9512.net
甜梦文库
当前位置:首页 >> 数学 >>

专题数列求和的基本方法和技巧(学生用)


数列求和的基本方法和技巧
数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一,除了等差数列和等比数列有求和公式外,大部分数列的求和都需要一定 的技巧. 下面,就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧.

一、利用常用求和公式求和
利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ?

n(a1 ? an ) n(n ? 1) ? na1 ? d 2 2

(q ? 1) ? na1 ? n 2、等比数列求和公式: S n ? ? a1 (1 ? q ) a1 ? a n q ? (q ? 1) ? 1? q ? 1? q
3、 S n ?

1 k ? n(n ? 1) ? 2 k ?1

n

4、 S n ?

?k
k ?1

n

2

1 ? n(n ? 1)(2n ? 1) 6

5、 S n ?

?k
k ?1

n

3

1 ? [ n(n ? 1)]2 2 ?1 2 3 n ,求 x ? x ? x ? ? ? ? ? x ? ? ? ? 的前 n 项和. log2 3

[例 1] 已知 log3 x ?

[例 2] 设 Sn=1+2+3+…+n,n∈N*,求 f (n) ?

Sn 的最大值. (n ? 32) S n ?1

二、错位相减法求和(等差比数列)
这种方法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要用于求数列{an· bn}的前 n 项和,其中{ an }、{ bn }分别是等差数列和等比数列. [例 3] 求和: S n ? 1 ? 3x ? 5x ? 7 x ? ? ? ? ? (2n ? 1) x
2 3 n?1

(x≠0)

[例 4] 求数列

2 4 6 2n , 2 , 3 ,? ? ?, n ,? ? ? 前 n 项的和 2 2 2 2

1

三、倒序相加法求和
这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法,就是将一个数列倒过来排列(反序) ,再把它与原 数列相加,就可以得到 n 个 (a1 ? an ) . [例 5] 求 sin 1 ? sin 2 ? sin 3 ? ? ? ? ? sin 88 ? sin 89 的值
2 ? 2 ? 2 ? 2 ? 2 ?

四、分组法求和
有一类数列,既不是等差数列,也不是等比数列,若将这类数列适当拆开,可分为几个等差、等比或 常见的数列,然后分别求和,再将其合并即可. [例 6] 求数列的前 n 项和: 1 ? 1,

1 1 1 ? 4, 2 ? 7,? ? ?, n ?1 ? 3n ? 2 ,… a a a

[例 7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前 n 项和.(利用一中求和公式 3、4、5)

五、裂项法求和
这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用. 裂项法的实质是将数列中的每项(通项)分解,然后 重新组合,使之能消去一些项,最终达到求和的目的. 通项分解(裂项)如: (1) an ? f (n ? 1) ? f (n) (2) a n ?

1 1 1 ? ? n(n ? 1) n n ? 1

(3 ) an ?

1 1 1 1 1 1 ? [ ? ] (4) an ? ? n(n ? 1)(n ? 2) 2 n(n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n?k ? n k 1 1? 2 , 1 2? 3 ,? ? ?, 1 n ? n ?1 ,? ? ? 的前 n 项和.

?

n?k ? n .

?

[例 8] 求数列

[例 9]在数列{an}中, an ?

1 2 n 2 ? ? ??? ? ,又 bn ? ,求数列{bn}的前 n 项的和. n ?1 n ?1 n ?1 a n ? a n ?1

[例 10] 、

1 1 1 1 ? ? ? ... ? =__________ 2 ? 4 3?5 4 ? 6 (n ? 1)( n ? 3)

2

六、合并法求和
针对一些特殊的数列,将某些项合并在一起就具有某种特殊的性质,因此,在求数列的和时,可将这 些项放在一起先求和,然后再求 Sn. [例 11] 求 cos1°+ cos2°+ cos3°+· · ·+ cos178°+ cos179°的值. [例 12] 数列{an}: a1 ? 1, a2 ? 3, a3 ? 2, an?2 ? an?1 ? an ,求 S2002.

[例 13] 在各项均为正数的等比数列中,若 a5 a6 ? 9, 求 log3 a1 ? log3 a2 ? ? ? ? ? log3 a10 的值.

七、利用数列的通项求和
先根据数列的结构及特征进行分析,找出数列的通项及其特征,然后再利用数列的通项揭示的规律来 求数列的前 n 项和,是一个重要的方法. [例 14] 求 1,11,111,………的前 n 项之和。

[例 15] 求数列 1,1+2,1+2+22, 、 、 、 、 、的前 n 项和 Sn

基本练习
2 2 2 2 1.等比数列 {an } 的前n项和 Sn=2 -1,则 a1 =________________ ? a2 ? a3 ? ? ? an


2.设 Sn ? ?1 ? 3 ? 5 ? 7 ? 3.

? (?1)n (2n ? 1) ,则 S n =_______________________.
.

1 1 ? ? 1? 4 4 ? 7

?

1 ? (3n ? 2) ? (3n ? 1)

4.数列 1,(1 ? 2),(1 ? 2 ? 22 ), 5.

,(1 ? 2 ? 22 ?

? 2n?1 ),

的通项公式 an ?

,前 n 项和 Sn ?

1 3 5 2n ? 1 , 2 , 3 , ? , n , ? ; 的前 n 项和为_________ 2 2 2 2

6.求数列 0.6,0.66,0.666, 、 、 、 、 、的前 n 项和。 7.求数列 6, 66,666, 、 、 、 、 、的前 n 项和。

3

提高练习
1.数列{an}满足:a1=1,且对任意的 m,n∈N*都有:am+n=am+an+mn,则 ( A. )

1 1 1 1 ? ? ??? ? a1 a2 a3 a2008

4016 2009

B.

2008 2009

C.

2007 1004

D.

2007 2008

2. 数列{an}、 {bn}都是公差为 1 的等差数列, 若其首项满足 a1+b1=5, a1>b1, 且 a1, b1∈N*, 则数列{ abn } 前 10 项的和等于 ( ) A.100 B.85 C.70 3.设 m=1×2+2×3+3×4+…+(n-1)·n,则 m 等于
2

D.55 ( )

n ( n ? 1) 1 1 1 B. n(n+4) C. n(n+5) D. n(n+7) 3 2 2 2 4.若 Sn=1-2+3-4+…+(-1)n-1·n,则 S17+S33+S50 等于 ( ) A.1 B.-1 C.0 D.2 5 .设 {an} 为等比数列 ,{bn} 为等差数列,且 b1=0,cn=an+bn, 若数列 {cn} 是 1,1,2, … , 则 {cn} 的前 10 项和为 ( ) A.978 B.557 C.467 D.979 2 2 2 2 2 2 6.100 -99 +98 -97 +…+2 -1 的值是 ( ) A.5000 B.5050 C.10100 D.20200 7.一个有 2001 项且各项非零的等差数列,其奇数项的和与偶数项的和之比为 .
A. 8.若 12+22+…+(n-1)2=an3+bn2+cn,则 a= ,b= ,c= .

9.已知等差数列{an}的首项 a1=1,公差 d>0,且其第二项、第五项、第十四项分别是等比数列{bn}的第 二、三、四项. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2)设数列{cn}对任意自然数 n 均有 求 c1+c2+c3+…+c2003 的值.

c c1 c2 c3 ? ? ? ? ? n ? an?1 成立. b1 b2 b3 bn

10.已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足:Sn=2an+(-1)n,n≥1. (1)求证数列{an+

2 (-1)n}是等比数列; 3
1 1 1 7 ? ??? ? . a 4 a5 am 8

(2)求数列{an}的通项公式; (3)证明:对任意的整数 m>4,有

4


赞助商链接

更多相关文章:
高一第6讲 专题()数列求和技巧(学生)
高一第6讲 专题(二)数列求和技巧(学生)_数学_高中教育_教育专区。高一第 6 ...技巧求和一、公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的基本最重要的方法. ...
专题--数列求和的基本方法和技巧(师)
专题讲座——数列求和的基本方法和技巧★数列在高考中的要求: 1.等差数列与等比数列是两种最基本、最重要及应用最广泛的数列,其他数列问题的解决往往借助 它们完成,...
数列求和的基本方法归纳
有求和公式外, 大部分数列的求和都需要一定的技巧....数列的前 n 项和公式时所用的方法,这种方法主要...专题--数列求和的基本方... 8页 免费 数列求和...
专题--数列求和的基本方法和技巧
高三一轮复习资料---数列专题 数列求和的基本方法和技巧主要方法: 1.求数列的和注意方法的选取:关键是看数列的通项公式; .求数列的和注意方法的选取:关键是看...
第七讲+数列求和的基本方法和技巧学生
第七讲+数列求和的基本方法和技巧学生_数学_高中教育_教育专区。数列求和 第七讲 数列求和与实际应用(一)数列求和 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式...
数列求和的基本方法和技巧(学生版)
数列求和的基本方法和技巧一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式: S n ? n(a1 ? an ) n...
专题--数列求和的基本方法和技巧(师)
高中数学新课标讲义——数列专题 ——数列求和的基本方法和技巧 专题讲座——数列求和的基本方法和技巧 数列在高考中的要求: ★数列在高考中的要求: 1.等差数列与...
专题--数列求和的基本方法和技巧
数列求和的基本方法与 数列求和的基本方法与技巧一、利用常用求和公式求和: 利用常用求和公式求和: 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 n(a1...
专题--数列求和的基本方法和技巧
专题--数列求和的基本方法和技巧_数学_高中教育_教育专区。高中数学数列就和方法大综合诺成教育 数列求和的基本方法 一、利用常用求和公式求和: 利用下列常用求和公式...
xue 专题--数列求和的基本方法和技巧 3
xue 专题--数列求和的基本方法和技巧 3_数学_高中教育_教育专区。数列求和的基本方法和技巧数列是高中代数的重要内容,又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞...
更多相关标签:

All rights reserved Powered by 甜梦文库 9512.net

copyright ©right 2010-2021。
甜梦文库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com|网站地图