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人教A版数学必修二教案:§3.1.2两条直线平行与垂直的判定



§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定
一、教材分析
直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系,它们的判定,又都是由相应的斜率之间的关系来确定 的,并且研究讨论的手段和方法也相类似,因此,在教学时采用对比方法,以便弄清平行与垂直之间的联 系与区别.值得注意的是,当两条直线中有一条不存在斜率时,容易得到两条直线垂直的充要条件,这也值 得略加说明.

二、教学目标
1.知识与技能 理解并掌握两条直线平行与垂直的条件,会运用条件判定两直线是否平行或垂直. 2.过程与方法 通过探究两直线平行或垂直的条件,培养学生运用正确知识解决新问题的能力,以及数形结合能力. 3.情感、态度与价值观 通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究,培养学生的成功意识,合作交流的学习方式,激发学生 的学习兴趣.

三、教学重点与难点
教学重点:掌握两条直线平行、垂直的充要条件,并会判断两条直线是否平行、垂直. 教学难点:是斜率不存在时两直线垂直情况的讨论(公式适用的前提条件).

四、课时安排
1 课时

五、教学设计
(一)导入新课 思路 1.设问(1)平面内不重合的两条直线的位置关系有哪几种?(2)两条直线的倾斜角相等,这两条直 线是否平行?反过来是否成立?(3)“α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件?根据倾斜角和斜率的关系,能否利用斜 率来判定两条直线平行呢? 思路 2.上节课我们学习的是什么知识?想一想倾斜角具备什么条件时两条直线会平行、垂直呢?你认 为能否用斜率来判断.这节课我们就来专门来研究这个问题. (二)推进新课、新知探究、提出问题 ① 平面内不重合的两条直线的位置关系有几种? ② 两条直线的倾斜角相等,这两条直线是否平行?反过来是否成立? ③ “α=β”是“tanα=tanβ”的什么条件? ④ 两条直线的斜率相等,这两条直线是否平行?反过来是否成立? ⑤ l1∥ l2 时,k1 与 k2 满足什么关系? ⑥ l1⊥ l2 时,k1 与 k2 满足什么关系? 活动:① 教师引导得出平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交,其中垂直是相交的特例. ② 数形结合容易得出结论. ③ 注意到倾斜角是 90° 的直线没有斜率,即 tan90° 不存在. ④ 注意到倾斜角是 90° 的直线没有斜率. ⑤ 必要性:如果 l1∥ l2,如图 1 所示,它们的倾斜角相等,即 α1=α2,tanα1=tanα2,即 k1=k2.

图1 充分性:如果 k1=k2,即 tanα1=tanα2, ∵ 0°≤α1<180° ,0°≤α2<180° ,∴ α1=α2.于是 l1∥ l2. ⑥ 学生讨论,采取类比方法得出两条直线垂直的充要条件. 讨论结果:① 平面内不重合的两条直线的位置关系有平行和相交,其中垂直是相交的特例. ② 两条直线的倾斜角相等,这两条直线平行,反过来成立. ③ “α=β”是“tanα=tanβ”的充要条件. ④ 两条直线的斜率相等,这两条直线平行,反过来成立. ⑤ l1∥ l2 ? k1=k2. ⑥ l1⊥ l2 ? k1k2=-1. (三)应用示例 例 1 已知 A(2,3) ,B(-4,0) ,P(-3,1) ,Q(-1,2) ,判断直线 BA 与 PQ的位置关系,并证 明你的结论. 解:直线 BA 的斜率 kBA=

3?0 =0.5, 2 ? ( ?4)

直线 PQ 的斜率 kPQ=

2 ?1 =0.5, ? 1 ? (?3)

因为 kBA=kPQ.所以直线 BA∥ PQ. 变式训练

1 ,m)三点共线,则 m 的值为( ) 2 1 1 A. B.C.-2 2 2 1 ?2?3 m? 2 分析:kAB=kBC, ,m= . ? 1 2 3? 2 ?3 2
若 A(-2,3),B(3,-2),C( 答案:A

D.2

例 2 已知四边形 ABCD 的四个顶点分别为 A(0,0) ,B(2,-1) ,C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD 的 形状,并给出证明. 解:AB 边所在直线的斜率 kAB=-

1 , 2

1 , 2 3 BC 边所在直线的斜率 kBC= , 2 3 DA 边所在直线的斜率 kDA= . 2
CD 边所在直线的斜率 kCD=因为 kAB=kCD,kBC=kDA,所以 AB∥ CD,BC∥ DA. 因此四边形 ABCD 是平行四边形. 变式训练 直线 l1:ax+3y+1=0,l2:x+(a-2)y+a=0,它们的倾斜角及斜率依次分别为 α1,α2,k1,k2. (1)a=_____________时,α1=150° ;

(2)a=_____________时,l2⊥ x 轴; (3)a=_____________时,l1∥ l2; (4)a=_____________时,l1、l2 重合; (5)a=_____________时,l1⊥ l2. 答案: (1) 3 (2)2 (3)3 (4)-1 (5)1.5

(四)知能训练 习题 3.1 A 组 6、7. (五)拓展提升 问题:已知 P(-3,2) ,Q(3,4)及直线 ax+y+3=0.若此直线分别与 PQ 的延长线、QP 的延长线相交, 试分别求出 a 的取值范围.(图 2)

图2 解:直线 l:ax+y+3=0 是过定点 A(0,-3)的直线系,斜率为参变数-a,易知 PQ、AQ、AP、l 的斜 率分别为:kPQ=

1 7 5 ,kAQ= ,kAP= ? ,k1=-a. 3 3 3

7 1 <a<- ; 3 3 7 5 若 l 与 PQ 相交,则 k1>kAQ 或 k1<kAP,解得 a<- 或 a> ; 3 3 1 5 若 l 与 QP 的延长线相交,则 kPQ>k1>kAP,解得- <a< . 3 3
若 l 与 PQ 延长线相交,由图,可知 kPQ<k1<kAQ,解得(六)课堂小结 通过本节学习,要求大家: 1.掌握两条直线平行的充要条件,并会判断两条直线是否平行. 2.掌握两条直线垂直的充要条件,并会判断两条直线是否垂直. 3.注意解析几何思想方法的渗透,同时注意思考要严密,表述要规范,培养学生探索、概括能力. 4.认识事物之间的相互联系,用联系的观点看问题. (七)作业 习题 3.1 A 组 4、5.



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