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三角函数的概念、图象与性质



三角函数的概念、图象与性质
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高中数学 通用

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高中三年级 60

任意角和弧度制;任意角的三角函数及诱导公式;同角三角函数的基本关系;正弦、余弦、正切 函数图象及性质;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象 进一

步巩固复习知识点,掌握基本考点;理解数形结合的思想在三角函数中的应用 掌握基本考点;理解数形结合的思想在三角函数中的应用 数学思想在三角函数中的应用

1

教学过程
一、 课堂导入
高考考情分析 (1)以客观题形式考查:诱导公式、同角三角函数关系、三角函数的定义、图象变换、三角函数的性质,由图象求解析 式. (2)以大题形式考查三角函数的图象与性质,常常与平面向量结合,考查三角恒等变换,图象变换及三角函数的性质, 题型以中低档为主,复习的关键是熟练掌握基本概念,图形的分布变化规律和三角函数的基本性质.

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二、复习预习
复习整合知识点:任意角和弧度制;任意角的三角函数及诱导公式;同角三角函数的基本关系;正弦、余弦、正切函数 图象及性质;函数 y=Asin(ω x+φ )的图象

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三、知识讲解
考点 1
1. 任意角和弧度制 (1)终边相同的角:所有与角 α 终边相同的角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S ={β|β=α+k· 360° ,k∈Z}. (2)把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (3)弧长公式:l=|α|r, 1 1 扇形的面积公式:S=2lr=2|α|r2.

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考点 2
2. 任意角的三角函数 (1)设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆交于点 P(x,y),那么 sinα=y,cosα=x, y tanα=x(x≠0). (2)各象限角的三角函数值的符号:一全正,二正弦,三正切,四余弦. .

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考点 3
3. 诱导公式 公式一 公式二 公式三 公式四 公式五 公式六 口诀 sin(2kπ+α)=sinα,cos(2kπ+α)=cosα, tan(2kπ+α)=tanα sin(π+α)=-sinα,cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα sin(-α)=-sinα,cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα sin(π-α)=sinα,cos(π-α)=-cosα, tan(π-α)=-tanα ?π ? ?π ? sin?2-α?=cosα,cos?2-α?=sinα ? ? ? ? ?π ? ?π ? sin?2+α?=cosα,cos?2+α?=-sinα ? ? ? ? 奇变偶不变,符号看象限

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考点 4
4. 同角三角函数基本关系式 sinα sin2α+cos2α=1,tanα=cosα(cosα≠0).

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考点 5
5. 正弦、余弦、正切函数的性质 函数 定义域 y=sinx R y=cosx R y=tanx π {x|x≠2+kπ, k∈Z} 值域 奇偶性 最小正周期 [-1,1] 奇函数 2π π π 在[-2+2kπ,2 + 单调性 2kπ](k∈Z)上递增. π 3π 在[2+2kπ, 2 + 2kπ](k∈Z)上递减 [-1,1] 偶函数 2π R 奇函数 π

在[-π+2kπ,2kπ](k ∈Z)上递增.在[2kπ, π+2kπ](k∈Z)上递减

π π 在(-2+kπ,2+ kπ)(k∈Z)上递增

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函数

y=sinx π 当 x=2+2kπ,k∈Z 时,y 取得最大值 1.

y=cosx

y=tanx

当 x=2kπ, k∈Z 时, y 无最值

最值

取得最大值 1. π 当 x=- +2kπ,k∈ 当 x=π+2kπ,k∈Z 2 Z 时,y 取得最小值 -1 对称中心:(kπ,0)(k ∈Z). 时,y 取得最小值-1

π 对称中心: (2+kπ, 0)(k

对称性

∈Z). π 对称轴: x = 2 + kπ(k 对称轴:x=kπ(k∈Z) ∈Z)

kπ 对称中心: ( 2 , 0)(k∈Z)

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考点 6
6. 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 π 3π 设 z=ωx+φ,令 z=0、2、π、 2 、2π,求出 x 的值与相应的 y 的值,描点连线可得.

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四、例题精析
考点一 例1 三角函数的概念、诱导公式及同角基本关系式 1 π (1)已知 sin2α=3,则 cos2(α-4)=( ) 1 A.3 C. 2 3 1 B.-3 D.-

2 3 π 1 2π (2)sin(6-α)=3,则 cos( 3 +2α)=( 7 7 A.-9 B.9 2 2 C.- D. 9 9

)



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【规范解答】 1 π 1+ 1+cos?2α-2? 3 2 π 1+sin2α (1) cos2(α - )= = = = .所以选 C 2 4 2 2 3 (2) ∵cos( 2π π π 2 7 +2α )=-cos( -2α )=-[1-2sin2( -α )]=-(1- )=- .所以选 A 3 3 6 9 9

【总结与反思】 1.已知条件为角 α 的终边过某点时,直接运用三角函数定义求解;已知条件为角 α 的终边在某条直线上,在直线取一点 后用定义求解;已知 sinα、cosα、tanα 中的一个值求其他值时,直接运用同角关系公式求解,能用诱导公式化简的先化 简. 2.已知 tanα 求 sinα 与 cosα 的齐次式的值时,将分子分母同除以 cosnα 化“切”代入,所求式为整式时,视分母为 1,用 1=sin2α +cos2α 代换. 2 3.sinθ +cosθ ,sinθ -cosθ ,sinθ cosθ 知一求其他值时,利用关系(sinθ ±cosθ ) =1±2cosθ cosθ .要特别注 意利用平方关系巧解题.

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考点二 例 2

三角函数的图象变换

π (1)已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|< ,x∈R)的图象的一部分如图所示,则函数 f(x)的解析式为 2 ________.

(1)题图 (2)

(2)题图

函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(其中 A>0,ω>0,|φ|<)的图象如图所示,为了得到 g(x)=sin3x 的图象,则只要将

f(x)的图象(

) π A.向右平移 个单位长度 4 π B.向右平移 个单位长度 12 π C.向左平移 个单位长度 4 π D.向左平移 个单位长度 12

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【规范解答】 2π π π (1) 由图象知 A=2,T=8= ω ,所以 ω=4,得 f(x)=2sin(4x+φ). π π π π π 由对应点得当 x=1 时,4× 1+φ=2?φ=4.所以 f(x)=2sin(4x+4). (2) 由题知, 函数 f(x)的周期 T=4( 5π π 2π 2π 2π - )= , 所以 = , 解得 ω =3 易知 A=1, 所以 f(x)=sin(3x+φ ). 又 12 4 3 3 ω

f(x)=sin(3x+φ )过点(

5π 5π 5π 3 ,-1),所以 sin(3× +φ )=-1,所以 3× +φ =2kπ + π ,k∈Z,所以 φ =2kπ 12 12 12 2



π π π π π π ,k∈Z,又|φ |< ,所以 φ = ,所以 f(x)=sin(3x+ )=sin[3(x+ )],所以将函数 f(x)的图象向右平移 4 2 4 4 12 12

个单位长度可以得到函数 g(x)=sin3x 的图象,故选 B. 【总结与反思】 1.已知正弦型(或余弦型)函数的图象求其解析式时,用待定系数法求解.由图中的最大值或最小值确定 A,再由周期确定 ω,由图象上特殊点的坐标来确定 φ,只有限定 φ 的取值范围,才能得出唯一解,否则 φ 的值不确定,解析式也不唯一. 将点的坐标代入解析式时,要注意选择的点属于“五点法”中的哪一个点. “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx0 +φ=0+2kπ(k∈Z),其他依次类推即可. 2.解答有关平移伸缩变换的题目时, 向左(或右)平移 m 个单位时, 用 x+m(或 x-m)代替 x, 向下(或上)平移 n 个单位时, x y 用 y+n(或 y-n)代替 y,横(或纵)坐标伸长或缩短到原来的 k 倍,用 代替 x(或 代替 y),即可获解. k k
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考点三 例3

三角函数的性质

已知函数 f(x)=2-( 3sinx-cosx)2.

π (1)求 f(4)的值和 f(x)的最小正周期; π π (2)求函数 f(x)在区间[-6,3]上的最大值和最小值.

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【规范解答】 (1)因为 f(x)=2-( 3sinx-cosx)2=2-(3sin2x+cos2x-2 3sinxcosx)=2-(1+2sin2x- 3sin2x)=1-2sin2x+ 3sin2x π π π π 2π 2π 2π =cos2x+ 3sin2x=2sin(2x+6),f(4)=2sin(2· 4+6)=2sin 3 = 3.所以 f(x)的周期为 T=|ω|= 2 =π. π π π 2π π π 5π π π (2)当 x∈[-6,3]时,2x∈[-3, 3 ],(2x+6)∈[-6, 6 ],所以当 x=-6时,函数取得最小值 f(-6)=-1, π π 当 x=6时,函数取得最大值 f(6)=2. 【总结与反思】 1.解答三角函数性质(单调性、周期性、最值等)问题时,通常是利用三角函数的有关公式,通过将三角函数化为只含一个 函数名称且角度唯一,最高次数为一次(一角一函)的形式,再依正(余)弦型函数依次对所求问题作出解答. 2.求三角函数的最值的方法: (1)化为正弦(余弦)型函数 y=asinω x+bcosω x 型引入辅助角化为一角一函. (2)化为关于 sinx(或 cosx)的二次函数.

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考点四 例4

数学思想方法在三角函数中的应用

π 已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<2)在一个周期内的图象如图所示.

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)设 0<x<π ,且方程 f(x)=m 有两个不同的实根根,求实数 m 的取值范围以及这两个根的和.

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【规范解答】 3 11π π 3π π π π π (1)由图象知 A=2, T= - = ,则 T=π ,所以 ω =2,又图象过点( ,2),所以 2× +φ = .即 φ = . 4 12 6 4 6 6 2 6 所以所求的函数的解析式为 f(x)=2sin(2x+ π ). 6

(2) 在同一坐标系中画出 y=2sin(2x+

π )和 y=m(m∈R)的图象,如图所示, 6

由图可知,当-2<m<1 或 1<m<2 时,直线 y=m 与曲线有两个不同的交点,即原方程有两个不同的实数根,故 m 的取值范 围为-2<m<1 或 1<m<2.当-2<m<1 时,两根之和为 【总结与反思】 1.形如直线的斜率、直线的方程、圆与圆锥曲线方程形式的代数式或等式可考虑以形助数. 2.复数、向量中的最值问题或与模有关的问题常借助图形分析. 3.三角函数问题中,求参数的取值范围(或恒成立)问题,图形的最高(低)点及对称,与其他曲线的交点等,常借助图 象寻找关系.
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4π π ;当 1<m<2 时,两根之和为 . 3 3

课程小结
1.正确区分正弦函数、余弦函数的奇偶性、单调区间、对称轴、对称中心. 2.先平移与先伸缩变换的区别.

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