式时,若 f [ g ( x)] 表达式右边易配 成 g ( x) 的运算形式,则可用配凑法,使用配凑法时,要注意定义域的变化。实质上,配凑 法也缊含换元的思想, 只是不是首先换元, 而是先把函数表达式配凑成用此复合函数的内函 数来表示出来,在通过整体换元。和换元法一样,最后结果要注明定义域。
3

代入得

例 1 已知 f( 解: f(

x +1)= x+2 x ,求 f(x)的解析式.

x +1)= ( x ) 2 +2 x +1-1= ( x ? 1) 2 -1,∴ f( x +1)=
( ,将 x +1 视为自变量 x,则有 f(x)= x2-1 (x≥1). x +1≥1)
2

( x ? 1) 2 -1

例 2:已知 f ( x ? ) ? x ?

1 x

1 , 求 f ( x) . x2

分析:此题直接用换元法比较繁锁,而且不易求出来,但用配凑法比较方便。 解析:由 f ( x ? ) ? x ?

1 1 1 2 ? ( x ? )2 ? 2 2 x x x 1 2 2 令 t ? x ? ? x ? tx ? 1 ? 0 由 ? ? 0 即t ? 4 ? 0 得t ? R x
即: f ( x) ? x ? 2( x ? R)
2

? f (t ) ? t 2 ? 2

四、消元法, 此方法的实质是解函数方程组。消元法适用的范围是:题高条件中,有若干复合函数与 原函数 f ( x ) 混合运算,则要充分利用变量代换,然后联立方程组消去其余部分。 例 1:(1)设 f ( x ) 满足 f ( x) ? 2 f ( ) ? x, 求 f ( x ) 的解析式。 分析:要求 f ( x ) 可消去 f ( ) ,为此,可根据题中的条件再找一个关于 f ( x ) 与 f ( ) 的 等式,通过解方程组达到消元的目的。 解析:? f ( x ) ? 2 f ( ) ? x ………………………① 显然, x ? 0 ,将 x 换成

1 x

1 x

1 x

1 x

1 得 x

1 1 f ( ) ? 2 f ( x) ? ……………………………② x x

1 ? f ( x) ? 2 f ( ) ? x ? ? x 由? ? f ( 1 ) ? 2 f ( x) ? 1 ? x ? x
消去 f ( ) ,得 f ( x ) ? ?

1 x

1 2 x? 3 3x

1 )= x (x≠0) ,求 f(x)函数解析式. x 1 1 分析:欲求 f(x) ,必须消去已知中的 f( ) ,若用 去代替已知中 x,便可得到另一 x x
(2)设函数 f(x)满足 f(x)+2 f( 个方程,联立方程组求解即可. 解:∵ f(x)+2 f(

1 )= x (x≠0) ① x
4

1 1 1 代入得 2f(x)+f( )= (x≠0) ② x x x 2 x 解 ①② 构成的方程组,得 f(x)= - (x≠0). 3x 3
由 例 2. 已知定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f (? x ) ? 2f ( x ) ? x ? 1,求 f ( x ) 的解析式。 解: ? f (? x ) ? 2f ( x ) ? x ? 1 , ① ②

? f ( x ) ? 2f (? x ) ? ? x ? 1

① ? 2 ? ② 得 3f (x) ? 3x ? 1 , 所以

f (x) ? x ?

1 3。

小结:消元法适用于自变量的对称规律。互为倒数,如 f(x)、 f ( ) ;互为相反数,如 f(x)、f(-x),通过对称代换构造一个对称方程组,解方程组即得 f(x)的解析式。 例 3 已知 f(x)满足 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x ,求 f ( x ) . 解:∵ 2 f ( x) ? f ( ) ? 3 x --------①

1 x

1 x

1 x

1 1 1 得 2 f ( ) ? f ( x) ? 3( ) -------② x x x 3 1 ① 2-②得 3 f ( x) ? 6 x ? ∴ f ( x) ? 2 x ? x x
将①中 x 换成 五、函数性质法 利用函数的性质如奇偶性、单调性、周期性等求函数解析式的方法。
x 例 1 已知函数 y ? f ( x ) 是 R 上的奇函数,当 x ? 0时, f (x) ? 3 ? 1, 求f (x) 的解析式。

解析:因为 f ( x ) 是 R 上的奇函数,所以 f (?x) ? ?f (x), 即f (x) ? ?f (?x) , 当 x ? 0时,?x ? 0 , f (x) ? ?f (?x) ? ?(3
x ? ?3 ? 1, x ? 0 f (x) ? ? ?x ? ?? 3 ? 1, x ? 0 所以

?x

? 1) ? ?3?x ? 1

例 2 已知是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=2x-x ,求 f(x)函数解析式. 解:∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数, ∴y=f(x)的图象关于原点对称. 2 当 x≥0 时,f(x)=2x-x 的顶点(1,1) ,它关于原点对称点(-1,—1) , 因此当 x<0 时,y= ( x ? 1) 2 -1= x +2x.故 f(x)= ?
2

2

?2 x ? x 2 ?x ? 2x
2

x≥0, x<0.

评注: 对于一些函数图象对称性问题,如果能结合图形来解,就会使问题简单化 例 3 设 f ( x) 是偶函数,当 x>0 时, f ( x) ? e ? x ? e ,求当 x<0 时, f ( x) 的表达式.
2 x

5

解:当 x<0 , -x>0

? e ? x2 ? e -x 2 e ? x ? e (x< 0) 又 f(x)为偶函数,所以 f(x)=f(-x)=

f (- x) ? e ? (- x) 2 ? e

-x

-x

例 4 对 x∈R, f ( x) 周期为 2,且当 x∈[-1,0]时, f ( x) ? x ? 2 x
2

求当 x∈[9,10]时 f ( x) 的表达式 解:因为对 x∈R, f ( x) 周期为 2,且当 x∈[-1,0]时, f ( x) ? x ? 2 x
2

所以当 x∈[9, 10]时,则 x-10 ∈[-1, 0], f ( x - 10) ? f ( x) ? ( x - 10) ? 2( x ? 10)
2

例 5 设 f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数 , 且 当 x ∈ [0 , + ∞ ) 时 , f ( x ) =x ( 1+x ) , 求 f ( x ) 在 ( -∞ , 0 ) 上 的 表 达 式 和 在 R 上 的 表 达 式 . 解 :设 x ∈( - ∞ ,0 ) ,则 -x ∈( 0 ,+ ∞ ) ,∵ 当 x ∈ [0 ,+ ∞ )时 ,f( x ) =x ( 1+x ) , ∴ f ( -x ) =-x ( 1-x ) , ∵ f ( x ) 是 R 上 的 奇 函 数 , ∴ f ( -x ) =-f ( x) , 即 f ( -x ) =-x ( 1-x ) =-f ( x ) , ∴ f ( x ) =x ( 1-x ) , x∈ ( -∞ , 0) ,

例 6 奇函数 f(x)在(0,+∞)上的解析式是 f(x)=x(1-x),则在(-∞,0)上 f(x)的函数解析 式是____ (f(x)=x(1+x)) 例 7 已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且满足 f(x+2)=f(x),当 x? [2,3]时,f(x)=-2(x ? 3)2 +4,则当 x? [0,2]时,f(x)的解析式为_____ (f(x)=-2(x ? 1)2 +4 ) 解:当 x ? [0,1]时,2≤x+2≤ 3,f(x+2)=f(x)=-2(x ? 1)2 +4 当 x ?[1,2]时,2≤4-x≤3, f(4-x)==f(-x)=f(x)=-2(4 ? x ? 3)2 +4=-2(x ? 1)2 +4 综上所述,当 x? [0,2]时,f(x)的解析式为 f(x)=-2(x ? 1)2 +4 六、赋值法 赋值法是依据题条件的结构特点,由特殊到一般寻找普遍规律的方法,其方法:将适 当变量取特殊值, 使问题具体化、 简单化, 依据结构特点, 从而找出一般规律, 求出解析式。 例 设 f(x)是定义在 R 上的函数,且满足 f(0)=1,并且对任意的实数 x,y,有 f(x-y) = f(x)- y(2x-y+1) ,求 f(x)函数解析式. 分析:要 f(0)=1,x,y 是任意的实数及 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) ,得到 f(x)函数解析式,只有令 x = y. 解: 令 x = y ,由 f(x-y)= f(x)- y(2x-y+1) 得 f(0)= f(x)- x(2x-x+1) ,整理得 f(x)= x 2 +x+1.

6

作业: 1.已知一次函数 f ( x ) 满足 f (0) ? 5 ,图像过点 (?2,1) ,求 f ( x ) ; 2.已知二次函数 g ( x) 满足 g (1) ? 1 , g (?1) ? 5 ,图像过原点,求 g ( x) ; 4.已知二次函数 F ( x) ,其图像的顶点是 (?1, 2) ,且经过原点,求 F ( x) .
2 5.(1)已知 f ( x) ? x ? 4x ? 3 ,求 f ( x ? 1) ; 2 (2)已知 f ( x ? 1) ? x ? 2 x ,求 f ( x ) .

3.已知二次函数 h( x) 与 x 轴的两交点为 (?2, 0) , (3, 0) ,且 h(0) ? ?3 ,求 h( x) ;

2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x x 6 已知 f(x)满足 ,求 f ( x) ;

1? x 1? x 2 7.已知 f( 1 ? x )= 1 ? x ,则 f(x)的解析式可取为( ) x 2x 2x 2 2 2 A. 1 ? x B. - 1 ? x C. 1 ? x
2

x 2 D. - 1 ? x
D. 2+cos2x D. lg 5

8.若 f(sinx)=2-cos2x,则 f(cosx)等于( A. 2-sin2x B. 2+sin2x 9.已知 f (10 ) ? x ,则 f (5) ? (
x

) C. 2-cos2x C. lg10



A. 10

5

B. 5

10

1 1 f ( x ? ) ? x2 ? 2 ? 1 x x 10.已知 ,则 f ( x ) = 2 11.已知 f (3x) ? 2 x ?1 ,则 f ( x ) =
12.已知 f(x)是一次函数, 且 f[f(x)]=4x?1, 求 f(x)的解析式。

13.设 f ( x) 是定义在 N ? 上的函数,若 f (1) ? 1 ,且对任意的 x,y 都有:
f ( x) ? f ( y) ? f ( x ? y) ? xy , 求 f ( x) .

( f ( x) ?

1 2 ( x ? 1) ) 2

14.已知 f ( x) 是一次函数, 且 f [ f ( x)] ? 4 x ? 6 , 求 f ( x) . f ( x) ? 2 x ? 2或f ( x) ? ?2 x ? 6 15. 若 f ( ) ?

1 x

x 1 , 求 f ( x) . ( f ( x) ? ) 1? x x ?1

7

16.若 f ( x ?

1 1 ) ? x 2 ? 2 ,求 f ( x) . ( f ( x) ? x 2 ? 2 ) x x

17.若 f ( ) ? 2 f ( x) ? x, 求 f ( x) .( f ( x) ?

1 x

2x 2 ? 1 ) 3x

18.若 f (3x ? 2) ? x ? x ,求 f ( 2) . ( f ( 2) =
2

4 ) 9

19.已知 f ( x) ? 3 f (? x) ? 2 x ? 6, 求 f ( x ) . ( f ( x) ?

1 x ? 3) 2

8

答案 1.解:由题意设

f ( x) ? ax ? b ,∵ f (0) ? 5 且图像过点 (?2,1) ,

?b ? 5 ? ?2a ? b ? 1 ∴?

?a ? 2 ? ? ?b ? 5 ∴ f ( x) ? 2 x ? 5 . 2 2.由题意设 g ( x) ? ax ? bx ? c , ∵ g (1) ? 1 , g (?1) ? 5 ,且图像过原点,
?a ? b ? c ? 1 ? ? a ? b ? c ? ?5 ?c ? 0 ?
2





?a ? 3 ? ?b ? ? 2 ?c ? 0 ?
1 2

∴ g ( x) ? 3x ? 2 x . 3.由题意设 h( x) ? a( x ? 2)( x ? 3) , 又∵ h(0) ? ?3 ,∴ ?6a ? ?3 1 1 h( x ) ? x 2 ? x ? 3 2 2 ∴ .

a?


2 4.由题意设 F ( x) ? a( x ? 1) ? 2 , 又∵图像经过原点, ∴ F (0) ? 0 , ∴ a?2?0



a ? ?2 ,∴ F ( x) ? ?2 x ? 4 x .
2

5.解: (1) f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 4( x ? 1) ? 3 ? x ? 2 x .
2 2

(2)配凑法: f ( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 2 x ?1 ? 2 x
2

换元法:令 x ? 1 ? t ,则 x ? t ? 1 ,

? ( x ? 1)2 ? 4 x ?1 ? ( x ? 1)2 ? 4( x ? 1) ? 3 ∴ f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 . f (t ) ? (t ?1)2 ? 2(t ?1) ? t 2 ? 4t ? 3 ∴ f ( x) ? x2 ? 4x ? 3 .

2 f ( x) ? f ( 1 ) ? 3x x 6.解:∵已知

①, ②

1 2 f ( 1 ) ? f ( x) ? 3 x x x 将①中 x 换成 得


?2 ? ②得

3 f ( x) ? 6 x ?

3 1 f ( x) ? 2 x ? x ,∴ x

新疆 源头学子小屋
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特级教师 王新敞
wxckt@126.com

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2t 2x 1? x 1? t 2 2 7.解析:令 1 ? x =t,则 x= 1 ? t ,∴f(t)= t ? 1 。∴f(x)= x ? 1 。答案:C 8.解析:∵f(sinx)=2-(1-2sin2x)=1+2sin2x, π π 2 ∴f(cosx)=f [sin( 2 -x)]=1+2sin ( 2 -x)=1+2cos2x=2+cos2x。答案:D 9.D
10. f ( x) ? x ? 3
2

f ( x) ?
11.

2 2 x ?1 9

f ( x) ? 2 x ? 1 3 或 f ( x) ? ?2 x ? 1 12.∴
9



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