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导数的计算



导数的计算
1.已知函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,且满足 f(x)=2x·f′(1)+ln x,则 f′ (1)等于( ) A.-e B.-1C.1 D.e 2.设 ,若 ,则 ( )

A. B. C. D. 3.设 f(x)=xln x,若 f′(x0)=2,则 x0 的值为( ) A.e B.e C.
2

/>ln 2 D.ln 2 2


4. 设函数 f ( x), g ( x) 在 [ a, b] 上均可导, 且 f ?( x) ? g ?( x) , 则当 a ? x ? b 时, 有 ( A. f ( x) ? g ( x) B. f ( x) ? g (a) ? g ( x) ? f (a) C. f ( x) ? g ( x) D. f ( x) ? g (b) ? g ( x) ? f (b) 5.已知 f ( x) ? 3sin x ? ? x ,对任意的 x ? (0,
' '

?
2

) ,给出以下四个结论:

① f ( x) ? 0 ;② f ( x) ? 0 ;③ f ( x) ? 0 ;④ f ( x) ? 0 . 其中正确的是( ) A.①③ B.①④ C.②③ D.②④ 6.曲线 y ? x ? 11 在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是( )
3

A.﹣9 B.﹣3 C.9 D.15 7 . 设 f ( x) 、 g ( x) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x ? 0 时 ,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 且 g (3) ? 0 ,则不等式 f ( x) g ( x) ? 0 的解集是( )
A. (?3, 0) ? (3, ??) B. (?3, 0) ? (0,3) C. (??, ?3) ? (3, ??) D. (??, ?3) ? (0,3) 8 .已知函数 f ( x ) 的导函数为 f ( x) ,且满足关系式 f ( x) ? x ? 3xf (2) ? ln x ,则
' 2 '

f ' (2) 的值等于( )
A.2 B.﹣2 C. D.
' 9. 已知函数 f ( x) ? e cos x , 记 f1 (x) ?f ( x) , f2 ( x) ? f1' ( x) , f3 ( x) ? f2' ( x) ,…,

x

试卷第 1 页,总 3 页

则 fn?1 ( x) ? fn' ( x) (n ? N ? ) ,则 f 2015 ( x) ? ( ) A.2 e sinx B.﹣2 e cosx 1006 x 1007 x C.2 e (sinx﹣cosx) D.2 e (sinx+cosx) 10.设函数 f ( x ) ? A. ?
1007 x 1008 x

?
2

B.

? C.1 D.﹣1 2

x ' ? ,则 f ( ) ? ( ) sin x 2

f ( x) ?

1 x f ?(1)
x 2

12.已知 f ? ? x ? 是函数 f ? x ? 的导数, f ? x ? ? f ? ?1? ? 2 ? x , f ? ? 2? ? (



12 ? 8 ln 2 2 B. 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 4 C. D. ?2 1 ? 2 ln 2
A. 13.下列正确的是 A. ( x ? )? ? 1 ?
2

1 x

1 x2

B. ( x cos x)? ? ?2 x sin x C. (3x )? ? 3x log3 e D. (log 2 x )? ?

1 x ln 2
,( x 且) x ? 0 时 g

14 . 已 知 对 任 意 实 数 x , 有 f (? x) ? ? f ( x) , g ? ( x? )

f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 ,则 x ? 0 时(
A. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 C. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0



B. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 D. f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 )

15.已知 f ( x) ? ln x ,则 f ?(e) 的值为( A.1 B.-1 C. e D.

1 e

16.数列 ?cn ?为等比数列,其中 c1 ? 2, c8 ? 4 , f ( x) ? x( x ? c1 )(x ? c2 ) ? ? ? ( x ? c8 ) ,

f ?( x ) 为函数 f ( x) 的导函数,则 f ?(0) =
A、 0 B、 2
6

C、 2

9

D、 2

12

试卷第 2 页,总 3 页

17 .定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f (1) ? 1 ,且对任意 x ? R 都有 f ?( x) ?

1 ,则不等式 2

f ( x2 ) ?

x2 ? 1 的解集为_________. 2

18.已知函数 f ? x ? ? ax ln x, x ? ? 0, ??? ,其中 a 为实数, f ? ? x ? 为 f ? x ? 的导函数, 若 f ? ?1? ? 3 ,则 a 的值为.
x 19.设函数 f ?x ? 在 ?0,??? 内可导,且 f e ? 3 x ?

? ?

1 x e ? 1 ,则 f ??1? ? ______. 2

20. 曲线 y=xln x 在点 ( e, e) 处的切线与直线 x+ay=1 垂直, 则实数 a 的值为________. 21.设 y? 是函数 y ? ex ? e? x 的导数,则 y? ? .

f '( x0 ) ? 2 ,则 x0 ? 22.设 f ( x) ? x ln x ,若
23.已知函数 f ( x) ? cos x ? sin x ,则 f ( ) ? .
'

?

4

24.设曲线 y ?

2 ? cos x ? 在点 ( , 2) 处切线与直线 x ? ay ? 1 ? 0 垂直,则 a ? sin x 2

25.已知 y ? ( x 2 ? 1)(x ? 1) ,则 26.函数 f ( x) ?

y? x?1 ?

1? x ? ln x 的导函数是 f ?( x) ,则 f ?(1) ? ; 2x

27.函数 y ? sin(2 ? x) 导数是. 28.曲线 在点(﹣1,﹣1)处的切线方程. ) (1+ )的导数为.

29.函数 y=(1﹣ 30.函数 31.函数 y= +

的导数为. + 的导数是.

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参考答案 1.B 【解析】 试题分析:因为 ,解得 考点:导数的运算. 2.B 【解析】 试题分析:因 .故选 B. 考点:求导数并求对数方程. 3.B 【解析】 ,所以 .由 解得, ,所以 ;故选 B. ,令 ,得

1 f ' ? x? ? l n x? x? ? l n x ? 1 x 试题分析:函数求导为 , 因 为 f′ ( x0 ) = 2 , 所 以

f '? x 0? ? ln x 0 ? 1? 2? x 0 ?e
考点:导函数的计算 4.B 【解析】

,故选择 B

试题分析:根据题意有 f '( x) ? g '( x) ? 0 ,从而有 F ( x) ? f ( x)? g ( x)是减函数,故有

F (a) ? F ( x) ? F (b) ,经过整理,可知 B 是正确的,故选 B.
考点:导数的应用. 5.D 【解析】 试题分析: 由已知 f ( x) ? (3sin x ? ? x) ? 3cos x ? ? , 因为 x ? (0,
' '

?
2

), 所以 cos x ? (0,1) ,

所以 f ( x) ? 0 ,所以 f ( x ) 在 x ? (0,
'

?
2

) ,是减函数,所以 f ( x) ? f (0) ? 0 ;故②④正确;

故选 D. 考点:导数的运算. 6.C 【解析】 试题分析:∵ y ? x ? 11 ,∴ y ? 3x ,则 y
3 ' 2

'

x?1

? 3x2

x?1

? 3 ,∴曲线 y ? x3 ? 11 在点

P(1,12)处的切线方程为 y ? 12 ? 3( x ? 1) 即 3x ? y ? 9 ? 0 ,令 x ? 0 ,解得 y ? 9 ,∴曲线

y ? x3 ? 11在点 P(1,12) 处的切线与 y 轴交点的纵坐标是 9,故选 C.
答案第 1 页,总 7 页

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考点:利用导数研究曲线上某点切线方程. 7.D 【解析】 试题分析:因 f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,即 [ f ( x) g ( x)]' ? 0 ,故 f ( x) g ( x) 在 (??, 0) 上 递增,又∵ f ( x ) , g ( x) 分别是定义 R 上的奇函数和偶函数,∴ f ( x) g ( x) 为奇函数,关于 原点对称, 所以 f ( x) g ( x) 在 (0, ??) 上也是增函数. ∵ f (3) g (3) ? 0 , ∴ f (?3) g (?3) ? 0 , 所以 f ( x) g ( x) ? 0 的解集为: x ? ?3 或 0 ? x ? 3 ,故选 D. 考点: 函数奇偶性的性质;导数的运算;不等式. 8.D 【解析】
' ' 试 题 分 析 : ∵ f ( x) ? x2 ? 3xf ' (2) ? ln x , ∴ f ( x) ? 2 x ? 3 f (2) ?

1 ,令 x ? 2 ,则 x

f ' (2) ? 4 ? 3 f ' (2) ?
' 即 2 f ( x) ? ?

1 , 2

9 9 ' ,∴ f (2) ? ? .故选:D. 2 4

考点:导数的加法与减法法则. 9.A 【解析】 试题分析:∵ f ( x) ? e cos x ,
x

(e x )' ? e x , (ex )'' ? ex ,…, (e x )( n ) ? e x ,表示 e x 的 n 次导数.
cos' x ? ? sin x , cos'' x ? ? cos x ,…, cos( n ) x ? cos( x ?
∴ f1 ( x) ? f ' ( x) ? ex (cos x ? sin x) ,

n? ). 2

f2 ( x) ? f1' ( x) ? cos xex ? sin xex ? sin xex ? cos xex ? ?2ex sin x , f3 ( x) ? f2' ( x) ? ?2ex (cos x ? sin x) ,

f4 ( x) ? f3' ( x) ? ?22 ex cos x ,
f5 ( x) ? f 4' ( x) ? ?22 ex (cos x ? sin x) , f6 ( x) ? f5' ( x) ? 23 ex sin x .
… 当 n ? 2015 时, f 2015 ( x) ? f 2014' ( x) ? 21007 e x sin x .

答案第 2 页,总 7 页

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故选:A. 考点:导数的运算. 10.C 【解析】
' 试题分析:∵ f ( x) ?

sin x ? x cos x 1 ' ? ,则 f ( ) ? ? 1 ,故选:C. 2 sin x 2 1

考点: 导数的运算. 11.C 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ? 故选 C. 考点:求导公式的应用. 12.C 【解析】 试 题 分 析 : 因 为 f ? ? x ? ? f ? ?1? ? 2 ln2 ? 2 x , 所 以 f ? ?1? ? f ? ?1? ? 2ln2 ? 2 , 解 得
x

1 1 ,所以, f ?( x ) ? ? 2 ,所以, f ?(1) ? ?1 x x

f ?(1) ?

2 ,所以 1 ? 2 ln 2 2 2 4 f ?? x? ? ? 2 x ln 2 ? 2 x ,所以 f ? ? 2 ? ? ? 22 ln 2 ? 2 ? 2 ? ,故选 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2 1 ? 2 ln 2

C. 考点:导数公式的应用. 13.D 【解析】
' ' 1? 1 ? 试 题 分 析 : ? x ? ? ? 1 ? 2 , x 2 cos x ? 2 x cos x ? x 2 sin x , 3x ? 3x ln 3 , x? x ?
'

?

?

? ?

(log 2 x )? ?

1 ,故选 D. x ln 2

考点:导数的运算. 14.B 【解析】 试题分析: f (? x) ? ? f ( x), g (? x) ? g ( x) ,所以 f ? x ? 是奇函数,关于原点对称, g ? x ? 是 偶函数,关于 y 轴对称, x ? 0 时 f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 则 f ? x ? , g ? x ? 都是增函数,由对称 性可知 x ? 0 时 f ? x ? 递增, g ? x ? 递减,所以 f '( x) ? 0, g '( x) ? 0 考点:函数奇偶性单调性 15.D 【解析】
' 试题分析:? f ( x) ? ln x ,? f ( x ) ?

1 1 ' ,则 f (e) ? . x e

答案第 3 页,总 7 页

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考点:导数的计算. 16.D 【解析】 试 题 分 析 :

? c1 ? 2, c8 ? 4





c1c2 ? ? ? c8 ? 84 ? 212
'

; 则

f ' ( x) ? ( x ? c1 )(x ? c2 ) ? ? ? ( x ? c8 ) ? x?( x ? c1 )(x ? c2 ) ? ? ? ( x ? c8 )?
f ' (0) ? c1c2 ? ? ? c8 ? 212 .
考点:1.导数的运算法则;2.等比数列的性质. 17. (-1,1) 【解析】



x ?1 1?1 1 ,( g 1) ?( f 1) ? = 1 ? 1=0,? g ? ? x ?=f ? ? x ? ? . 2 2 2 1 ?g ( ? x )<0, ∵对任意 x ∈ R ,都有 f ? ? x ? < , 即 g ( x )为实数集上的减函数.不等式 2
试题分析:设 g ? x ?=f ? x ? ?

x2 ? 1 , 2 2 2 即为 g(x )>0=g(1) .则 x <1,解得-1<x<1,∴的解集为(-1,1). 考点:利用导数研究函数的单调性 18.3 【解析】 f ( x2 ) ?
因为 f ? ? x ? ? a ?1 ? ln x ? ,所以 f ? ?1? ? a ? 3 . 考点:本题主要考查导数的运算法则. 19.

7 2

【解析】
x t 3 1 试 题 分 析 : 令 t ? e , 则 x ? ln t , ? f ?t ? ? 3 ln t ? ? 1 , ? f ??t ? ? ? ,

2

t

2

1 7 ? f ??1? ? 3 ? ? . 2 2
考点:求导数值. 20. 2 【解析】 试题分析: 根据导数的几何意义,y ? ? ln x ? 1 , 当 x ? e 时,y ? ? 2 , 所以切线的斜率是 2 , 切线与直线垂直,所以直线的斜率 k ? ?

1 1 ? ? ,解得: a ? 2 a 2

考点:1.导数的几何意义;2.两直线垂直的条件.
x ?x 21. e ? e

【解析】 试题分析:因为 y ? e ? e
x ?x

,所以 y? ? e ? e (?1) ? e ? e .
x ?x x ?x

答案第 4 页,总 7 页

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考点:导数公式的应用. 22. e 【解析】 试题分析: ( x ln x)' ? ln x ? 1 ? 2 ? x ? e 考点:积的求导公式. 23.0 【解析】 试题分析: f ( x) ? cos x ? sin x ? f ' ? x ? ? ? sin x ? cos x ? f ' ? 考点:函数求导数 24.1 【解析】 试题分析: 由题意得 y? ? 处的切线的斜率

?? ? ??0 ?4?

? 2 ? cos x ?? sin x ? ? 2 ? cos x ??sin x ?? ? 1 ? 2cos x ,在点 ? ? , 2 ?
sin 2 x sin 2 x
? ?2 ? ?

k1 ?

1 ? 2 cos

?

2 ? 1. 又该切线与直线 x+ay+1=0 垂直,直线 x+ay+1=0 的斜率 k ? ? 1 , 2 ? a sin 2 2

由 k1k2 ? ?1,解得 a=1. 考点:本题考查利用导数研究曲线的切线,两直线垂直的充要条件 点评:解决本题的关键是正确求出导函数 25.4 【解析】 试题分析:因为 y ? ( x ? 1)( x ? 1) ? x ? x ? x ? 1,所以 y? ? 3x ? 2x ? 1 ,
2 3 2 2

y? |x ?1 ? 3 ? 2 ? 1 ? 4 .
考点:常见函数的导函数. 26.

1 2

【解析】 试题分析:首先对原函数 f ? x ? ?

1 1 1 1 ? ? ln x ,求导得: f ? ? x ? ? ? 2 ? ,所以: 2x 2 2x x 1 1 1 f ? ?1? ? ? ? 1 ? ,所以答案为: . 2 2 2

考点:1.函数求导;2.导数值. 27. y? ? ? cos(2 ? x) 【解析】
答案第 5 页,总 7 页

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试题分析:令 u ? 2 ? x ,则 y? |x ? y? |u ?u? |x ? [cos(2 ? x)]? (?1) ? ? cos(2 ? x) 考点:复合函数求导 28.2x﹣y+1=0. 【解析】 试题分析:先求曲线 的导数,因为函数在切点处的导数就是切线的斜率, 求出斜率,

再用点斜式写出切线方程,再化简即可. 解: 的导数为 y′= ,

∴曲线

在点(﹣1,﹣1)处的切线斜率为 2,

切线方程是 y+1=2(x+1) , 化简得,2x﹣y+1=0 故答案为:2x﹣y+1=0. 点评:本题主要考查了函数的导数与切线斜率的关系,属于导数的应用. 29. 【解析】 试题分析:利用导数的运算法则和导数公式进行求导. 解:因为 y=(1﹣ ) (1+ )=1﹣ = ,

所以



故答案为:



点评:本题主要考查导数的计算以及导数的四则运算法则,比较基础. 30. 【解析】 试题分析:根据导数的运算法则可得答案. 解:∵ ∴y'= =

故答案为: 点评:本题主要考查导数的运算法则.属基础题.求导公式一定要熟练掌握.
答案第 6 页,总 7 页

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31.﹣x ﹣4x ﹣3x . 【解析】 试题分析:利用导数的运算法则即可得出. 解:y= +
﹣1

﹣2

﹣3

﹣4

+

=x +2x +x ,
﹣2 ﹣3 ﹣2 ﹣3 ﹣4

﹣1

﹣2

﹣3

∴y′=(x +2x +x )′=﹣x ﹣4x ﹣3x . ﹣2 ﹣3 ﹣4 故答案为﹣x ﹣4x ﹣3x . 点评:熟练掌握导数的运算法则是解题的关键.

答案第 7 页,总 7 页



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