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数学必修一第三章章末优化总结



第三章

函数的应用

章末优化总结

第三章

函数的应用

法1:解方程; 优化P60 零点存在性定理 法2:图象法 优化P63 优化P65

优化P67

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函数的应用<

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函数的零点与方程的根
函数的零点及判断个数的方法 (1)函数的零点与方程的根之间存在着紧密的关系: 方程 f(x) =0 有实数根?函数 y=f(x)的图象与 x 轴有交点?函数 y= f(x)有零点. (2)确定函数零点的个数有两个基本方法: 一是利用图象研究 与 x 轴的交点个数或转化成两个函数图象的交点个数定性 判断, 二是判断区间(a, b)上是否有变号零点, 可应用 f(a)· f(b) 与 0 的关系判断.
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(2014· 高考湖北卷)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x≥ 0 时,f(x)= x2-3x,则函数 g(x)= f(x)-x+ 3 的零点 的集合为( D ) A. {1,3} C. {2- 7, 1,3} B. {- 3,-1, 1, 3} D. {- 2- 7, 1, 3}

[解析] 令 x<0,则- x>0,所以 f(-x)=(-x)2+3x=x2 + 3x.因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f( -x)=- f(x).所以当 x< 0 时,f(x)=- x2- 3x.所以当 x≥0 时,g(x) =x2-4x+ 3.令 g(x)=0,即 x2-4x+3=0,解得 x=1 或 x =3.当 x<0 时,g(x)=-x2- 4x+3.令 g(x)=0,即 x2+4x -3=0,解得 x=- 2+ 7> 0(舍去 )或 x=-2- 7.所以函 数 g(x)有三个零点,故其集合为 {- 2- 7,1,3}.
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6 (2014· 高考北京卷 )已知函数 f(x)= -log2x.在下列区 x 间中,包含 f(x)零点的区间是 ( C ) A. (0,1) C. (2,4)
[解析 ]

B.(1,2) D.(4,+∞ )

由题意知,函数 f(x)在(0,+∞ )上为减函数,又 f(1) 6 3 1 = 6- 0= 6>0, f(2)=3-1= 2>0, f(4)= - log24= -2=- <0, 4 2 2 由零点存在性定理,可知函数 f(x)在区间(2,4)上必存在零点.

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二次函数的零点与一元二次方程根的分布
对于二次函数在某个范围的零点问题, 既要考虑函数图象的 开口方向、对称轴和判别式,还要考虑端点函数值的正负, 若考虑不周, 很容易出错, 将函数图象与根的分布充分结合 起来可避免出错.

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已知二次函数 f(x)=x2-2ax+4,求下列条件下,实 数 a 的取值范围. (1)零点均大于 1; (2)一个零点在 (0,1)内,另一个零点在 (6, 8)内.
[解 ] (1)因为方程 x2- 2ax+ 4= 0 的两根均大于 1, 结合二次函数的单调性与零点存在性定理,得 (-2a) 2- 16≥ 0,

? ? 5 ?f(1)=5-2a>0,解得2≤a<2. ? ?a>1.
5? ? ∴实数 a 的取值范围为 2,2 . ? ?

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(2)因为方程 x2- 2ax+ 4= 0 的一个根在 (0,1)内,另一个根 在 (6,8)内,结合二次函数的单调性与零点存在性定理,得

? ?f(1)=5-2a<0, 10 17 ?f(6)=40-12a<0,解得 3 <a< 4 . ? ?f(8)=68-16a>0.
f( 0)= 4>0, 10 17? ? ∴实数 a 的取值范围为 3 , 4 . ? ?

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函数模型及应用
数学建模是解决数学应用题的重要方法, 即通过试验采集数 据,从数据中抽象出规律,找到近似描述这一实际问题的模 型.建模的重点和难点为实际问题抽象为数学问题的过程, 仔细分析语言描述从中抽出函数关系式,要求什么,它等于 什么,如何去表达,怎样求解. (1)函数建模的关键是依据条件找到关于变量的等式, 这要结 合生活经验和相关的知识,还要靠经验的积累. (2)实际问题中,有关人口增长、银行利率、细胞分裂等增长 率问题常可以用指数函数模型来表示, 在建立函数模型时注 意用区分、列举、归纳等方法来探求内在的规律.
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1.三种函数模型的性质

函数 性质 在(0,+∞) 上的增减性

y=ax(a>1) 增函数 ______

y=logax(a>1) 增函数 ______

y=xn(n>0) 增函数 ______

随x的增大逐 随x的增大逐 随n值不同而 图象的变化 渐 渐 不同 与 y 轴平行 与 x 轴平行 __________ __________

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2.三种函数增长速度的比较 (1) 在区间 (0 ,+ ∞) 上,函数 y = ax(a>1) , y = logax(a>1) 和 y = 增长速度不同,且不在同一个 “档次 ” xn(n>0)都是增函数 ______,但 ________ 上. (2)随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度越来越快,会超过并

远远大于y=xn(n>0)的增长速度,而y=logax(a>1)的增长速度 越来越慢. ________ ax>xn>logax (3)存在一个x0,当x>x0时,有_____________________ .

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几类常见函数模型

名称 一次函数模型 反比例函数模 型 二次函数模型

解析式 y=kx+b
k y= + b x
一般式: y= ax2+ bx+ c
2

条件 k≠0 k≠0 a≠0

b 4ac- b2 顶点式: y= a x+2a + 4a

(

)

指数函数模型 对数函数模型 幂函数模型

y= b· ax+c

y=mlogax+n
y=axn+b

a>0且a≠1, b≠0 a>0且a≠1, m≠ 0 a≠0
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此外,常考的还有“分段函数”模

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大西洋鲑鱼每年都要逆流而上,游回产地产卵,研究 鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可以表示为函数 v= 1 O ·log3 ,单位是 m/s,其中 O 表示鱼的耗氧量的单位数. 2 100 (1)当一条鱼的耗氧量是 2 700 个单位时,它的游速是多少? (2)计算一条鱼静止时耗氧量的单位数.

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[解 ]

1 2 700 3 (1)由题意得 v= log3 = (m/s). 2 100 2

3 所以当一条鱼的耗氧量是 2 700 个单位时, 它的游速是 m/s. 2 (2)当一条鱼静止时,即 v= 0(m/s), 1 O 则 0= log3 , 2 100 解得 O= 100. 所以当一条鱼静止时耗氧量的单位数是 100.

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某商场试销一种成本为每件 60 元的服装, 规定试销 期间销售单价不低于成本价,且获利不得高于 45% ,经试 销发现,销售量 y(件 )与销售单价 x(元)满足关系 y=-x+ 120. (1)销售单价定为多少元时, 商场可获得最大利润, 最大利润 是多少元? (2)若该商场获得利润不低于 500 元, 试确定销售单价 x 的范 围.

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[解 ] (1)由题意,销售利润为 W= (- x+ 120)(x- 60)=- x2+ 180x-7 200=-(x- 90)2+ 900, 因为 试销期间 销售单价 不低于成 本单价, 且获利不 得高于 45% , 则-(x- 90)2+ 900≤ 0.45× 60(- x+ 120), 所以 60<x≤87, 所以当 x= 87 时,利润最大,最大利润是 891 元. (2)因为该商场获得利润不低于 500 元, 所以(x- 60)(- x+120)≥500, 所以 70≤ x≤ 110, 由 (1)知 60<x≤87,所以 70≤ x≤ 87, 所以当 70≤x≤ 87 时,该商场获得利润不低于 500 元. 答:(1)当 x= 87 时,利润最大,最大利润是 891 元. (2)该商场获得利润不低于 500 元,销售单价 x 的范围为 [70, 87].
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1.某种电子元件的成本前两年每年递增 20%,后两年每年 递减 20% ,则四年后的成本比较,变化情况是( A ) A.减少 7.84% C.减少 9.5% B.增加 7.84% D.不增不减

解析: 设该电子元件原来成本为 a 元, 则有 a(1+20%)2×(1 a-0.921 6a 0.078 4a -20%) =0.921 6a, = =7.84%. a a
2

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2.实数 a,b,c 是图象连续不间断的函数 f(x)定义域中的三 个数, 且满足 a<b<c,f(a)· f(b)<0,f(b)· f(c)<0,则函数 y=f(x) 在区间 (a,c)上零点的个数为 ( D ) A. 2 C.偶数 B.奇数 D.至少是 2

解析:由 f(a)· f(b)<0 知,在区间(a, b)上至少有一个零点; 由 f(b)· f(c)<0 知,在区间 (b, c)上至少有一个零点,故在区 间 (a, c)上至少有两个零点.

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2 3.函数y=2x2-4x-3的零点有________ 个.
解析: 函数 y=2x2-4x-3 为二次函数, 且对于相应方程 2x2 -4x-3=0, Δ =(-4)2+ 4×2×3>0, 所以方程有两个不相 等的实数根,即函数有两个零点.

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m 4.若关于 x 的方程 log1x= 在区间(0,1)上有解,则实 1 - m 2

0<m<1 . 数 m 的取值范围是________
m 解析:要使方程有解,只需 在函数 y=log1x(0<x<1)的 1- m 2 值域内. ∵x∈(0,1),∴ log1x>0.
2

m ∴ >0.∴0<m<1. 1- m

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5.在经济学中,函数f(x)的边际函数Mf(x)定义为Mf(x)=f(x

+1)-f(x).某公司每月最多生产100台报警系统装置,生产x
台(x∈N*)的收入函数为R(x)=3 000x-20x2(单位:元),其成 本函数为C(x)=500x+4 000(单位:元),利润是收入与成本 之差. (1)求利润函数P(x)及边际利润函数MP(x);

(2)利润函数P(x)与边际利润函数MP(x)是否具有相同的最大
值?

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解:由题意知, x∈ [1, 100],且 x∈ N*. (1)P(x) = R(x) - C(x) = 3 000x - 20x2 - (500x + 4 000) = - 20x2+2 500x- 4 000, MP(x)= P(x+ 1)- P(x)=- 20(x+ 1)2+ 2 500(x+ 1)- 4 000 - [- 20x2+ 2 500x- 4 000]= 2 480- 40x. 2 125 (2)P(x)=- 20?x- 2 ? +74 125, 当 x=62 或 x=63 时, P(x) ? ? 的最大值为 74 120(元 ). 因为 MP(x)=2 480-40x 是减函数,所以当 x= 1 时,MP(x) 的最大值为 2 440(元 ). 因此, 利润函数 P(x)与边际利润函数 MP(x)不具有相同的最 大值.
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x- 1 1 6. 已知函数 f(x)=loga(x+ 2)-1(a>0, 且 a≠ 1), g(x)=?2? . ? ?

(1)若函数 y=f(x)的图象恒过定点 A,求点 A 的坐标; 1? ? (2)若函数 F(x)=f(x)- g(x)的图象过点 2,2 ,试证明函数 ? ? F(x)在 x∈ (1, 2)上有唯一零点.
解:(1)∵函数 y= logax 的图象恒过点(1, 0), ∴函数 f(x)= loga(x+2)- 1(a>0, 且 a≠ 1)的图象恒过点 A(- 1,- 1).

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(2)证明: F(x)= f(x)- g(x) x- 1 1 = loga(x+2)- 1-?2 ? , ? ? 1? ? ∵函数 F(x)的图象过点 2,2 , ? ? 2- 1 1 1 1 ? ? ∴ F(2)= ,即 loga4-1- 2 2 ? ? =2, x- 1 1 ∴ a= 2.∴ F(x)= log2(x+2)-?2 ? - 1. ? ? ∴函数 F(x)在 (1, 2)上是增函数. 1 又∵ F(1)= log23- 2<0, F(2)= >0, 2 ∴函数 F(x)在 (1, 2)上有零点, 故函数 F(x)在 (1, 2)上有唯一零点.
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