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湖北省武汉市部分学校2014-2015学年高二数学上学期期末试卷 理(含解析)



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湖北省武汉市部分学校 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷 (理 科)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和 分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则() A. p1=p2<p3 B. p2=p3<p1 C. p1=p3<p2 D. p1=p2=p3 2. (5 分)已知圆 x +y +2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是() A. ﹣10 B. ﹣8 C. ﹣4 D. ﹣2 3. (5 分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落 在以 AB 为直径的半圆内的概率是()
2 2

A.

B.

C.

D.

4. (5 分)阅读下面的程序,当 a=1,b=2 时,输出的 a 的值为()

A.

B. 1

C.

D. 2

5. (5 分)有 2 个人在一座 7 层大楼的底层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层 离开电梯是等可能的,则这 2 个人在不同层离开的概率是() A. B. C. D.

6. (5 分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天 为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 () A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 7. (5 分)6 把椅子排成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A. 144 B. 120 C. 72 D. 24

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 8. (5 分)设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常 数,i=1,2,?,10) ,则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为() A. 1+a,4 B. 1+a,4+a C. 1,4 D. 1,4+a 9. (5 分)设 m∈R,过定点 A 的运直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P (x,y) ,则|PA|?|PB|的最大值是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 10. (5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3) , 从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξ i(i=1,2) ; (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2) . 则() A. p1>p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) B. p1<p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) C. p1>p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) D. p1<p2,E(ξ 1)<E(ξ 2)

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 2 10 6 11. (5 分)在(1﹣x ) 的展开式中,x 的系数为. 12. (5 分)为了了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为. 13. (5 分)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 在 y 轴上, 且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是. 14. (5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是

15. (5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数的中位数 是 5 的概率为.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支,该公司对这些灯管的使用 寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示:

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分组 [500,900) [1500,1700) 48 121 [900,1100) [1700,1900) 208 223 [1100,1300) [1900,+∞) 193 165 [1300,1500)

频数 42 频率 (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率; (3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支,若将上述频 率作为概率,试求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率. 17. (12 分)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0) ,AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣ 6=0,点 T(﹣1,1)在 AD 边所在直线上. (Ⅰ)求 AD 边所在直线的方程; (Ⅱ)求矩形 ABCD 外接圆的方程. 18. (12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千克) 与月储蓄 y(单位: 千元) 的数据资料, 计算得 i xi=80, yi=20, xiyi=184, xi =720.
2

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程 = x+ ,并判断变量 x 与 y 之间是 正相关还是负相关; (Ⅱ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

注:线性回归方程 = x+ 中, =

,其中 , 为样本平均值.

19. (12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现 安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立. (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率; (Ⅱ)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业 可获利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望. 20. (13 分)从某企业生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图:

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(Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s (同一组中数据用该组区间 的中 点值作代表) ; 2 (Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ ,σ ) ,其中 μ 近 似为样本平均数 ,σ 近似为样本方差 s . (i)利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2) ; (ii) 某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX. 附: ≈12.2. 2 若 Z﹣N(μ ,σ )则 P(μ ﹣σ <Z<μ +σ )=0.6826,P(μ ﹣2σ <Z<μ +2σ )=0.9544. 21. (14 分)如图,已知圆 C 的圆心在直线 l:y=2x﹣4 上,半径为 1,点 A(0,3) . (Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (Ⅱ) 若圆 C 上存在点 M,使|MA|=2|MO|(O 为坐标原点) ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范 围.
2 2

2

湖北省武汉市部分学校 2014-2015 学年高二上学期期末数学试卷(理科) 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分)对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简单随机抽样、系统抽样和 分层抽样三种不同方法抽取样本时,总体中每个个体被抽中的概率分别为 p1,p2,p3,则() A. p1=p2<p3 B. p2=p3<p1 C. p1=p3<p2 D. p1=p2=p3 考点: 等可能事件的概率.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义即可得到结论. 解答: 解:根据简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的定义可知,无论哪种抽样,每个个 体被抽中的概率都是相等的, 即 P1=P2=P3, 故选:D 点评: 本题主要考查简单随机抽样、系统抽样和分层抽样的性质,比较基础. 2. (5 分)已知圆 x +y +2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4,则实数 a 的值是() A. ﹣10 B. ﹣8 C. ﹣4 D. ﹣2 考点: 专题: 分析: 解答: 直线与圆相交的性质. 直线与圆. 求出圆心和半径,根据弦长公式进行求解即可. 2 2 解:圆的标准方程为(x+1) +(y﹣1) =2﹣a, ,
2 2

则圆心坐标为(﹣1,1) ,半径 r=
2 2

∵圆 x +y +2x﹣2y+a=0 截直线 x+y+2=0 所得弦的长度为 4, ∴圆心到直线的距离 d= = ,

解得 a=﹣4, 故选:C. 点评: 本题主要考查直线和圆相交以及弦长公式的应用, 求出圆心和半径是解决本题的关 键. 3. (5 分)若将一个质点随机投入如图所示的长方形 ABCD 中,其中 AB=2,BC=1,则质点落 在以 AB 为直径的半圆内的概率是()

A.

B.

C.

D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 利用几何槪型的概率公式,求出对应的图形的面积,利用面积比即可得到结论. 解答: 解:∵AB=2,BC=1, ∴长方体的 ABCD 的面积 S=1×2=2, 圆的半径 r=1,半圆的面积 S= ,

则由几何槪型的概率公式可得质点落在以 AB 为直径的半圆内的概率是 故选:B.



文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题主要考查几何槪型的概率的计算,求出对应的图形的面积是解决本题的关键, 比较基础. 4. (5 分)阅读下面的程序,当 a=1,b=2 时,输出的 a 的值为()

A.

B. 1

C.

D. 2

考点: 顺序结构. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序,根据赋值语句的功能,按照顺序依次写出 a,b 的值即可. 解答: 解:模拟执行程序,可得 a=1,b=2 a=3,b=1 b=1,a=2 输出 a 的值为 2. 故选:D. 点评: 根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是:①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型, 又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模,本题属于基 础题. 5. (5 分)有 2 个人在一座 7 层大楼的底层进入电梯,假设每一个人自第二层开始在每一层 离开电梯是等可能的,则这 2 个人在不同层离开的概率是() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意 2 人总的下法功 36 种结果,2 人在同一层下共 6 种,故先求该事件的概率, 再由对立事件的概率可得. 解答: 解:由题意总的基本事件为:两个人各有 6 种不同的下法,故共有 36 种结果, 而两人在同一层下,共有 6 种结果, ∴两个人在同一层离开电梯的概率是 = :

所以 2 个人在不同层离开的概率为 1﹣ = 故选:D

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 点评: 本题考查等可能事件的概率,从对立事件的概率入手时解决问题的关键,属基础 题. 6. (5 分)某地区空气质量监测资料表明,一天的空气质量为优良的概率是 0.75,连续两天 为优良的概率是 0.6,已知某天的空气质量为优良,则随后一天的空气质量为优良的概率是 () A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.45 考点: 相互独立事件的概率乘法公式. 专题: 概率与统计. 分析: 设随后一天的空气质量为优良的概率为 p,则由题意可得 0.75×p=0.6,由此解得 p 的值. 解答: 解:设随后一天的空气质量为优良的概率为 p,则有题意可得 0.75×p=0.6, 解得 p=0.8, 故选:A. 点评: 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用,属于基础题. 7. (5 分)6 把椅子排成一排,3 人随机就座,任何两人不相邻的坐法种数为() A. 144 B. 120 C. 72 D. 24 考点: 计数原理的应用. 专题: 应用题;排列组合. 分析: 使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有 种,即全排,6 种;第二步,

由于三个人必须隔开,因此必须先在 1 号位置与 2 号位置之间摆放一张凳子,2 号位置与 3 号位置之间摆放一张凳子, 剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4 个空挡, 随便摆放即可, 即有 种办法.根据分步计数原理可得结论. 种,即全排,6 种;第

解答: 解:使用“插空法“.第一步,三个人先坐成一排,有

二步,由于三个人必须隔开,因此必须先在 1 号位置与 2 号位置之间摆放一张凳子,2 号位 置与 3 号位置之间摆放一张凳子, 剩余一张凳子可以选择三个人的左右共 4 个空挡, 随便摆 放即可,即有 种办法.根据分步计数原理,6×4=24.

故选:D. 点评: 本题考查排列知识的运用,考查乘法原理,先排人,再插入椅子是关键. 8. (5 分)设样本数据 x1,x2,?,x10 的均值和方差分别为 1 和 4,若 yi=xi+a(a 为非零常 数,i=1,2,?,10) ,则 y1,y2,?,y10 的均值和方差分别为() A. 1+a,4 B. 1+a,4+a C. 1,4 D. 1,4+a 考点: 极差、方差与标准差;众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 方法 1:根据变量之间均值和方差的关系直接代入即可得到结论.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 方法 2:根据均值和方差的公式计算即可得到结论. 解答: 解:方法 1:∵yi=xi+a, ∴E(yi)=E(xi)+E(a)=1+a, 方差 D(yi)=D(xi)+E(a)=4. 方法 2:由题意知 yi=xi+a, 则 =
2

(x1+x2+?+x10+10×a)=
2

(x1+x2+?+x10)= +a=1+a,
2 2

方差 s =
2

[(x1+a﹣( +a) +(x2+a﹣( +a) +?+(x10+a﹣( +a) ]=
2 2

[(x1﹣ ) +

2

(x2﹣ ) +?+(x10﹣ ) ]=s =4. 故选:A. 点评: 本题主要考查样本数据的均值和方差之间的关系,若变量 y=ax+b,则 Ey=aEx+b, 2 Dy=a Dx,利用公式比较简单或者使用均值和方差的公式进行计算. 9. (5 分)设 m∈R,过定点 A 的运直线 x+my=0 和过定点 B 的动直线 mx﹣y﹣m+3=0 交于点 P (x,y) ,则|PA|?|PB|的最大值是() A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 考点: 两点间距离公式的应用;直线的一般式方程. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 先计算出两条动直线经过的定点,即 A 和 B,注意到两条动直线相互垂直的特点, 则有 PA⊥PB;再利用基本不等式放缩即可得出|PA|?|PB|的最大值. 解答: 解:由题意可知,动直线 x+my=0 经过定点 A(0,0) , 动直线 mx﹣y﹣m+3=0 即 m(x﹣1)﹣y+3=0,经过点定点 B(1,3) , 注意到动 直线 x+my=0 和动直线 mx﹣y﹣m+3=0 始终垂直,P 又是两条直线的交点, 2 2 2 则有 PA⊥PB,∴|PA| +|PB| =|AB| =10. 故|PA|?|PB|≤ =5(当且仅当|PA|=|PB|= 时取“=”)

故选:B 点评: 本题是直线和不等式的综合考查, 特别是“两条直线相互垂直”这一特征是本题解 2 2 答的突破口,从而有|PA| +|PB| 是个定值,再由基本不等式求解得出.直线位置关系和不 等式相结合,不容易想到,是个灵活的好题. 10. (5 分)已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个蓝球(m≥3,n≥3) , 从乙盒中随机抽取 i(i=1,2)个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ξ i(i=1,2) ; (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi(i=1,2) . 则() A. p1>p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) B. p1<p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) C. p1>p2,E(ξ 1)>E(ξ 2) D. p1<p2,E(ξ 1)<E(ξ 2) 考点: 离散型随机变量的期望与方差. 专题: 概率与统计.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: 首先, 这两次先后从甲盒和乙盒中拿球是相互独立的, 然后分两种情况: 即当 ξ =1 时,有可能从乙盒中拿出一个红球放入甲盒,也可能是拿到一个蓝球放入甲盒;ξ =2 时, 则从乙盒中拿出放入甲盒的球可能是两蓝球、一红一蓝、或者两红;最后利用概率公式及分 布列知识求出 P1,P2 和 E(ξ 1) ,E(ξ 2)进行比较即可. 解答: 解析: , ,

,所以 P1>P2; 由已知 ξ 1 的取值为 1、2,ξ 2 的取值为 1、2、3, 所以, = =



E(ξ 1)﹣E(ξ 2)=



故选 A 点评: 正确理解 ξ i(i=1,2)的含义是解决本题的关键.此题也可以采用特殊值法,不 妨令 m=n=3,也可以很快求解. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. ) 2 10 6 11. (5 分)在(1﹣x ) 的展开式中,x 的系数为﹣120. 考点: 专题: 分析: 解答: 二项式系数的性质. 综合题;二项式定理. 6 利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项, 令 x 的指数为 6, 从而可求出 x 的系数. 2 10 解:根据所给的二项式(1﹣x ) ,写出展开式的通项,
r

Tr+1=(﹣1)
6

x ;

2r

要求 x 的项的系数 ∴2r=6, ∴r=3, 6 3 ∴x 的项的系数是﹣C10 =﹣120 故答案为:﹣120. 点评: 本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通 项,在 这种题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具. 12. (5 分)为了了解 1000 名学生的学习情况,采用系统抽样的方法,从中抽取容量为 40 的样本,则分段的间隔为 25.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 考点: 专题: 分析: 解答: 系统抽样方法. 概率与统计. 利用系统抽样的性质求解. 解:由已知得: =25.

分段的间隔为:

故答案为:25. 点评: 本题考查系统抽样的分段间隔的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意系统抽 样的性质的合理运用. 13. (5 分)在空间直角坐标系中,已知点 A(1,0,2) ,B(1,﹣3,1) ,点 M 在 y 轴上, 且 M 到 A 与到 B 的距离相等,则 M 的坐标是(0,﹣1,0) . 考点: 用空间向量求直线间的夹角、距离. 专题: 计算题;方程思想. 分析: 根据点 M 在 y 轴上,设出点 M 的坐标,再根据 M 到 A 与到 B 的距离相等,由空间中 两点间的距 离公式求得 AM,BM,解方程即可求得 M 的坐标. 解答: 解:设 M(0,y,0) 2 2 2 由 1 +y +4=1+(y+3) +1 可得 y=﹣1 故 M(0,﹣1,0) 故答案为: (0,﹣1,0) . 点评: 考查空间两点间的距离公式, 空间两点的距离公式和平面中的两点距离公式相比较 记忆,利于知识的系统化,属基础题. 14. (5 分)如图所示,程序框图(算法流程图)的输出结果是 55

考点: 程序框图. 专题: 算法和程序框图. 分析: 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 x,y,z 的值,当 z=55 时,不满足 条件 z≤50,退出循环,输出 z 的值为 55. 解答: 解:模拟执行程序框图,可得 x=1,y=1,z=2 满足条件 z≤50,x=1,y=2,z=3 满足条件 z≤50,x=2,y=3,z=5 满足条件 z≤50,x=3,y=5,z=8

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 满足条件 z≤50,x=5,y=8,z=13 满足条件 z≤50,x=8,y=13,z=21 满足条件 z≤50,x=13,y=21,z=34 满足条件 z≤50,x=21,y=34,z=55 不满 足条件 z≤50,退出循环,输出 z 的值为 55. 故答案为:55. 点评: 本题主要考查了程序框图和算法,正确写出每次循环得到的 x,y,z 的值是解题的 关键,属于基础题. 15. (5 分)从 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 中任取七个不同的数,则这七个数 的中位数 是 5 的概率为 .

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意知,七个数的中位数是 5,说明 5 之前 5 个数中取 3 个,5 之后 4 个数中取 3 个,根据概 率公式计算即可. 解答: 解:5 之前 5 个数中取 3 个,5 之后 4 个数中取 3 个,P= = .

故答案为: . 点评: 本题主要考查了古典概率和中位数的问题,关键是审清题意,属于基础题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (12 分)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管 1000 支,该公司对这些灯管的使用 寿命(单位:小时)进行了统计,统计结果如下表所示: 分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 (1)将各组的频率填入表中; (2)根据上述统计结果,计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率; (3)该公司某办公室新安装了这种型号的灯管 3 支,若将上述频率作为概率,试求至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率. 考点: 概率的意义;频率分布表. 专题: 概率与统计. 分析: (1)由频率= ,可得出各组的频率;

(2)要计算灯管使用寿命不足 1500 小时的频率,即计算前四个小组的频率之和; (3)恰至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时即 2 支灯管使用寿命不足 1500 小时,或 3 支灯管使用寿命超过 1500 小时,分为两种情形,最后求出它们的和即可. 解答: 解: (1)解:

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分组 [500,900) [900,1100) [1100,1300) [1300,1500) [1500,1700) [1700,1900) [1900,+∞) 频数 48 121 208 223 193 165 42 频率 0.048 0.121 0.208 0.223 0.193 0.165 0.042 (2)解:由(I)可得 0.048+0.121+0.208+0.223=0.6,所以灯管使用寿命不足 1500 小时 的频率为 0.6. (3)解:由(II)知,1 支灯管使用寿命不足 1500 小时的概率 P=0.6, 根据在 n 次独立重复试验中事件恰好发生 k 次的概率公式可得 . 所以至少有 2 支灯管的使用寿命不足 1500 小时的概率是 0.648. 点评: 本题主要考查频率分布表的计算和频数分布直方图的应用以及概率的求法, 属于基 础题. 17. (12 分)矩形 ABCD 的两条对角线相交于点 M(2,0) ,AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣ 6=0,点 T(﹣1,1)在 AD 边所在直线上. (Ⅰ)求 AD 边所在直线的方程; (Ⅱ)求矩形 ABCD 外接圆的方程. 考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 综合题. 分析: (I)由已知中 AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0,且 AD 与 AB 垂直,我们可以 求出直线 AD 的斜率,结合点 T(﹣1,1)在直线 AD 上,可得到 AD 边所在直线的点斜式方 程,进而再化为一般式方程. (II)根据矩形的性质可得矩形 ABCD 外接圆圆心即为两条对角线交点 M(2,0) ,根据(I) 中直线 AB,AD 的直线方程求出 A 点坐标,进而根据 AM 长即为圆的半径,得到矩形 ABCD 外 接圆的方程 . 解答: 解: (I)∵AB 边所在直线的方程为 x﹣3y﹣6=0,且 AD 与 AB 垂直, ∴直线 AD 的斜率为﹣3. 又∵点 T(﹣1,1)在直线 AD 上, ∴AD 边所在直线的方程为 y﹣1=﹣3(x+1) , 即 3x+y+2=0. (II)由 ,解得点 A 的坐标为(0,﹣2) ,

∵矩形 ABCD 两条对角线的交点为 M(2,0) . ∴M 为矩形 ABCD 外接圆的圆心, 2 2 2 又|AM| =(2﹣0) +(0+2) =8, ∴ . 2 2 从而矩形 ABCD 外接圆的方程为 (x﹣2) +y =8. 点评: 本题考查的知识点是直线的点斜式方程,两条直线的交点坐标,圆的标准方程,其 中(1)的关键是根据已知中 AB 边所在直线的方程及 AD 与 AB 垂直,求出直线 AD 的斜率, (2)的关键是求出 A 点坐标,进而求出圆的半径 AM 长.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 18. (12 分)从某居民区随机抽取 10 个家庭,获得第 i 个家庭的月收入 xi(单位:千克) 与月储蓄 y(单位: 千元) 的数据资料, 计算得 i xi=80, yi=20, xiyi=184, xi =720.
2

(Ⅰ)求家庭的月储蓄 y 关于月收入 x 的线性回归方程 = x+ ,并判断变量 x 与 y 之间是 正相关还是负相关; (Ⅱ)若该居民区某家庭月收入为 7 千元,预测该家庭的月储蓄.

注:线性回归方程 = x+ 中, =

,其中 , 为样本平均值.

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)由题意可知 n=10, = xi=8, = yi=2,代入可得 b 值,进而可得

a 值,可得方程,由回归方程 x 的系数 b 的正负可判; (Ⅱ)把 x=7 代入回归方程求其函数值即可. 解答: 解: (Ⅰ)由题意,n=10, = xi=8, = yi=2,

∴ =

=0.3, =2﹣0.3×8=﹣0.4,

∴ =0.3x﹣0.4, ∵0.3>0, ∴变量 x 与 y 之间是正相关; (Ⅱ)x=7 时, =0.3×7﹣0.4=1.7 千元. 点评: 本题考查线性回归方程的求解及应用,属基础题.

19. (12 分)某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为 和 .现 安排甲组研发新产品 A,乙组研发新产品 B,设甲、乙两组的研发相互独立. (Ⅰ)求至少有一种新产品研发成功的概率; (Ⅱ)若新产品 A 研发成功,预计企业可获利润 120 万元;若新产品 B 研发成功,预计企业 可获利润 100 万元,求该企业可获利润的分布列和数学期望. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计.

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com 分析: (Ⅰ)利用对立事件的概率公式,计算即可, (Ⅱ)求出企业利润的分布列,再根据数学期望公式计算即可. 解答: 解: (Ⅰ)设至少有一种新产品研发成功的事件为事件 A 且事件 B 为事件 A 的对立 事件,则事件 B 为一种新产品都没有成功, 因为甲乙研发新产品成功的概率分别为 和 . 则 P(B)= , ,

再根据对立事件的概率之间的公式可得 P(A)=1﹣P(B)= 故至少有一种新产品研发成功的概率为 .

(Ⅱ)由题可得设企业可获得利润为 X,则 X 的取值有 0,120,100,220, 由独立试验的概率计算公式可得, , , , , 所以 X 的分布列如下: X 0 120100220 P(x) 则数学期望 E(X)= =140.

点评: 本题主要考查了对立事件的概率,分布列和数学期望,培养学生的计算能力,也是 近几年 2015 届高考题目的常考的题型. 20. (13 分)从某企业 生产的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由 测量结果得如下频率分布直方图:

文档来源:弘毅教育园丁网数学第一站 www.jszybase.com (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 和样本方差 s (同一组中数据用该组区间 的中点值作代表) ; 2 (Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N(μ ,σ ) ,其中 μ 近 似为样本平均数 ,σ 近似为样本方差 s . (i)利用该正态分布,求 P(187.8<Z<212.2) ; (ii) 某用户从该企业购买了 100 件这种产品, 记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区 间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求 EX. 附: ≈12.2. 2 若 Z﹣N(μ ,σ )则 P(μ ﹣σ <Z<μ +σ )=0.6826,P(μ ﹣2σ <Z<μ +2σ )=0.9544. 考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义;离散型随机变量的期望与方差. 专题: 计算题;概率与统计. 分析: (Ⅰ)运用离散型随机变量的期望和方差公式,即可求出; (Ⅱ) (i) 由(Ⅰ)知 Z~N,从而求出 P(187.8<Z<212.2) ,注意运用所给数据; (ii)由(i)知 X~B(100,0.6826) ,运用 EX=np 即可求得. 解答: 解: (Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数 和样本方差 s 分别为: =170×0.02+180×0. 09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, 2 2 2 s =(﹣30) ×0.02+(﹣20) ×0.09+(﹣10) 2 2 2 2 ×0.22+0×0.33+10 ×0.24+20 ×0.08+30 ×0.02=150. (Ⅱ) (i)由(Ⅰ)知 Z~N,从而 P(187.8<Z<212.2)=P=0.6826; (ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.6826, 依题意知 X~B(100,0.6826) ,所以 EX=100×0.6826=68.26. 点评: 本题主要考查离散型随机变量的期望和方差, 以及正态分布的特点及概率求解, 考 查运算能力. 21. (14 分)如图,已知圆 C 的圆心在直线 l:y=2x﹣4 上,半径为 1,点 A(0,3) . (Ⅰ)若圆心 C 也在直线 y=x﹣1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (Ⅱ) 若圆 C 上存在点 M, 使|MA|=2|MO| (O 为坐标原点) , 求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
2 2 2 2

考点: 直线和圆的方程的应用. 专题: 直线与圆. 分析: (Ⅰ)求出圆心 C 的坐标,设出点 A 作圆 C 的切线方程,利用点到直线的距离等于 半径,然后求切线的方程; (Ⅱ)设出圆 C 的方程,点 M 的坐标,利用|MA|=2|MO|,求出 M 的轨迹,通过两个圆的位置 关系,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.

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解答: 解: (Ⅰ)由

,得圆心 C(3,2) ,过点 A 作圆 C 的切线斜率存在,设 A

点的圆 C 的切线的方程:y=kx+3,即 kx﹣y+3=0.由题意,

,解得 k=0,k=



所求切线方程为:y=3 或 3x+4y﹣12=0; (Ⅱ)∵圆 C 的圆心在直线 l:y=2x﹣4 上, 2 2 ∴圆 C 的方程设为: (x﹣a) +(y﹣(2a﹣4) ) =1,设 M(x,y) ,由|MA|=2|MO|,可得: ,化简可得 x +(y+1) =4,点 M 在以 D(0,﹣1)为圆心,2 为半径的圆上. 由题意,点 M(x,y)在圆上, ∴圆 C 和圆 D 有公共点,则 |2﹣1|≤|CD|≤2+1, ∴1 ﹣12a+8≥0,可得 a∈R,由 5a ﹣12a≤0,可得 0 圆心 C 的横坐标 a 的取值范围: .
2 2 2

≤3,即 1 ,

,5a

2

点评: 本题考查直线与圆的位置关系的综合应用,考查转化思想以及计算能力.



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