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2008年全国高中数学联赛试题及答案



2008 年全国高中数学联赛试题及答案

一、选择题(每小题 6 分,共 36 分) 1.函数 f ( x ) ?
5 ? 4x ? x 2? x
2



在 ( ? ? , 2 ) 上的最小值是 ( ) 。 (B)1 (C)2 (D)3 。 A ,则实数 a 的取值范围为( ) (C) [0, 3]
2 3

(A)0 2.设 A ? [ ? 2, 4 ) , B (A) [ ? 1, 2 )

? { x x ? a x ? 4 ? 0} ,若 B ?
2

(B) [ ? 1, 2 ]

(D) [ 0 , 3 )

3.甲、乙两人进行乒乓球比赛,约定每局胜者得 1 分,负者得 0 分,比赛进行到有一人比 对方多 2 分或打满 6 局时停止.设甲在每局中获胜的概率为
1

,乙在每局中获胜的概率 ) 。
670 243

为 ,且各局胜负相互独立,则比赛停止时已打局数 ? 的期望 E ? 为 (
3

(A)

241 81

(B)

266 81

(C)

274 81

(D)

4.若三个棱长均为整数(单位:cm)的正方体的表面积之和为 564 cm2,则这三个正方体 的体积之和为 ( ) 。 (A)764 cm3 或 586 cm3 (B) 764 cm3 (C)586 cm3 或 564 cm3 (D) 586 cm3 5.方程组 ? x y z ? z ? 0 , ?
? x ? y ? z ? 0,

的有理数解 ( x , y , z ) 的个数为 ( ) 。

? xy ? yz ? xz ? y ? 0 ?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 6.设 ? A B C 的内角 A、 B 、 C 所对的边 a、 b、 c 成等比数列,则
s in A c o t C ? c o s A s in B c o t C ? c o s B

(D) 4

的取值范围是( ) 。 (B) ( 0 ,
, 5 ?1 2 ) 5 ?1 2 )

(A) (0, ? ? ) (C) (
5 ?1 2

(D) (

5 ?1 2

, ?? )

二、填空题(每小题 9 分,共 54 分) 7.设 f ( x ) ? a x ? b ,其中 a , b 为实数,
f 7 ( x ) ? 1 2 8 x ? 3 8 1 ,则 a ? b ?

f 1 ( x ) ? f ( x ) , f n ? 1 ( x ) ? f ( f n ( x ))

, n ? 1, 2 , 3, ? ,若

.
1 2

8.设 f ( x ) ? co s 2 x ? 2 a (1 ? co s x ) 的最小值为 ?

,则 a

?

.

9. 24 个志愿者名额分配给 3 个学校, 将 则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配 方法共有 种. 10.设数列 { a n } 的前 n 项和 S n 满足: S n ? a n ?
n ?1 n ( n ? 1)

, n ? 1, 2 , ? ,则通项 a n =



11.设 f ( x ) 是定义在 R 上的函数,若 f (0 ) ? 2 0 0 8 ,且对任意 x ? R ,满足 x x . f ( x ? 2 )? f ( x )? 3 , f ( x ? 6 ) ? f ( x ) ? 6 3 ? 2 ,则 f ( 2008 ) = ? 2 12.一个半径为 1 的小球在一个内壁棱长为 4
1
6

的正四面体容器内可向各个方向自由运动,

则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是 . 三、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 13.已知函数 f ( x ) ? | sin x | 的图像与直线 y ? kx ( k ? 0 ) 有且仅有三个交点,交点的横坐标 的最大值为 ? ,求证:
cos ? s in ? ? s in 3? ? 1?? 4?
2



14.解不等式
lo g 2 ( x
12

? 3x

10

? 5 x ? 3 x ? 1) ? 1 ? lo g 2 ( x ? 1)
8 6 4


? y ? 1 内切于 ? P B C
2

15. 如图, 是抛物线 y 2 ? P 求 ? P B C 面积的最小值.

2x

上的动点, B 、 C 在 y 轴上, ( x ? 1) 2 点 圆



第 15 题


1. 当 x ? 2 时, 2 ? x ? 0 ,因此 f ( x ) ?
? 2 ,当且仅当
1 2? x ? 2? x


2

1 ? (4 ? 4 x ? x ) 2? x

?

1 2? x

? (2 ? x) ? 2 ?

1 2? x

? (2 ? x)

时取等号.而此方程有解 x ? 1 ? ( ? ? , 2 ) ,因此 f ( x ) 在 ( ? ? , 2 ) 上

的最小值为 2.故选 C. 2. 因为 x ? a x ? 4 ? 0 有两个实根 x1 ?
2

a 2
a 2

?
?

4?
4? a

a

2

4
2

, x2
? 4

?

a 2

?

4?

a

2

,故 B

? A

等价于

4

x1 ? ? 2 且 x 2 ? 4

,即

a 2

?

4?

a

2

? ?2



,解之得 0 ? a ? 3 .故选 D。

4

4

3.方法一: 依题意知, ? 的所有可能值为 2、4、6. 设每两局比赛为一轮,则该轮结束时比 赛停止的概率为 (
2 3 1 2 5 2 ) ?( ) ? 3 9

.若该轮结束时比赛还将继续,则甲、乙在该轮中必是各得
? 2) ? 5 9

一分,此时,该轮比赛结果对下轮比赛是否停止没有影响.从而有 P ( ?
4 5 20 P ( ? ? 4 ) ? ( )( ) ? 9 9 81

, . 故选 B。

,P ( ? ? 6 ) ? ( ) 2 ?
9

4

16 81

, E? 故

5 ? 2? ? 4 ? 9

2 0 1 6 26 6 ? ? 6 ? 8 1 8 1 8 1

方法二: 依题意知,? 的所有可能值为 2、4、6.令 A k 表示甲在第 k 局比赛中获胜,则 A k 表 示乙在第 k 局比赛中获胜.由独立性与互不相容性得
P ( ? ? 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? P ( A1 A 2 ) ? 5 9



P ( ? ? 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A 3 A 4 )

2 3 1 1 3 2 20 ? 2[( ) ( ) ? ( ) ( )] ? 3 3 3 3 81



2

P ( ? ? 6 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A3 A 4 ) ? P ( A1 A 2 A 3 A 4 )

2 2 1 2 16 ? 4( ) ( ) ? 3 3 81

, .故选 B。

因此 E ?

? 2?

5 9

? 4?

20 81

? 6?

16 81

?

266 81

4. 设这三个正方体的棱长分别为 a、 b、 c ,则有 6 ? a 2 ? b 2 ? c 2 ? ? 5 6 4 ,即 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 9 4 。 不妨设 1 ? a ? b ? c ? 1 0 ,从而 3 c ? a ? b ? c ? 9 4 ,c ? 3 1 .故 6 ? c ? 10 ,c 只能取 9、 8、7、6 . 若 c ? 9 ,则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 9 2 ? 1 3 ,易知 a ? 2 , b ? 3 ,得一组解 ( a , b , c ) ? ( 2, 3, 9 ) .
2 2 2 2 2

若 c ? 8 , 则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 6 4 ? 3 0 , b ? 5 .但 2 b ? 30 ,即 b ? 4 ,从而 b ? 4 或 5.若 2 2 b ? 5 ,则 a ? 5 无解;若 b ? 4 ,则 a ? 1 4 无解.因此 c=8 时无解. 若 c ? 7 ,则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 4 9 ? 4 5 ,有唯一解 a ? 3 , b ? 6 .
2

若 c ? 6 ,则 a 2 ? b 2 ? 9 4 ? 3 6 ? 5 8 ,此时 2 b ? 5 8 ,即 b ? 2 9 。故 b ? 6 ,但 b ? c ? 6 ,
2 2

所以 b ? 6 ,此时 a ? 5 8 ? 3 6 ? 2 2 无解. , 综 上 , 共 有 两 组 解 (a b c , ? )
2

( 2 或 3 a,, b9 c )) ? (3, 6, 7 ) , ( ,
3

, 体 积 为

V1 ? 2

3

?3

3

?9

3

? 7 6 4 (cm )或 V 2 ? 3 ? 6 ? 7 ? 5 8 6 (cm ) 。故选 A。
3 3

3

3

5. 若 z ? 0 ,则 ?

? x ? y ? 0, ? xy ? y ? 0.

解得 ?

? x ? 0, ?y ? 0

或?

? x ? ? 1, ? y ? 1.

若 z ? 0 ,则由 xyz ? z ? 0 得 x y ? ? 1 . 由x ? y ? z ? 0 得z ? ?x ? y . 将②式代入 xy ? yz ? xz ? y ? 0 得 x 2 ? y 2 由①式得 x ? ?
1 y

① ②
? xy ? y ? 0

. .易知 y 3
? y ?1 ? 0

③ 无有理数根,

,代入③式化简得 ( y ? 1)( y 3

? y ? 1) ? 0

故 y ? 1 ,由①式得 x ? ? 1 ,由②式得 z ? 0 ,与 z ? 0 矛盾,故该方程组共有两组有理数解
? x ? ? 1, ? x ? 0, ? 或 ? y ? 1, ? ? y ? 0, ? z ? 0. ? z ? 0 ? ?

故选 B。
? aq, c ? aq
2

6.设 a、 b、 c 的公比为 q ,则 b
s in A c o t C ? c o s A s in B c o t C ? c o s B ?
?

,而

s in A c o s C ? c o s A s in C s in B c o s C ? c o s B s in C
s i n ( C A? s i n ( C B? ? ) )

? s ?i n B(

? ? s ?i n A(

)B ? )A

s i n b ? q. s i n a

因此,只需求 q 的取值范围.因为 a、 b、 c 成等比数列,最大边只能是 a 或 c ,因此 a、 b、 c
?a ? aq ? aq , ? 要构成三角形的三边,必须且只需 a ? b ? c 且 b ? c ? a .即有不等式组 ? 即 2 ?aq ? aq ? a ?
2

?1 ? 5 5 ?1 ? q ? , ? ? q ? q ? 1 ? 0, ? ? 2 2 解得 ? 从而 ? 2 ?q ? q ? 1 ? 0. 5 ?1 5 ?1 ? ? q ? 或q ? ? . ? ? 2 2
2

5 ?1 2

? q ?

5 ?1 2

,因此所求的取

值范围是 (

5 ?1 2

,

5 ?1 2

) .故选
n ?1

C。
n?2

7. 由题意知

fn ( x) ? a x ? (a
n

?a

? ? ? a ? 1) b ? a n x ?

a ?1
n

a ?1

?b

,由

得 f 7 ( x ) ? 1 2 8x ? 3 8 1

3

a ? 128
7



a ?1
7

a ?1
2

? b ? 3 8 1 ,因此 a ? 2

,b ? 3 ,a ? b ? 5 .
a 2 ) ?
2

8.

f ( x ) ? 2 co s x ? 1 ? 2 a ? 2 a co s x ? 2 (c o s x ?

1 2

a ? 2a ? 1,
2

(1) a ? 2 时, f ( x ) 当 co s x ? 1 时取最小值 1 ? 4 a ; (2) a ? ? 2 时, f ( x ) 当 co s x ? ? 1 时取最小值 1; (3) ? 2 ? a ? 2 时, f ( x ) 当 c o s x
? a 2

时取最小值 ?
1 2

1 2

a ? 2a ? 1 .
2

又 a ? 2 或 a ? ? 2 时, f ( x ) 的 c 不能为 ? 故?
1 2 a ? 2a ? 1 ? ?
2


3

1 2

,解得 a

? ?2 ?

3

,a

? ?2 ?

(舍去).

9. 方法一:用 4 条棍子间的空隙代表 3 个学校,而用 ? 表示名额.如
| ? ? ?? | ?? ? | ?? |

表示第一、二、三个学校分别有 4,18,2 个名额.若把每个“ ? ”与每个“ | ”都视为一个位置, 由于左右两端必须是“|”,故不同的分配方法相当于 2 4 ? 2 ? 2 6 (个)位置(两端不在内)被 2 个“|”占领的一种“占位法”.“每校至少有一个名额的分法”相当于在 24 个“ ? ”之间的 23 个空隙中选出 2 个空隙插入“|”,故有 C 2 3 ? 2 5 3 (种).又在“每校至少有一个名额的分法”中 2 “至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种. 综上知, 满足条件的分配方法共有 253 -31=222(种). 方法二:设分配给 3 个学校的名额数分别为 x1、 x 2、 x 3 ,则每校至少有一个名额的分法 数为不定方程 x1 ? x 2 ? x 3 ? 2 4 的正整数解的个数,即方程 x1 ? 数,它等于 3 个不同元素中取 21 个元素的可重组合: H 3
21

x 2 ? x 3 ? 2 1 的非负整数解的个
21 2

? C 2 3 ? C 2 3 ? 2 5 3 .又在“每校至

少有一个名额的分法”中“至少有两个学校的名额数相同”的分配方法有 31 种.综上知,满足 条件的分配方法共有 253-31=222(种) . 10.
a n ?1 ? S n ?1 ? S n ? n ( n ? 1)( n ? 2 ) ? a n ?1 ? n ?1 n ( n ? 1) ? an





2 a n ?1 ? =

n? 2?2 ( n ? 1)( n ? 2 )
? 2 ( n ? 1 )( n ? 2 ) 1

?

1 n ?1

?

1 n ( n ? 1)
1

? an

? an ?

n ( n ? 1)


1

由此得 2 ( a n ? 1 ? 令 bn ? a n ?
an ? 1 2
n

( n ? 1 )( n ? 2 )

) ? an ?

n ( n ? 1)


bn ?1 ? 1 2

1 n ( n ? 1)

, b1 ? a 1 ?

1 2

?

1 2

( a1 ? 0 ) , 有

bn

, 故 bn ?

1 2
n

,所以

?

1 n ( n ? 1)



11. 方法一:由题设条件知
f ( x ? 2 ) ? f ( x ) ? ? ( f ( x ? 4 ) ? f ( x ? 2 )) ? ( f ( x ? 6 ) ? f ( x ? 4 )) ? ( f ( x ? 6 ) ? f ( x )) ? ?3 ? 2
x?2
x

? 3?2

x?4

? 63 ? 2 ? 3 ? 2
x

x



因此有

f ( x ? 2) ? f ( x) ? 3 ? 2 ? 3 ? (2
2006

,故
? ? ? 2 ? 1) ? f (0 )
2

f ( 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 8) ? f ( 2 0 0 6 ) ? f ( 2 0 0 6 ) ? f ( 2 0 0 4 ) ? ? ? f ( 2 ) ? f (0 ) ? f (0 )
?2
2004

? 3?

4

1 0 0 3 ?1

?1

4 ?1

? f (0)

? 2

2008

? 2007



4

方法二: 令 g ( x )

? f (x) ? 2

x

,则
x?2 x?6

g ( x ? 2) ? g ( x) ? f ( x ? 2) ? f ( x) ? 2 g ( x ? 6) ? g ( x) ? f ( x ? 6) ? f ( x) ? 2

? 2 ? 3?2 ? 3?2 ? 0
x x x x x x

, ,

? 2 ? 63 ? 2 ? 63 ? 2 ? 0

即 g ( x ? 2 ) ? g ( x ), g ( x ? 6 ) ? g ( x ) ,故 g ( x ) ? g ( x ? 6) ? g ( x ? 4) ? g ( x ? 2) ? g ( x ) ,得 g ( x ) 是 周期为 2 的周期函数,所以 f ( 2 0 0 8) ? g ( 2 0 0 8) ? 2 2 0 0 8 ? g (0 ) ? 2 2 0 0 8 ? 2 2 0 0 8 ? 2 0 0 7 . 12. 如图 1,考虑小球挤在一个角时的情况,记小球半径为 r ,作平面 A 1 B1C 1 //平面 A B C , 与小球相切于点 D , 则小球球心 O 为正四面体 P
A 1 B1 C 1 的中心.因 V P ? A B C ?
1 1 1

垂足 D ? A 1 B1 C 1 的中心,P O ? 面 A1 B1 C 1 ,
1 3
2



1 3

S ? A B C ? P D ? 4 ? V O ? A1 B1 C 1 ? 4 ?
1 1 1

? S ?A B C ? O D
1 1 1



故 P D ? 4 O D ? 4 r ,从而 P O ? P D ? O D ? 4 r ? r ? 3 r . 记此时小球与面 P A B 的切点为 P1 ,连接 O P1 ,则 P P1
? P O ? O P1 ?
2

(3 r ) ? r
2

2

? 2

2r



(第 12 题图 1)

考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为 P A B )相切时的情况,易知小球在面 P A B 上最靠近 边的切点的轨迹仍为正三角形, 记为 P1 E F , 如图 2. 记正四面体的棱长为 a , P1 作 P1 M ? P A 过 于 M .因 ?M
PP? 1

?
6

,有

P M ? P P1 ? c o s M P P1 ? 2

2r ?

3 2

?

6r

,故小三角形的边长

P1 E ? P A ? 2 P M ? a ? 2 6 r

.小球与面 P A B 不能接触到的部分的面积为(如图 2 中阴影部
2 6 r ) ) ? 3 2 ar ? 6 3r
2

分) S ? P A B 又

? S ?P EF ? 1

3 4

(a ? (a ? 2
2

. 以

r ?1
1



a ? 4

6





S ?PAB ? S ?P EF ? 2 4 3 ? 6 3 ? 1 8 3

.由对称性,且正四面体

共 4 个面,所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为 72 3 . 13. f ( x ) 的图象与直线 y ? kx ( k ? 0 ) 的三个交点如答 13 图所示,且在 ( ? ,题图) 2) 第 12 内相切,其
2 3?

切点为 A (? , ? sin ? ) , ?

? (? ,

3? 2

).

由于 f ? ( x ) ? ? co s x , x ? ( ? , ? ) ,所
2

3

以 ? cos ?

? ?

s in ?

?

,即 ?

? tan ?

.因此

(第 13
cos ? s in ? ? s in 3? ? cos ? 2 s in 2 ? c o s ? ? 1 4 s in ? c o s ?
4

?

c o s ? ? s in ?
2 2

题) ta n 2 ? 1?
? 4 ta n ?

4 s in ? c o s ?
y

?

1?? 4?

2



14. 方法一:由 1 ? lo g 2 ( x 4 等价于
x
12

? 1) ? lo g 2 ( 2 x ? 2 )
8 6

,且 lo g 2
4

在 (0, ? ? ) 上为增函数,故原不等式

? 3x

10

? 5x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2



5

即 分组分解

x

12

? 3x

10

? 5x ? 3x ? 2x ? 1 ? 0
8 6 4



x

12

? x

10

? x

8
8 6

?2 x

10

? 2x ? 2x
8
6

?4 x ? 4 x ? 4 x
6
4 4

4
2 2

?x ? x ? x
8 6 4 2 4

?x ? x ?1 ? 0
2



( x ? 2 x ? 4 x ? x ? 1)( x ? x ? 1) ? 0 ,

所 以 x4 ? x2 ?1 ? 0 , (x ?
2

?1 ? 2

5

)( x ?
2

?1 ? 2

5

) ? 0 。 所 以 x2 ?
5 ?1 2
y

?1 ? 2

5

, 即

?

?1 ? 2

5

? x ?

? ? 1 2

.故原不等式解集为 ( ?
? 1) ? lo g 2 ( 2 x ? 2 )
4

5

5 ?1 2

,

)



方法二: 由 1 ? lo g 2 ( x 4 式等价于
x
12

,且 lo g 2 .
2

在 (0, ? ? ) 上为增函数,故原不等

? 3x

10

? 5x ? 3x ? 1 ? 2x ? 2
8 6 4


2 x
2

?

1 x
6

? x ? 3 x ? 3 x ? 1 ? 2 x ? 2 ? ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1) ,
6 4 2 2 2 3

(

1 x
2

) ? 2(
3

1 x
2

) ? ( x ? 1) ? 2 ( x ? 1)
2 3 2

, 显然 g ( t ) ? t 3 ? 2 t 在 R 上为增函数,由此上 ,解得 x 2
? 5 ?1 2

令 g ( t ) ? t 3 ? 2 t ,则不等式为 g ( 面不等式等价于
(? 5 ?1 2 , 5 ?1 2
1 x
2

1 x
2

) ? g ( x ? 1) ,
2
2

? x ?1
2

,即 ( x 2 ) 2

? x ?1 ? 0

,故原不等式解集为

)


y?b ? y0 ? b x0 x

15. 设 P ( x 0 , y 0 ), B (0, b ), C (0, c ) ,不妨设 b ? c .直线 P B 的方程:
( y0 ? b ) x ? x0 y ? x0b ? 0
( y 0 ? b ) ? x0 ? ( y0 ? b)
2 2

,化简得
?1

.又圆心 (1, 0 到 )
2

PB

的距离为 1, 易 知
x0 ? 2

y0 ? b ? x0b ( y0 ? b ) ? x0
2 2

,故

? 2 0 b( 0y ? x

b? )

2 0

x , b
2

, 上 式 化 简 得
? ?2 y0 x0 ? 2

同理有 ( x 0 ? 2 ) c ? 2 y 0 c ? x 0 ? 0 ( x0 ? 2 )b ? 2 y 0b ? x0 ? 0 ,
2 2

. 所以 b ? c

,b c ?

? x0 x0 ? 2
4 x0
2 2

, ,

则 (b ? c ) 2
b?c ?

?

4 x0 ? 4 y0 ? 8 x0
2 2

( x0 ? 2 )

2

. P ( x 0 , y 0 ) 是抛物线上的点, y 02 因 有
? 1 2 (b ? c ) ? x0 ? x0 x0 ? 2 ? x0 ? ( x 0 ? 2) ?

则 ? 2 x0 , (b ? c ) 2 ?
4 x0 ? 2 ?4 ? 2

( x0 ? 2 )

2 x0 x0 ? 2
2

. 所以 S ? P B C

4 ? 4 ? 8 .当

( x0 ? 2 ) ? 4

时,上式取等号,此时 x 0 ? 4, y 0 ? ? 2 2 .

因此 S ? P B C 的最小值为 8.

6





一、 (本题满分 50 分) 如图,给定凸四边形 A B C D ,? B ? ? D ? 1 8 0 ? ,P 是平面上 的动点,令 f ( P ) ? P A ? B C ? P D ? C A ? P C ? A B . (1)求证:当 f ( P ) 达到最小值时, P 、 A、 B 、 C 四点共圆; (2)设 E 是 ? A B C 外接圆 O 的 ? B 上一点,满足: A
BC EC ? 3 ?1
AE AB ? 3 2



, ?ECB

?

1 2

?ECA

,又 D A, D C 是 ? O 的切线, 答一图 1
? 1 .证明:

,求 f ( P ) 的最小值. 二、 (本题满分 50 分) 设 f ( x ) 是周期函数, T 和 1 是 f ( x ) 的周期且 0 ? T
AC ? 2

(1)若 T 为有理数,则存在素数 p ,使

1 p

是 f ( x ) 的周期;

( 2 ) 若 T 为 无 理 数 , 则 存 在 各 项 均 为 无 理 数 的 数 列 { a n } 满 足 1 ? a n ? a n ?1 ? 0
( n ? 1 , 2? ,? ? )且每个 a n ,
( n ? 1, 2, ? ??) 都是 f ( x ) 的周期.
2008

三、 (本题满分 50 分) 设 ak (1) 0
? 0

,k

? 1, 2, ? , 2 0 0 8

.证明:当且仅当 ? a k ? 1 时,存在数列 { x n } 满足以下条件:
k ?1

? x 0 ? x n ? x n ? 1 , n ? 1, 2 , 3, ?
x n 存在;
2008



(2) lim (3) x n

n? ?

? x n ?1 ?

?

2007

ak xn?k ?

?

a k ?1 x n ? k

, n ? 1, 2 , 3, ? .

k ?1

k ?0





一、方法一: (1)如答一图 1,由托勒密不等式,对平面上的任 意点 P ,有 P A ? B C ? P C ? A B ? P B ? A C .因此
f (P ) ? PA ? BC ? PC ? AB ? PD ? CA ? PB ? CA ? PD ?CA

. 因为上面不等式当且仅当 P 、 A、 B 、 C 顺次共圆时取等号,因此
? (PB ? PD ) ?CA

A 的 外 接 圆 且 在 ?C 上 时 , 又因 此不等式当且仅 f ( P )? (P ? B P )D . C A P B ? P D ? B D , ? 当 B , P , D 共线且 P 在 B D 上时取等号.因此当且仅当 P 为 ? A B C 的外接圆与 B D 的交点时, f ( P ) 取最小值 f ( P ) m in ? A C ? B D . 故

当 且 仅 当 P 在

?ABC

第1题 图1
3 2



f (P)

达最小值时, P 、 A、 B 、 C 四点共圆.
??

(2)记 ? E C B

,则 ? E C A ? 2? ,由正弦定理有

AE AB

?

s in 2 ? s in 3?

?

,从而

3 sin 3 ? ? 2 sin 2 ?
2

,即 3 (3 sin ? ? 4 sin 3 ? ) ? 4 sin ? co s ? ,所以 ,整理得 4
3 co s ? ? 4 co s ? ?
2

3 3 ? 4 3 (1 ? co s ? ) ? 4 co s ? ? 0

3 ? 0,

解得
BC EC

c o s ? ?

3 2

或 cos ? ? ?

1 2 3

( 舍 去 ) 故 ? ? 30? , ? AC E ? 60? . ,
0

由已知

?

3 ?1

=

s in ? ? E A C ? 3 0 s in ? E A C

?

, 有
7

sin ( ? E A C ? 3 0 ) ? ( 3 ? 1) sin ? E A C

?

, 即

3 2

s in ? E A C ?

1 2

c o s ? E A C ? ( 3 ? 1) s in ? E A C

,整理得

2? 2

3

sin?EAC ?

1 2

c o s? E A C
?

, ,



ta n ? E A C ?

1 2? 3

? 2?
?

3

, 可 得

? EAC ? 75

?

, 从 而

? E ? 45

, ? A D C 为等腰直角三角形.因 A C ? 2 ,则 C D ? 1 .又 ? A B C 也 是 等 腰 直 角 三 角 形 , 故 B C ? 2 , B D 2 ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 co s 1 3 5 ? ? 5 , B D ? 5 . 故
? D AC ? ? D C A ? ? E ? 45

f ( P ) m in ? B D ? A C ?

5?

2 ?

10



方法二: 如图 2, (1) 连接 B D 交 ? A B C 的外接圆 O 于 P0 点(因为 D 在 ? O 外,故 P0 在 B D 上) . 过 A , C , D 分 别 作 P0 A , P0 C , P0 D 的 垂 线 , 两 两 相 交 得
? A1 B 1 C 1 ,易知 P0 在 ? A C D

内,从而在 ? A1 B1C 1 内,记 ? A B C
? 180? ? y ? z ? x

之三内角分别为 x, y, z ,则 ? A P0 C 因 B1C 1 所以
? P0 A , B 1 A1 ? P0 C

,又 , ,
(第 1 题图 2)

,得 ? B1 ? y ,同理有 ? A1

? x

? C1 ? z

, . 设 B1 C 1 ? ? B C ,
C 1 A1 ? ? C A

? A1 B 1 C 1∽ ? A B C

A1 B 1 ? ? A B

,则对平面上任意点 M ,有
? P0 A ? B1 C 1 ? P0 D ? C 1 A1 ? P0 C ? A1 B1

? f ( P0 ) ? ? ( P0 A ? B C ? P0 D ? C A ? P0 C ? A B )
? 2 S ?A B C
1 1

1

? M A ? B1 C 1 ? M D ? C 1 A1 ? M C ? A1 B 1
? ? (M A ? BC ? M D ? CA ? M C ? AB )

? ? f (M ) ,

从而

f ( P )? 0

f ( M. M )由

点的任意性, P0 点是使 f ( P ) 达最小值的点. 知 由点 P0 在 ? O 上,
2 S ?A B C ? 2 ? S ?ABC
1 1 1

故 P0、 A、 B 、 C 四点共圆. (2)由(1) f ( P ) 的最小值 f ( P0 ) ? , 由 正 弦 定 理 有
3

?

,记 ? E C B ? ? ,则 ? E C A ? 2? , 而
3
2

AE AB

?

s in 2 ? s in 3?

?

3 2
3


3?


4

s ?i ? n

3 ?

, 2

s 即i

n

2

3 (3 sin ? ? 4 sin ? ) ? 4 sin ? co s ?
4 3 c o?s ?
2

,所以
?

3?( 1

? o?s c

) ? ? c ,s 整 4 o

理0 得

4?c ?o s ?

, 解 得 c o s? 3 0 已 知
BC EC

3 2

或 cos ? ? ? =
1 2

1 2 3

(舍去) 故 ? ? 30? , ,
0

? AC E ? 60

?


?



?

3 ?1

s in ? ? E A C ? 3 0 s in ? E A C

?

,

有 ,
?

sin ( ? E A C ? 3 0 ) ? ( 3 ? 1) sin ? E A C

,即

3 2

s in ? E A C ?

c o s ? E A C ? ( 3 ? 1) s in ? E A C

整理得

2? 2

3

s in ? E A C ?

1 2

cos ? E A C

,故 ta n ? E A C ?
2

1 2? 3

? 2?

3

,可得 ? E A C

? 75



所以 ? E

? 45? , ?ABC

为等腰直角三角形, A C ?

, S ? A B C ? 1 ,因为 ? A B1 C

? 4 5 ? , B1 点

在 ? O 上, ? A B1 B 故?
? 5 2

? 90?

,所以 B1 B D C 1 为矩形, B1 C 1 ? B D ? 1 ? 2 ? 2 ? 1 ? 2 co s 1 3 5 ? ? 5 ,
5 2 ?1 ? 10

,所以

f ( P ) m in ? 2 ?



方法三: (1)引进复平面,仍用 A , B , C 等代表 A , B , C 所对应的复数.由三角形不等式,对

8

于复数 z 1 , z 2 ,有 z1 ? z 2 ? z 1 ? z 2 ,当且仅当 z 1 与 z 2 (复向量)同向时取等号. 有 所以
? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? P A? B C ? P C A B ? ? P? A B?C ? ? ?? ? ? ?? P C A B ? , ? ? ??

( A ? P ) (C ? B ) ?

( C ? P ) ( B?

A)

? ( A ? P ) (C ? B ) ? (C ? P ) ( B ? A ) ? ?P ?C ? A ?B ? C ?B ? P ? A ? ? ?? ? ? ? ? ? ( B ? P ) ( C ? A ) ? P B ? A, C ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???? ??? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 从而 P A ? B C ? P C? A B ? P ?D ? CPAB ? A C ? P D? A C ??? ? ???? ???? ? ( PB ? PD ) ? AC ???? ???? ? BD ? AC .



② ,使得
B? A , ) arg( C? B

①式取等号的条件是复数 ( A ? P )( C ? B ) 与 ( C
( A ? P )( C ? B ) ? ? ( C ? P )( B ? A ) ,
???? 向量 P C

? P )( B ? A ) 同向,故存在实数 ? ? 0

A? P C ? P

四点共圆. ②式取等号的条件显然为 B , P , D 共线且 P 在 B D 上.故当 f ( P ) 达最小值时 P 点在 ? A B C 之 外接圆上, P 、 A、 B 、 C 四点共圆. (2)由(1)知 f ( P ) m in ? B D ? A C .以下同方法一. 二、 (1)若 T 是有理数,则存在正整数 m , n 使得 T ? 得
m a ? n b ? 1 .于是

??? ? 旋转到 P A

???? 所成的角等于 B C

C ? B ??? ? 旋转到 A B 所成的角,从而 P 、 A、 B 、 C

? ?

B ? A

,所以

A? P arg( ? ) C ? P

n m

且 (m , n)

? 1 ,从而存在整数 a , b

,使

1 m

?

m a ? nb m

? a ? b T ? a ?1 ? b ? T
? pm ? , m ? ? N
?

是 f ( x ) 的周期.又因 0 ? T ? 1 ,从
1 p ? m?? 1 m

而 m ? 2 .设 p 是 m 的素因子,则 m (2)若
? 1 a2 ? 1 ? ? ? a1

,从而

是 f ( x ) 的周期.

T

是无理数,令 ,
? 1 ? a n ?1 ? 1 ? ? ? an ? an ?

a1 ? 1 ?

?1 ?T ?

? T ? ?

, 则 0 ? a1 ? 1 , 且 a1 是 无 理 数 , 令

? ? a1 ?

, 由数学归纳法易知 a n 均为无理数且 0 ? a n ? 1 .又

? 1 ? ? 1 ? ? 1 ? ?? ? ? 1 ,故 1 ? a n ? ? ? a n ,即 a n ? 1 ? 1 ? ? ? a n ? a n .因此 { a n } 是递减数列. an ? an ? ? an ? ? an ? 1
1 最后证:每个 a n 是 f ( x ) 的周期.事实上,因 1 和 T 是 f ( x ) 的周期,故 a 1 ? 1 ? ? ? T 亦是 ?T ? ? ?

f ( x ) 的周期.假设 a k 是 f ( x ) 的周期,则 a k ? 1 ? 1 ? ?

? 1 ? ? ak ? ak ?

也是 f ( x ) 的周期.由数学归纳

法,已证得 a n 均是 f ( x ) 的周期.

三、必要性:假设存在 { x n } 满足(1)(2)(3) , , .注意到(3)中式子可化为
2008

x n ? x n ?1 ?

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 )

,n ? N* , 项 加 到 第
n

k ?1

其 中

x0 ? 0

. 将 上 式 从 第

1

项 , 并 注 意 到
n? ?

x0 ? 0



x n ? a 1 ( x n ? 1 ? x1 ) ? a 2 ( x n ? 2 ? x 2 ) ? ? ? a 2 0 0 8 ( x n ? 2 0 0 8 ? x 2 0 0 8 )

. 由(ⅱ)可设 b ? lim x n ,将上式

取极限得
b ? a 1 ( b ? x1 ) ? a 2 ( b ? x 2 ) ? ? ? a 2 0 0 8 ( b ? x 2 0 0 8 )

9

? b ? ? a k ? ( a 1 x1 ? a 2 x 2 ? ? ? a 2 0 0 8 x 2 0 0 8 )
k ?1

2008

? b ? ? ak
k ?1

2008



因此 ? a k ? 1 .
k ?1

2008

充分性:假设 ?

2008

a k ? 1 .定义多项式函数如下: f ( s ) ? ? 1 ?
2008

2008

?

ak s

k

, s ? [0,1] ,则 f ( s )
f (s) ? 0

k ?1

k ?1

在[0,1]上是递增函数,且 f (0 ) ? ? 1 ? 0 , 有唯一的根 s

f (1) ? ? 1 ?

?

ak ? 0

.因此方程

在[0,1]内

k ?1

? s 0 ,且 0 ? s 0 ? 1 ,即 f ( s 0 ) ? 0



下取数列 { x n } 为 x n ?
xn ?

?
k ?1

n

s0

k

, n ? 1, 2 , ? ,则明显地 { x n } 满足题设条件(ⅰ) ,且
x n ? lim s0 ? s0
2008
n ?1

?
k ?1

n

s0 ?
k

s0 ? s0

n ?1

1 ? s0

. 0 ? s 0 ? 1 , lim s 0n ? 1 ? , 因 故 因此 lim 0
n? ?

n? ?

n? ?

1 ? s0

?

s0 1 ? s0

, { xn } 即

的极限存在,满足(2) 最后验证 { x n } 满足(3) . ,因
x n ? x n ?1 ? s 0 ? ( ? a k s 0 ) s 0 ?
n k n k ?1 2008 2008

f ( s0 ) ? 0

,即 ? .

a k s 0 ? 1 ,从而
k

k ?1

?

2008

a k s0

n?k

?

?

a k ( x n ? k ? x n ? k ?1 )

k ?1

k ?1

综上,存在数列 { x n } 满足(1).

10



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