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山东省五莲中学2015-2016学年高二上学期第五次调研测试数学(文)试题



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五莲中学高二年级第五次调研测试
数学(文) 试 题
时间:120 分钟, 分值:150 分 2016.1

9.不等式 A. ? ?

x ?1 ? 0 的解集为 2x ?1
B. ??

( C. ? ? ?. ?


<

br />? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? 1 ? ,1 ? 2 ? ?

? ?

1? ? ? ?1,??? 2?

D. ? ? ?,? ? ? ?1,??? 2

? ?

1? ?

一、选择题(本大题有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分) 1.命题“ ?x ? R, e x ? x ”的否定是( ) A. ?x0

? x ? y ? 10 ? 10.设实数 x 和 y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ,则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为( ) ? x?4 ?
A. 26 B. 24 C.16 D.14

? R, e x0 ? x
x

B. ?x ? R, e x ? x D. ?x0 ) B.若|a|>b,则 a2>b2. D.若 a≠|b|,则 a2≠b2 ) B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
2

C. ?x ? R, e ? x 2.a、b∈R 下列命题正确的是( A.若 a>b,则 a2>b2 C.若 a>|b|,则 a2>b2 3.“ ? 为锐角”是“ sin ? ? 0 ”的( A.充分不必要条件 C.充要条件

? R, e x0 ? x
11.椭圆 A.5

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 2,则 m 的值等于 ( m 4
B.8 C.5 或 3 D.5 或 8

).

) 上的函数 f ( x) ,如果对于任意给定的等比数列{an } , { f (an )} 仍是等比数列,则称 12.定义在 (??,0) ?(0, ??
f ( x) 为“保等比数列函数”. 现有定义在 (??,0) ?(0, ?? ) 上的如下函数:

4.在等比数列? an ?中,若 a3 , a9 是方程 3x ? 11x ? 9 ? 0 的两根,则 a6 的值是( A.3 B. ? 3 C. ?

① f ( x) ? x 2 ; )

② f ( x) ? 2 x ;

③ f ( x) ? | x | ; )

④ f ( x) ? ln | x | .

则其中是“保等比数列函数”的 f ( x) 的序号为 ( A.① ② B.③ ④

3

D.以上答案都不对.

C.① ③

D.② ④

5.双曲线

x2 y2 ? ? 1 的渐近线方程是( 4 9
3 x 2
2

二、填空题(本大题 5 有 5 个小题,每小题 5 分,共 25 分) ) C. y ? ? 13.已知 a,b ?R ? ,且 a ? b ? 1 ,则

A. y ? ?

B. y ? ?

2 x 3

9 x 4

D. y ? ?

4 x 9


1 1 ? 的最小值为____________. a b

14.若椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点,则椭圆的离心率为____________. 15.与双曲线 x ?
2
2

6.设抛物线 y ? 8 x 上一点 P 到 y 轴的距离是 4,则点 P 到该抛物线焦点的距离是( A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 ). C. 3 或 2 3 D.2

y2 ? 1 有共同的渐近线,且过点(2,2)的双曲线的标准方程是______________________. 4

7.在△ABC 中,若 b= A.

3

,c=3,∠B=30°,则 a=( B.2

,3] 成立,则 a 的范围是____________. 16.不等式 ax ? x ?1 ? 0 对任意 x ?[1
17.设关于 x 的不等式 x 2 ? x ? 2nx n ?N

3

3

?

?

? 的解集中整数的个数为 a

n

,数列?an ? 的前 n 项和为 Sn ,则 S100 的值为

______________. )

8.已知?an ? 是等差数列, a1 ? a2 ? 4 , a7 ? a8 ? 28 ,则该数列前8 项和 S8 等于( A.64 B.80 C.110 D.120

三、解答题(本大题有 5 个小题,共 65 分) 18. (本小题 12 分) 已知命题 P : 关于 x 的不等式 x2 ? (a ?1) x ?1 ? 0 的解集为空集 ? ; 命题 Q : 函数 y ? (a ?1) x 为增函数,若命题 P ? Q 为假命题 P ? Q 为真命题, 求实数 a 的取值范围。

21.(本小题 14 分) 已知数列?an ? 的前 n 项和为 S n ,且满足: Sn ? n2 ? 1. (1)求数列?an ? 的通项公式;

(2)若T n 是数列 ?

?

1 1 ? ? 的前项和,试证明:Tn ? . 3 ? a n ? a n?1 ?

19.(本小题 12 分)

22.(本小题 14 分) 一动圆与圆 O1 : ( x ?1)2 ? y 2 ? 1外切,与圆 O2 : ( x ? 1)2 ? y 2 ? 9 内切. (1)求动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程; (2)设过圆心 O1 的直线 l : x ? my ? 1与轨迹 L 相交于 A 、 B 两点,请问 ?ABO2 ( O2 为圆O2 的圆心)的面积 是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线l 的方程,若不存在,请说明理由.

(2b - c) cos A ? a ? cos C 在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,且满足
(Ⅰ)求角 A 的大小; (Ⅱ)若 b ? c ? 6, a ? 2 6 求 ?ABC 的面积.

20. (本小题 13 分) 某地地震,为了安置广大灾民,抗震救灾指挥部决定建造一批简易房(每套长方体状,房高 2.5 米) ,前后墙用 2.5 米高的彩色钢板,两侧用 2.5 米高的复合钢板,两种钢板的价格都用长度来计算(即:钢板的高均为 2.5 米,用钢 板的长度乘以单价就是这块钢板的价格) , 每米单价: 彩色钢板为 450 元, 复合钢板为 200 元.房顶用其它材料建造, 每平方米材料费为 200 元.每套房建筑面积 100 平方米,试计算: (1)设房前面墙的长为 x ,两侧墙的长为 y ,所用材料费为 p ,试用 x , y 表示 p ; (2)求简易房造价 S 的最小值是多少?并求 S 最小时,前面墙的长度应设计为多少米?

第五次调研考试数学(文)答案 一、选择题 1.D 2.C 3.A 4.C 5.A 6.B 7.C 8.A 9.A 10.D 11.C 12.A 二、填空题 2 14. 2

即 24 ? b 2 ? c 2 ? bc,

? 24 ? (b ? c) 2 ? 3bc, ???????????????????????8 分
? b ? c ? 6, ? bc ? 4.

13.4

x2 y 2 ? ?1 15. 3 12

1 (??, ? ) 4 16.

17.10100

? S ?ABC ?
20.

1 1 3 bc sin A ? ? 4 ? ? 3, ????????????????12 分 2 2 2

三、解答题 18.解:? 命题 P : 关于 x 的不等式 x2 ? (a ?1) x ?1 ? 0 的解集为空集 ?

? (a ?1)2 ? 4 ? 0
解得: ?1 ? a ? 3

即: a ? 2a ? 3 ? 0
2

??? 3 分
解得: a ? 2

? 命题 Q : 函数 y ? (a ?1) x 为增 ? a ? 1 ? 1
又? P ? Q 为假 , P ? Q 为真 若 P 真 Q 假,则: ?

??? 5 分
x | x k | .C o m ]

? P, Q 一真一假
解得: ?1 ? a ? 2 ??? 8 分

??1 ? a ? 3 ? a?2

若 P 假 Q 真,则: ?

?a ? ?1, 或 a ?3 解得: a ? 3 a?2 ?

?? 11 分 ??? 12 分

? 实数 a 的取值范围是: (?1, 2] ? [3, ??)
(2b - c) ? cos A ? a ? cosC, 19.解: (Ⅰ)?

由正弦定理得 (2 sin B ? sin C ) ? cos A ? sin A ? cos C. ???????????2 分 得 2sinB ? cosA ? sinCcosA ? sinAcosC, 21.解:(1)、由题意得:当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ?????????1 分 当 n ? 2 时, an ? S n ? S n?1 ? 2n ? 1 ???????????????4 分

? 2 sin B cos A ? sin(A ? C ) ? sin B, ??????????????????4 分
在 ?ABC 中, sin B ? 0,

? a1 不满足上式

? cos A ?

1 ,? 2

?A?
2

?
3
2 2

(Ⅱ)由余弦定理得: a ? b ? c ? 2bc cos A

n ?1 ? 2 ??an ? 的通项公式为 a n ? ? ?????????????6 分 2 n ? 1 n ? 2 ?

设1 ? t1 ? t 2 , f (t 2 ) ? f (t1 ) ? 3t 2 ?

1 1 1 ? 3t1 ? ? (t 2 ? t1 )(3 ? )?0 t2 t1 t1t 2
12 ? 3, 4

? f (t 2 ) ? f (t1 )

? f (t ) 在[1, ??) 上单调递增,有 f (t ) ? f (1) ? 4 , S△ ABO2 ?

此时 t ? 1 , m ? 0 ∴存在直线 l : x ? 1 , ?ABO2 的面积最大值为 3.

????14 分

22.解: (1)设动圆圆心为 M ( x,y ) ,半径为 R . 由题意,得 MO1 ? R ? 1, MO2 ? 3 ? R , ∴ MO1 ? MO2 ? 4 . 由椭圆定义知 M 在以 O1,O2 为焦点的椭圆上,且 a ? 2,c ? 1 , ????3 分

∴b 2 ? a 2 ? c 2 ? 4 ? 1 ? 3 .

y

∴动圆圆心 M 的轨迹 L 的方程为

x2 y 2 ? ? 1 . ??6 分 4 3
O2 11 O1 O1 11

A1 x 填空题: 13. 15. 16. 解答题: 18. .17. .14. . . .

(2) 设 A( x1 , y1 ) 、 B( x2 , y2 ) ( y1 ? 0, y2 ? 0 ), 则 S△ ABO2

1 1 ? O1O2 ? y1 ? O1O2 ? y2 ? y1 ? y2 , ??8 分 2 2

五莲中学高二年级第五次调研测试 第 II
]

B

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y2 ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
解得 y1 ? ∴ S△ ABO2 有 S△ ABO2

?3m ? 6 m2 ?1 ?3m ? 6 m2 ? 1 y ? , , 2 3m2 ? 4 3m2 ? 4

????10 分

12 m2 ? 1 2 2 2 ? ,令 t ? m ?1 ,则 t ? 1 ,且 m ? t ? 1 , 2 3m ? 4 1 12t 12t 12 ,令 f (t ) ? 3t ? , ? 2 ? 2 ? t 3(t ? 1) ? 4 3t ? 1 3t ? 1 t

]



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