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2017届一轮复习北师大版 极坐标系 课件



第83讲

极坐标系

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.了解坐标系的作用,了解极坐标的基本概念,能 在极坐标系中用极坐标刻画点的位置, 能进行极坐标与直 角坐标的互化. 2.能在极坐标系中给出简单的图形表示的极坐标方 程.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.极坐标系与极坐标 (1)极坐标系:在平面内取一个定点 O,叫作 极点 ,自 极点 O 引一条射线 Ox,叫作 极轴 ,再选定一个长度单位, 一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. (2)极坐标:设 M 是平面内的一点,极点 O 与点 M 的距 离|OM|叫作点 M 的 极径 ,记作 ρ,以极轴 Ox 为始边,射 线 OM 为终边的∠xOM 叫作点 M 的 极角 ,记作 θ.有序数对 (ρ,θ)叫作点 M 的 极坐标 ,记作 M(ρ,θ) . 一般地, 不作特殊说明时, 我们认为 ρ≥0, θ 可取任意实数.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

2.极坐标与直角坐标的互化 (1)互化前提是:直角坐标系的原点作为 极点 ,x 轴 的正半轴作为 极轴 ,两坐标系中取 相同的单位长度 . (2)互化公式: ρcos θ ①x= ②ρ2= ,y= ,tan θ=

ρsin θ
.

.

3.曲线的极坐标方程 (1)直线的极坐标方程:若直线过点 M(ρ0,θ0),且与极 轴所成的角为 α,则它的极坐标方程为 ρsin(θ-α)=ρ0sin(θ0 -α).
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

几个特殊位置的直线的极坐标方程:

π + α ①直线过极点且与极轴所成的角为 α:θ=α 和 θ= ; ②直线过点(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ= a ;
π ③直线过点(a,2)且平行于极轴:ρsin θ= a . (2)圆的极坐标方程:圆心为(ρ1,θ1),半径为 r 的圆的极
2 坐标方程为:ρ2-2ρ1ρcos(θ-θ1)+(ρ2 - r )=0. 1

几个特殊位置的圆的极坐标方程: ①圆心在极点,半径为 r:ρ= π ③圆心在 C(a,2),半径为 a:ρ=
复习目标 课前预习

r



②圆心在 C(a,0),半径为 a:ρ= 2|a|cos θ ;

2|a|sin θ

.
课时小结

高频考点

1.把点 P 的直角坐标(1,-1)化为极坐标为( π A.( 2,4) 5π C.( 2, 4 ) 3π B.( 2, 4 ) 7π D.( 2, 4 )

)

解:ρ= 12+?-1?2= 2,tan θ=-1, 7π 又点(1,-1)在第四象限,所以取 θ= 4 ,故选 D.
答案:D
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

4π 2.将点 M 的极坐标(4, 3 )化为直角坐标为( A.(2,2 3) C.(2 3,2) B.(-2,-2 3) D.(-2 3,-2)

)

4π 1 解:x=4cos 3 =4×(-2)=-2, 4π y=4sin 3 =-2 3,所以直角坐标为(-2,-2 3).
答案: B

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

(

3.曲线的极坐标方程 ρ=4sin θ 化成直角坐标方程为 ) A.x2+(y+2)2=4 B.x2+(y-2)2=4 C.(x-2)2+y2=4 D.(x+2)2+y2=4

解:因为 ρ2=4ρsin θ,所以 x2+y2=4y,即 x2+(y-2)2 =4.

答案:B

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

π 4.在极坐标系中,过点(3,3)且垂直于极轴的直线方程 为( ) 3 A.ρcos θ=2 3 C.ρ=2cos θ 3 B.ρsin θ=2

3 D.ρ=2sin θ 1 3 解:方程为 ρcos θ=3×2,即 ρcos θ=2.
答案:A

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

(

5.在极坐标系中,圆ρ=-2sin θ的圆心的极坐标是 ) π π A.(1,2) B.(1,-2) C.(1,0) D.(1,π)

答案:B

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

极坐标与直角坐标的互化

极坐标背景下处理有关解析几何 问题 极坐标的综合问题

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

考点一· 极坐标与直角坐标的互化
【例 1】(1)将直角坐标方程(x-3)2+y2=9 化为极坐标方 程; (2)将极坐标方程 ρ=sin θ+2cos θ 化为直角坐标方程, 并 说明它表示什么曲线.

复习目标

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高频考点

课时小结

解:(1)将 x=ρcos θ,y=ρsin θ 代入方程得 (ρcos θ-3)2+(ρsin θ)2=9,化简得 ρ2=6ρcos θ, 即 ρ=0 或 ρ=6cos θ, 因为 ρ=0 表示极点,包含在 ρ=6cos θ 中, 所以所求的极坐标方程为 ρ=6cos θ. (2)因为 ρ 不恒为零,方程两边同乘 ρ 得 ρ2=ρsin θ+2ρcos θ, 化为直角坐标方程为 x2+y2=y+2x, 12 5 2 即(x-1) +(y-2) =4. 1 5 这是以(1,2)为圆心,半径为 2 的圆.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

点评:(1)直角坐标方程化为极坐标方程,只需要将直 角坐标方程中的 x,y,分别用 ρcos θ,ρsin θ 代替即可得 到相应的直角坐标方程. (2)化极坐标方程为直角坐标方程常利用 ρcos θ=x, ρsin θ=y 及 ρ2=x2+y2 进行整体代换得到.要判断极坐标 系下曲线的形状,可先将极坐标方程化为直角坐标方程再 判断.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
1.化下列极坐标方程为直角坐标方程 ,并判断它们表 示什么曲线. π (1)ρcos(θ-6)=1; (2)4sin2θ=3.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

π π π 解:(1)因为 ρcos(θ-6)=ρ(cos θcos6+sin θsin6) 3 1 = 2 ρcos θ+2ρsin θ, 又因为 ρcos θ=x,ρsin θ=y, 3 1 所以该方程化为直角坐标方程为 2 x+2y=1, 即 3x+y-2=0. 表示斜率为- 3,在 y 轴上的截距为 2 的直线. (2)因为 4sin2θ=3,所以 4ρ2sin2θ=3ρ2, 又因为 ρcos θ=x,ρsin θ=y, 所以直角坐标方程为 4y2=3(x2+y2),即 y2=3x2, 即 y=± 3x,其图象是两条直线.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

考点二· 极坐标背景下处理有关解析几何问题
【例 2】已知点 A 是曲线 ρ=3cos θ 上任意一点,求点 A 到直线 ρcos θ=1 的距离的最大值和最小值.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

32 2 9 解:因为 ρ=3cos θ,即 x +y =3x,(x-2) +y =4.
2 2

ρcos θ=1,即 x=1,故直线与圆相交. 3 所以最大值为2×2-1=2,最小值为 0.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

点评:在极坐标方程背景下处理有关解析几何问题,通 常是将极坐标方程化为直角坐标方程,将不熟悉的问题转化 为熟悉的问题,再进行求解.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

【变式探究】
π 2.在极坐标系下,求曲线 ρ=3 截直线 ρcos(θ-4)=1 所 得的弦长.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:由 ρ=3 化为直角坐标方程为 x2+y2=9, π ρcos(θ-4)=1 化为直角坐标方程为 x+y= 2. 如图,过点 O 作直线的垂线,垂足为 B. |0+0- 2| |OB|= 2 2 =1,又 R=3, 1 +1 所以 2|AB|=2 R2-|OB|2=4 2, 即所截得的弦长为 4 2.

复习目标

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高频考点

课时小结

考点三· 极坐标的综合问题
【例 3】(2015· 新课标卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,直线 C1:x=-2,圆 C2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C1,C2 的极坐标方程; π (2)若直线 C3 的极坐标为 θ=4(ρ∈R),设 C2 与 C3 的交点 为 M,N,求△C2MN 的面积.

复习目标

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高频考点

课时小结

解:(1)因为 x=ρcos θ,y=ρsin θ, 所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ=-2, C2 的极坐标方程为 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0. π (2)(方法一)将 θ=4代入 ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0, 得 ρ2-3 2ρ+4=0,解得 ρ1=2 2,ρ2= 2. 故 ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2, 1 由于 C2 的半径为 1,所以△C2MN 的面积为2.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

(方法二)化为直角坐标处理. π C3:θ=4化为直角坐标方程为 y=x, 又 C2:(x-1)2+(y-2)2=1, |2-1| 1 因为圆心到直线的距离 d= = , 2 2 所以|MN|=2 1 -d =2 1 所以△C2MN 的面积为2.
2 2

1 1-2= 2,

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

点评: (1)本题考查极坐标与直角坐标的互化以及极坐 标系中的距离公式, 通过极坐标方程与直角坐标方程之间 的互化考查化归与转化的思想. (2)直线与圆的位置关系的处理, 常见的有两种解决方 法: 方法一:先把涉及的直线、圆的极坐标方程化为直角 坐标方程,再根据直角坐标系中相关的知识进行求解; 方法二:直接利用极坐标相关知识求解,其关键是将 已知条件表示成 ρ 和 θ 的关系, 这一过程有时需要用到解 三角形的知识,并需要掌握直线和圆的极坐标方程.
复习目标 课前预习 高频考点 课时小结

【变式探究】
3.在极坐标系中,直线 C1 的极坐标方程为 ρsin θ=2, M 是 C1 上任意一点,点 P 在射线 OM 上,且满足|OP|· |OM| =4,记点 P 的轨迹为 C2. (1)求曲线 C2 的极坐标方程; π (2)求曲线 C2 上的点到直线 C3: ρcos(θ+4)= 2的距离的 最大值.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

解:(1)设 P(ρ,θ),M(ρ1,θ),依题意有 ρ1sin θ=2,ρρ1 =4. 消去 ρ1,得曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ(ρ≠0). (2)将 C2,C3 的极坐标方程化为直角坐标方程,得 C2:x2+(y-1)2=1(除去(0,0)),C3:x-y=2. C2 是以(0,1)为圆心,1 为半径的圆(除去(0,0)),圆心到 3 2 直线 C3 的距离 d= 2 , 3 2 故曲线 C2 上的点到直线 C3 的距离的最大值为 1+ 2 .

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

1.熟练掌握特殊位置的直线、圆的极坐标方程.直 线和圆的极坐标方程易混淆, 可利用直角坐标与极坐标的 互化进行辨别和加深理解. 2.直角坐标方程化极坐标方程只需将 x,y 分别换成 ρcos θ,ρsin θ 即可,而极坐极化直角坐标时,常需两边 同乘 ρ 或同时平方构造 ρcos θ,ρsin θ,ρ2 的形式,然后 整体代换.要注意变形过程中方程要保持同解,不要出现 增根或漏解.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结

3.由曲线的极坐标方程判断曲线的类型、讨论位置关 系等,通常是将极坐标方程化为直角坐标方程,使不熟悉 的问题转化为熟悉的问题.对一些简单的直线、圆的问题, 也可以直接用极坐标知识解决.

复习目标

课前预习

高频考点

课时小结



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