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选修2—1 第二章 §2.3.1 双曲线及其标准方程(2)


高二数学 选修 2—1 第二章 § 2.3.1 双曲线及其标准方程(2)
班级

(2014/12/3)

姓名

例 3、求与两个定圆 C1 : x 2 ? y 2 ? 10x ? 24 ? 0 和圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 10x ? 24 ? 0 都外切或都内切的 动圆的圆心的轨迹方程

学习目标
1.掌握双曲线的焦点三角形; 2.掌握双曲线的标准方程的求法.

学习过程
※ 典型例题 例 1、已知直线 l1 : y ? x 与直线 l 2 : y ? ? x ,动点 P ( x, y ) 到 l1 , l 2 的距离之积等于 1,求点 P 的轨迹 方程

变式 1:点 P 与定点 F (2,0) 的距离和它到定直线 x ? 轨迹是什么图形.

1 的距离的比是 2:1,求点 P 的轨迹方程,并说明 2

2 2 变式 2:设圆 C 与两圆 (x+ 5) ? y2 ? 4, (x ? 5) ? y2 ? 4 中 的一个内切,另一个外切. (1)求 C 的圆心轨迹 L 的方程.

(2)已知点 M ( 坐标.

3 5 4 5 且 P 为 L 上动点,求 MP ? FP 的最大值及此时点 P 的 , ),F ( 5,0), 5 5

例 2、在 ?ABC 中,已知 AB ? 4 2 ,且三内角 A、B、C 满足 sinA ? sin B ? 坐标系,求顶点 C 的轨迹方程,并指明表示什么曲线.

1 sin C ,建立适当的 2

三、总结提升 ※ 学习小结 1、双曲线的定义的巩固与运用; 2、双曲线的标准方程的求解.
1

课后作业 一、基础训练题
1.双曲线方程为 x -2y =1,则它的右焦点坐标为( A.? 2 ? ? 2 ,0? B.? 5 ? ? 2 ,0? C.?
2 2

x2 y2 8.(1)已知双曲线与椭圆 + =1 有共同的焦点,且与椭圆相交,一个交点 A 的纵坐标为 4,求双曲 27 36 线的方程. D.( 3,0) ) x2 y2 5 (2)已知与双曲线 - =1 共焦点的双曲线过点 P?- ,- 6?,求该双曲线的标准方程. 16 9 ? 2 ?

)

6 ? ? 2 ,0?

2.在方程 mx2-my2=n 中,若 mn<0,则方程表示的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 3.方程 x= 3y -1所表示的曲线是( A.双曲线 B.椭圆
2

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 ) C.双曲线的一部分 B.双曲线和两条直线 D.椭圆的一部分 )

4.已知 A(0,-5),B(0,5),|PA|-|PB|=2a,当 a=3 或 5 时,P 点的轨迹为( A.双曲线和一条直线

C.双曲线的一支和一条直线 D.双曲线的一支和一条射线 2 y 5. 设 P 为双曲线 x2- =1 上的一点, F1、 F2 是该双曲线的两个焦点, 若|PF1|∶|PF2|=3∶2, 则△PF1F2 12 的面积为( ) A.6 3 B.12 C.12 3 D.24 b 6.过点(1,1)且 = 2的双曲线的标准方程为________. a x2 y2 7.已知方程 + =1 表示的图形是:(1)双曲线;(2)椭圆;(3)圆.试分别求出 k 的取值范围. 2-k k-1
2 2

二、提高训练题
x y 9.已知双曲线方程为 2- 2=1,点 A、B 在双曲线右支上,线段 AB 经过双曲线的右焦点 F2,|AB|= a b m,F1 为另一个焦点,则△ABF1 的周长为( ) A.2a+2m B.4a+2m
2 2

C.a+m

D.2a+4m

x y 10.在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 - =1 上一点 M 的横坐标是 3,则点 M 到此双曲线的 4 12 右焦点的距离为________. 11.已知圆 C 方程为(x-3)2+y2=4,定点 A(-3,0),求过定点 A 且和圆 C 外切的动圆圆心 P 的轨迹 方程.

2

选修 2—1 第二章 § 2.3.1 双曲线及其标准方程(2)参考答案
变式 2:解: (1)两圆半径都为 2,设圆 C 的半径为 R,两圆心为 F 1 (? 5, 0) 、 F 2 ( 5, 0) , 由题意得 R ?| CF 1 | ?2 ?| CF2 | ?2 或 R ?| CF2 | ?2 ?| CF 1 | ?2 ,

2-k>0, ? ? (2)方程表示椭圆需满足?k-1>0, ? ?2-k≠k-1. 3 3 即 k 的取值范围是(1, )∪ ( ,2). 2 2

3 解得 1<k<2 且 k≠ . 2

? || CF1 | ? | CF2 ||? 4 ? 2 5 ?| F1F2 | ,
x2 y 2 可知圆心 C 的轨迹是以 F 1, F 2 为焦点的双曲线,设方程为 2 ? 2 ? 1 ,则 a b

2a ? 4, a ? 2, c ? 5, b2 ? c2 ? a2 ? 1, b ? 1,所以轨迹 L 的方程为 x
2

2

4

? y 2 ? 1.

(2)∵|| MP | ? | FP ||?| MF |? 2 ,仅当 PM ? ? PF (? ? 0) 时,取"=", 由 kMF ? ?2 知直线 lMF : y ? ?2( x ? 5) ,联立

3 (3)方程表示圆需有 2-k=k-1>0,即 k= . 2 2 2 x y 8、解 (1)因为椭圆 + =1 的焦点为(0,-3),(0,3),A 点的坐标为(± 15,4), 27 36 a +b =9, ? ? y x 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0),所以?16 15 a b ? ? a2 - b2 =1,
2 2 2 ? ?a =4, y2 x2 ? 解得 2 所以所求的双曲线的标准方程为 - =1. 4 5 ? b =5, ? 2 2

x ? y 2 ? 1 并整理得 15x2 ? 32 5x ? 9 ? 0 4

6 5 2 5 解得 x ? 6 5 或 x ? 14 5 (舍去) ,此时 P( ,) 5 5 15 5
所以 || MP | ? | FP || 最大值等于 2,此时 P( 3 5 , 4 5 ) .
5 5

y2 1 1、解析:将双曲线方程化为标准形式 x2- =1,所以 a2=1,b2= , 1 2 2 ∴ c= a2+b2= 答案:C x2 y2 y2 x2 2、解析:方程可变为 - =1,又 m· n<0,∴ 又可变为 - =1. n n n n - - m m m m ∴ 方程的曲线是焦点在 y 轴上的双曲线. 答案:D 3、解析:依题意:x≥0,方程可化为:3y2-x2=1,所以方程表示双曲线的一部分.故选 C. 答案:C 4、解析:当 a=3 时,2a=6,此时|AB|=10,∴ P 的轨迹为双曲线的一支. 当 a=5 时,2a=10,此时|AB|=10,∴ P 的轨迹为射线. 答案:D 5、解析: 由已知得 2a=2,又由双曲线的定义得,|PF1|-|PF2|=2,又|PF1|∶ |PF2|=3∶ 2, ∴ |PF1|=6,|PF2|=4. 又|F1F2|=2c=2 13. 62+42-52 1 由余弦定理得 cos ∠ F1PF2= =0.∴ 三角形为直角三角形.∴ S△ PF1F2= × 6× 4=12. 2× 6× 4 2 答案:B x2 y2 6、答案: -y2=1 或 -x2=1 1 1 2 2 7、解:(1)方程表示双曲线需满足(2-k)(k-1)<0,解得 k>2 或 k<1. 即 k 的取值范围是(-∞,1)∪ (2,+∞). 6 6 ,∴ 右焦点坐标为? ,0?.故选 C. 2 ?2 ?

x2 y2 (2)已知双曲线 - =1. 16 9 据 c2=a2+b2,得 c2=a2+b2=16+9=25,∴ c=5. x2 y2 设所求双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0).依题意,c=5,∴ b2=c2-a2=25-a2, a b x2 y2 5 故双曲线方程可写为 2- =1,点 P?- ,- 6?在双曲线上, a 25-a2 ? 2 ?



?- 5?2 ? 2 ? (- 6)2
a2 - 25-a2

125 =1.化简得,4a4-129a2+125=0,解得 a2=1 或 a2= . 4

125 125 25 又当 a2= 时,b2=25-a2=25- =- <0,不合题意. 4 4 4 2 y ∴ 所求双曲线标准方程是:x2- =1. 24 9、解析:设△ ABF1 的周长为 C,则 C=|AF1|+|BF1|+|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+|AF2|+|BF2| +|AB|=(|AF1|-|AF2|)+(|BF1|-|BF2|)+2|AB|=2a+2a+2m=4a+2m. 答案: B x2 y2 10、解析:∵ - =1,∴ 当 x=3 时,y=± 15. 4 12 又∵ F2(4,0),∴ |AF2|=1,|MA|= 15,∴ |MF2|= 1+15=4. 答案:4 11、解:∵ 圆 P 与圆 C 外切,∴ |PC|=|PA|+2,即|PC|-|PA|=2, ∵ 0<|PC|-|PA|<|AC|=6, ∴ 由双曲线定义,点 P 的轨迹是以 A,C 为焦点的双曲线的左支,其中 a=1,c=3, ∴ b2=c2-a2=9-1=8, y2 故所求轨迹方程为 x2- =1(x<0). 8

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