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甘肃省金昌市第一中学2014年高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教A版选修1-1


甘肃省金昌市第一中学 2014 年高中数学 3.1.1 变化率问题教案 新人教 A 版选修 1-1
一. 设计思想: (1)用已知探究未 知的思考方法(2)用逼近的思 想 考虑问题的思考方法. 二. 教学目标 1.理解平均变化率的概念; 2.了解平均变化率的几何意义; 3.会求函数在某点处附近的平均变化率 4. 感受平均变化率广泛存在于日常生活之中,经历运用数学描述和刻画现实世界的过程,体 会数学的博大精深以及学习数学的意义。 三. 教学重点 1. 通过实例,让学生明白变化率在实际生活中的需要,探究和体验平均变化率的实际意义和 数学意义; 2. 掌握平均变化率的概念,体会逼近的思想和用逼近的思想思考问题的方法; 四. 教学难点:平均变化率的概念. 五. 教学准备 1. 认真阅读教材、教参,寻找有关资料; 2. 向有经验的同事请教; 3. 从成绩好的学生那里了解他们预习的情况和困 惑的地方. 六. 教学过程 一.创设情景 (1) 让学生阅读章引言,并思考章引言写了几层意思? (2) 学生先阅读,思考,老师再提示;①以简洁的话语指明函数和微积分的关系,微积分的研 究对象就是函数,正是对函数的深入研究导致了微积分的产 生;②从数学史的角度,概括地介绍与 微积分创 立密切相关的四类问题以及做出巨大贡献的科学家; ③概述本章的主要内容, 以及导数工 具的作用和价值. 让学生对这章书先有一个大概认识,从而使 学生学习有了方向,能更好地进行以下学习. 二.新课讲 授 (一)问题提出 问题 1 气球膨胀率问题: 老师准备了两个气球,请两位同学出来吹,请观看同学谈谈看见的情景;再请吹气球同学谈谈吹气 球过程的感受,开始与结束感受是否有区别? 我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程 ,可以发现,随着气球 内空气容量的增加,气球的半径增加 越来越慢.从数学角度,如何描述这种现象呢? 气球的体积 V(单位:L)与半径 r(单位:dm)之间的函数关系是 V ( r ) ? 如果将 半径 r 表示为体积 V 的函数,那么 r (V ) ? 3

4 3 ?r 3

3V 4?

分析: r (V ) ? 3

3V , 4?

⑴ 当 V 从 0 增加到 1 时,气球半径增加了 r (1) ? r (0) ? 0.62(dm)
1

气球的平均膨胀率为

r (1) ? r (0) ? 0.62(dm / L) 1? 0

⑵ 当 V 从 1 增加到 2 时,气球半径增加了 r (2) ? r (1) ? 0.16(dm) 气球的平均膨胀率为

r (2) ? r (1) ? 0.16(dm / L) 2 ?1
h

可以看出,随着气球体积逐渐增大,它的平均膨胀率逐渐变小了. 思考:当空气容量从 V1 增加到 V2 时 , 气球的平均膨胀率是多少 ?

r (V2 ) ? r (V1 ) V2 ? V1
问题 2 高台跳水问题: 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的 时间 t(单位:s)存在怎样的函数关系 ? o t 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位:m)与起跳后的时 间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)= -4.9t2+6.5t+10. ) 如何计算运动员的平均速度?并分别计 算0≤t≤0.5,1≤t≤2,1.8≤t≤2,2≤t≤2.2,时 间段里的平均速度. 思考计算: 0 ? t ? 0.5 和 1 ? t ? 2 的平均速度 v

h(0.5) ? h(0) ? 4.05(m / s ) ; 0 .5 ? 0 h(2) ? h(1) ? ?8.2(m / s ) 在 1 ? t ? 2 这段时间里, v ? 2 ?1 65 探究:计算运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
在 0 ? t ? 0.5 这段时间里, v ? ⑴运动员在这段时间内使静止的吗? ⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 探究过程:如图是函数 h(t)= -4.9t +6.5t+10 的图像,结合图形可知, h(
2

65 ) ? h(0) , 49

65 ) ? h(0) 49 所以 v ? ? 0( s / m) , 65 ?0 49 65 虽然运动员在 0 ? t ? 这段时间里的平均速度为 0(s / m) ,但实际情况是运动员仍然运动,并非 49 h(
静止,可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态. (1)让学生亲自计算和思考,展开讨论; (2)老师慢慢引导学生说出自己的发现,并初步修正到最终的结论上. (3)得到结论是:①平均速 度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状 态. ②需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态; (二)平均变化率概念: 引出函数平均变化率的概念.找出求函数平均变化率的步骤.

2

1.上述问题中的变化率可用式子

f ( x2 ) ? f ( x1 ) x2 ? x1 表示, 称为函数 f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率

2.若设 ?x ? x2 ? x1 , ?f ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) (这里 ?x 看作是对于 x1 的一个“增量”可用 x1+ ?x 代替 x2,同样 ?f ? ?y ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ) 3. 则平均变化率为

f ( x2 ) ? f ( x1 ) f ( x1 ? ?x) ? f ( x1 ) ?y ?f ? ? ? ?x ?x x2 ? x1 ?x
y y=f(x)

思考:观察函数 f(x)的图象

?f f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 平均变化率 表示什么? ?x x2 ? x1
(1) 师生一起讨论、分析,得出结果; (2) 计算平均变化率的步骤:①求自变量的增量Δ x=x2-x1;②求函数的增量Δ f=f(x2)-f(x1);③求平均 变化率

f(x2)

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ?f ? . ?x x2 ? x1

△y =f(x2)-f(x1) f(x1) O △x= x2-x1 x1 x2 x

注意:①Δ x 是一个整体符号,而不是Δ 与 x 相乘;② x2= x 1+Δ x;③Δ f=Δ y=y2-y1; 三.典例分析

例 1.已知函数 f(x)= ? x ? x 的图象上的一点 A(?1, ? 2) 及临近一点 B(?1 ? ?x , ? 2 ? ?y) ,
2



?y ? ?x



解: ? 2 ? ?y ? ?(?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ,



?y ? (?1 ? ?x) 2 ? (?1 ? ?x) ? 2 ? ? 3 ? ?x ?x ?x

例2. 求 y ? x 2 在 x ? x0 附近的平均变化率。 解: ?y ? ( x0 ? ?x)2 ? x0 ,所以
2

?y ( x0 ? ?x) 2 ? x0 ? ?x ?x
2

2

x ? 2 x0 ?x ? ?x 2 ? x0 ? 0 ? 2 x0 ? ?x ?x
所以 y ? x 2 在 x ? x0 附近 的平 均变化率为 2 x0 ? ?x 四.课堂练习

2

3

1.质点 运动规律为 s ? t ? 3 ,则在时间 (3 , 3 ? ?t ) 中相应的平均速度为
2
2



2.物体按照 s(t)=3t +t+4 的规律作直线运动,求在 4s 附近的平均变化率. 3 3.过曲线 y=f(x)=x 上两点 P(1,1)和 Q (1+Δ x,1+Δ y)作曲线的割线,求出当Δ x=0.1 时割线的 斜率. 五.回顾总结 让学生进行课堂小结. (1) 随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢,即随着气球体积的增大,比值 气球膨胀率越来越小; (2) 平均速度只能粗略地描述运动员的运动状态,它并不能反映某一刻的运动状态; (3) 函数的平均变化率的概念 ; (4) 求函数的平均变化率的步骤; (5) 课后思考问题:需要寻找一个量,能更精细地刻画运动员的运动状态,那么该量应如何定 义? (6) 思考问题方法:从实际生活到数学语言,数学概念. 六.补充实例 例1 在经营某商品中, 甲挣到 10 万元, 乙挣到 2 万元, 如何比较和评价甲, 乙两人的经营成果? 变式:在经营某商品中,甲用 5 年时间挣 到 10 万元,乙 用 5 个月时间挣到 2 万元,如何比较和评 价甲,乙两人的经营成果? 例2 情境:现有南京市某年 3 月和 4 月某天日最高气温记载. 时间 日最高气温 3 月 18 日 3.5℃ 4 月 18 日 18.6℃ 4 月 20 日 33.4℃

观察:3 月 18 日到 4 月 18 日与 4 月 18 日到 4 月 20 日的温度变化,用曲线图表示为:

温度T (℃)

C (34, 33.4) 30 20 10 A (1, 3.5) 2 0 2 10 20 30 34
时间 t(d)

B (32, 18.6)

4

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