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对数函数与指数函数的导数二


对数函数与指数函数的导数二
课 题: 3.5 对数函数与指数函数的导数(2) 教学目的: 1.理解掌握指数函数的导数的两个求导公式. 2.在学习了函数的四则运算的求导法则与复合函数的求导法则的基础上,应用指数函数的 求导公式,能求简单的初等函数的导数 教学重点:结合函数四则运算的求导法则及复合函数的求导法则,应用对数函 数、指数函数的求导公式求简单的初等函数的导数. 教学难点:指数函数的求导公式的记忆,以及应用指数函数的求导公式. 授课类型:新授课 课时安排:1 课时 教 具:多媒体、实物投影仪 教学过程: 一、复习引入: 1. 常见函数的导数公式:
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C ' ? 0 ; ( x n )' ? nxn?1 ; (sin x)' ? cos x ; (cos x)' ? ? sin x
2.法则 1 法则 2

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[u( x) ? v( x)]' ? u ' ( x) ? v ' ( x) .
[u( x)v( x)]? ? u '( x)v( x) ? u( x)v '( x) , [Cu( x)]? ? Cu '( x)
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法则 3

? u ? u ' v ? uv ' (v ? 0) ? ? ? v2 ?v?

'

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3.复合函数的导数:设函数 u= ? (x)在点 x 处有导数 u′x= ? ′(x),函数 y=f(u)在点 x 的 对应点 u 处有导数 y′u=f′(u), 则复合函数 y=f( ? (x))在点 x 处也有导数, 且 y' x ? y'u ?u' x 或

f′x( ? (x))=f′(u) ? ′(x).
4.复合函数的求导法则 复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导 数
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5.复合函数求导的基本步骤是:分解——求导——相乘——回代. 6.对数函数的导数: (ln x )' ?

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1 x

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(log a x)' ?

1 log a e x

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7.引例 求函数 y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ?( x ? 100) ( x ? 100) 的导数. 分析:这里所给的函数是 100 个因式的积,对于这种结构形式的函数,直接应用乘积的导 数法则求导比较繁琐.如果先对两边取对数后再求导,就可以使问题简化,但必须注意取对数 时真数应为正实数. 解:∵ ∴

y ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3)?( x ? 100) 且 x ? 100 ,

ln y ? ln(x ? 1) ? ln(x ? 2) ? ln(x ? 3) ? ? ? ln(x ? 100) .

用心 爱心 专心

121 号编辑

1

两边对 x 求导,得

y' 1 1 1 1 , ? ? ? ??? y x ?1 x ? 2 x ? 3 x ? 100

1 1 1 1 ? ? ( x ? 1)(x ? 2)(x ? 3) ?( x ? 100) ∴ y' ? ? ? ? ??? ? ? x ? 100? ? x ?1 x ? 2 x ? 3

我们知道指数函数 y ? e x 、 y ? a x 和对数函数 y ? ln x 、 y ? loga x 互为反函数,根据这 个关系和对数函数的导数公式,我们可以得到指数函数的导数公式,不过需要用到反函数的求 导法则,这超出了我们目前的学习范围.鉴于此,我们就直接给出指数函数的求导法则. 二、讲解新课: 指数函数的导数: (e x )' ? e x
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(a x )' ? a x ln a

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这两个公式的证明需要用到反函数的求导法则,这超出了目前的学习范围,所以这里就不 再证明.只需记住它的结论,以 e 为底数的指数函数的导数是它本身,以 a 为底数的指数函数的 导数是它的本身乘以 lna 三、讲解范例:
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例1求y?e 解: y' ? 2e

2x

cos3x 的导数.

2x

cos3x ? e 2 x (?3sin 3x) ? 2e 2 x cos3x ? 3e 2 x sin 3x .

例 2 求 y ? a 的导数.
5x

解: y' ? a

5x

ln a ? 5 ? 5a 5 x ln a .

例 3 求下列函数的导数 ⑴y?e
sin x



⑵ y ? ln( 1? 2 ) ;
x

⑶ y ? (2e) ⑹y?

2x



⑷ y ? ln

2 e2x ; ⑸ y ? 10sin x ; 2x e ?1

ex ? ln 3 . x2

解:⑴ y' ? e ⑶ y' ? (2e) ⑷y?

sin x

(1 ? 2 x )' 2 x ln 2 ? ; cos x ; ⑵ y ' ? 1? 2x 1? 2x

2x

ln(2e) ? 2 ? 2(2e) 2 x (ln 2 ? 1) ;

1 e2x 1 ln 2 x ? [2 x ? ln(e 2 x ? 1)] , 2 e ?1 2
1 2 1 1 2e 2 x ? 2x [2 ? 2 x ] ? ? 2x ; 2 e ?1 2 e ?1 e ?1
2

y' ?

⑸ y' ? 10sin

x

ln10? 2 sin x ? cos x ? 10sin x ln10 ? sin 2x ;

2

用心 爱心 专心

121 号编辑

2

⑹ y' ?

e x ? x 2 ? e x ? 2 x e x ( x ? 2) ? . x4 x3
-2x

例 4 求函数 y=e sin3x 的导数. 分析: 先用积的求导法则, (uv)′=u′v+uv′, 再用复合函数的求导法则求导,y' x ? y'u ?u' x 解:y′=(e )′sin3x+e ·(sin3x)′=e (-2x)′sin3x+e cos3x(3x)′ -2x -2x -2x =-2e sin3x+3e cos3x=e (3cos3x-2sin3x)
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-2x

-2x

-2x

-2x

例 5 求 y=

e ?2 x 的导数 sin 3 x

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分析:先用商的求导法则 (

u u ?v ? uv? )? ? ,再用复合函数求导法则求导 v v2

解:y′=(

e ?2 x (e ?2 x )? sin 3x ? e ?2 x (sin 3x)? )′= sin 3 x (sin 3x) 2

?

e ?2 x (?2) sin 3x ? e ?2 x cos 3x ? 3 ? e ?2 x (2 sin 3x ? 3 cos 3x) ? sin 2 3x sin 2 3x
sinx

例 6 求 y=x 的导数. sinx 解:两边取对数.lny=lnx =sinx·lnx 两边对 x 求导

1 y? =cosx·lnx+sinx· x y sin x sin x sinx )y=(cosx·lnx+ )·x . x x
sin x

∴y′=(cosxlnx+

另解:由所给函数知 x>0 ∵y?x
sin x

? eln x

? esin x?ln x

∴y′= (e

sin x?ln x

)? ? esin x?ln x ? (sin x ? ln x)?
sin x sin x ) ? x sin x (cos x ? ln x ? ) x x

? e sin x?ln x (cos x ? ln x ?

幂指函数,可以用两种方法求导,其一,是两边取对数后再对 x 求导;其二,是把它化成 指数函数与其他函数复合. 2x 例 7 求 y=3 lg(1-cos2x)的导数. 2x x 解:y=3 lg(1-cos2x)=9 lg(1-cos2x)

lg e y′=9 ln9·lg(1-cos2x)+9 1 ? cos 2 x ·(1-cos2x)′
x x

=9 ln9·lg(1-cos2x)+9

x

x

lg e 1 ? cos 2 x sin2x·2.
用心 爱心 专心 121 号编辑 3

=9 ·ln9·lg(1-cos2x)+29 ·lge·
x x

x

x

2 sin x cos x 2 sin 2 x
x

=9 ·2ln3·lg(1-cos2x)+29 ·lge·cotx=2·9 [ln3·lg(1-cos2x)+lge·cotx] 例 8 求 y=2x
x

的导数.

解法一:两边取对数,得 lny=ln2+

x lnx.

1 1 ?1 1 两边对 x 求导 y′=( x )′lnx+ x (lnx)′= x 2 lnx+ x · 2 y x
1 ? 1 ?1 1 ?1 2 2 ? x ln x ? x ? x 2 (ln x ? 2) 2 2

1 ?1 ∴y′= x 2 (ln x ? 2) ? 2 x 2
解法二: y ? 2 x
x
x

x

?x

x?

1 2

(ln x ? 2)
.

? e ln 2 x ? e ln 2 ?

x ln x

y′= e

ln 2 ? x ln x

? ( x ln x)? ? e

ln 2 ? x ln x

1 ?1 1 ( x 2 ln x ? x ? ) 2 x

? 2x

x

1 ?1 ? x 2 (ln x ? 2) ? x 2

x?

1 2

(ln x ? 2)

点评:比较这两种方法,是不是难易程度差不多,都只要对 到这类题目,两种方法可以任选其一 四、课堂练习: 求下列函数的导数. 2 x 2 x x 2 x x 1.y=x e 解:y′=(x e )′=2xe +x e =(2+x)xe 3x 3x 3x 3x 2.y=e 解:y′=(e )′=e ·3=3e 3 x 2 x 3.y=x +3 解:y′=3x +3 ·ln3. n -x n-1 -x n -x n-1 -x 4.y=x e 解:y′=nx e +x e ·(-1)=(n-x)x e . x x x x 5.y=e sinx 解:y′=e sinx+e cosx=e (sinx+cosx)
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x lnx 求导就可以了.所以碰

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6.y=e lnx 解:y′=e lnx+e ·
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x

x

x

1 x 1 =e (lnx+ ) x x
2x+1

7.y=a

2x+1
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解:y′=a
x 2 ? x 2

2x+1

lna·2=2a

·lna

8.y=2( e

x x x ? 1 1 ?x ? e ) 解:y′=2 (e 2 ? ? e 2 ) ? e 2 ? e 2 2 2
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五、小结 :这节课主要学习了指数函数的两个求导公式.(e )′=e ,(a )′=a lna,以及它们的 应用.还有幂指函数的求导有两种方法:其一,两边取对数,再两边对 x 求导,其二是把它化成 指数函数与其他函数复合,再进行求导 六、课后作业 七、板书设计(略) 八、课后记:
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x

x

x

x

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