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第三章一次函数应用



第一部分

考点研究

第三章 函 数
第二节 一次函数

一 次

考点精讲 一次 定义:如果y=kx+b(k、b为常数,且k≠0), 那么 y 叫做 x 的一次函数 . 当 b =0 时 函数 y=kx(k≠0),这时称y是x的正比例函数. 及其 正比例函数是一次函数的特殊情况 图象

性质 图象与性质 方法:待定系数法 步骤 一次函数解析式的确定




一次函数与方程(组)、不等式的关系 一次函数实际应用的一般步骤

一次函数

与坐标轴 的交点 k,b符号
图象

y=kx+b(k≠0) b - k ,0) 与x轴的交点坐标为①( _______ ; (0,b) 与y轴的交点坐标为②_______

b>0

k>0 b<0

b=0

b>0

k<0 b<0

b=0

一、 一、三、 经过象限 一、二、 三 四 三







二、 一、二、 二、三、 四 四 四



性质

增大 y随x的增大而 _______

减小 y随x的增大而⑧______

一次函数解 析式的确定

步骤

(1)设:设一次函数解析式的一般式: y=kx+b (2)代:把已知条件(关键是图象上 两个点的坐标)代入解析式得到关 于待定系数k,b的方程(组) (3)求:解方程(组),求出待定系 数k,b的值 (4)写:依据k,b值写出一次函数解析 式

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1.(2015?眉山)关于一次函数y=2x﹣1的图象,下列说法正确的是 ( B) A.图象经过第一、二、三象限 B.图象经过第一、三、四象限 C.图象经过第一、二、四象限 D.图象经过第二、三、四象限

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2.如图,该直线是某个一次函数的图象,则此函数的解析式 y=2x+2 . 为

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3.(2015?巴彦淖尔)函数y= 是 x≥0 .

的自变量x的取值范围

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考点2

一次函数的图像和性质

4.(2015?成都)一次函数y=2x+1的图象不经过( D ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

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考点3

求一次函数的解析式

5. ( 2015? 湖州)已知 y 是 x 的一次函数,当 x=3 时, y=1 ;当 x=﹣2 时 ,y=﹣4,求这个一次函数的解析式.
考点:待定系数法求一次函数解析式. 分析:一次函数解析式为y=kx+b,将x与y的两对值代入求出k与b的 值,即可确定出一次函数解析式. 解答:解:设一次函数解析式为y=kx+b,将x=3,y=1;x=﹣2, y=﹣4代入得: ,

解得:k=1,b=﹣2. 则一次函数解析式为y=x﹣2. 点评:此题考查了待定系数法求一次函数解析式,熟练掌握待定系 数法是解本题的关键.
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6.(2015?淄博)在直角坐标系中,一条直线经过A(﹣1,5),P( ﹣2,a),B(3,﹣3)三点.(1)求a的值; (2)设这条直线与y轴相交于点D,求△OPD的面积.
解答:解:(1)设直线的解析式为y=kx+b,把A(﹣1,5),B(3 ,﹣3)代入,可得: ,

解得:



所以直线解析式为:y=﹣2x+3, 把P(﹣2,a)代入y=﹣2x+3中, 得:a=7; (2)由(1)得点P的坐标为(﹣2,7), 令x=0,则y=3, 所以直线与y轴的交点坐标为(0,3), 所以△OPD的面积= . 首页 目录 尾页 点评:此题考查一次函数问题,关键是根据待定系数法解解析式.

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考点4

一次函数与方程、不等式的关系

7.(2015?淄博)一次函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象如图所示,其交 点为P(﹣2,﹣5),则不等式3x+b>ax﹣3的解集在数轴上表示正 确的是( C )

考点:一次函数与一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集. 分析:函数y=3x+b和y=ax﹣3的图象交于点P(﹣2,﹣5),求不等式3x+b>ax﹣3的解集 ,就是看函数在什么范围内y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax﹣3的图象上面. 解答:解:从图象得到,当x=﹣2时,y=3x+b的图象对应的点在函数y=ax﹣3的图象上面, ∴不等式3x+b>ax﹣3的解集为x>﹣2.故选C. 点评:本题考查了一次函数与不等式(组)的关系及数形结合思想的应用.解决此类问 题关键是仔细观察图形,注意几个关键点(交点、原点等),做到数形结合.

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8.(2015?甘南州)如图是一次函数的y=kx+b图象,则关于x的不等 式kx+b>0的解集为 x>﹣2 .

考点:一次函数与一元一次不等式. 专题:压轴题;数形结合. 分析:一次函数的y=kx+b图象经过点(﹣2,0),由函数表达式可得,kx+b>0 其实就是一次函数的函数值y>0,结合图象可以看出答案. 解答:解:由图可知:当x>﹣2时,y>0,即kx+b>0;因此kx+b>0的解集为: x>﹣2. 点评:本题考查了数形结合的数学思想,即学生利用图象解决问题的方法,这也 是一元一次不等式与一次函数知识的具体应用.易错易混点:学生往往由于不理 解不等式与一次函数的关系或者不会应用数形结合,盲目答题,造成错误.
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9.(2014广州)已知正比例函数y=kx(k<0)的图象上两点A(x1,y1 )、B(x2,y2),且x1<x2,则下列不等式中恒成立的是( A.y1+y2>0 B.y1+y2<0
C)

C.y1-y2>0
解析:∵直线y=kx的k<0,

D.y1-y2<0

∴函数值y随x的增大而减小, ∵ x 1< x 2 , ∴ y 1> y 2 , ∴y1-y2>0.
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重难点突破 一次函数的图象及性质 练习1(2015陕西)设正比例函数y=mx的图象经过点A (m,4),且y的值随x值的增大而减小,则m=( B ) A.2 B. -2 C. 4 D. -4 【解析】∵正比例函数y=mx的图象经过点A(m,4), ∴4=m2,得m=±2.∵正比例函数y的值随x值的增大而减 小,∴m<0,故m=-2.

练习2 已知某个一次函数图象经过第二、三、四象 限,点A(x1, y1)、B(x2,y2)是这个函数图象上的两点,若x1< x2,则( A ) A.y1>y2 B.y1≥y2 C. y1<y2 D. y1≤y2

【解析】由一次函数的图象经过第二、三、四象限, 可以画出草图,知道函数的图象从左往右看逐渐下降, 一次项系数为负,常数项为负,说明该一次函数当自变 量增大时,函数值减小,所以当x1<x2时,y1>y2,故选 A.

练习3 (2014娄底)一次函数y=kx-k(k<0)的图象 大致是( A )

【解析】∵一次函数y=kx-k中k<0,∴y随x的增大而 减小,即在A、D选项中选择,又∵k<0,即-k>0,∴函数 与y轴的交点在y轴正半轴,故选A.

一次函数解析式的确定(高频) 例1 (2014牡丹江)已知函数y=kx+b(k≠0)的图象与

y轴交点的纵坐标为-2,且当x=2时,y=1.那么此函数的 3 y= x-2 解析式为________.
2

练习4 (2014宜宾)如图,过A点的一次函数的图 象与正比例函数y=2x的图象相交于点B,则这个一次函 数的解析式是D ( )
A. y=2x+3 B. y=x-3

C. y=2x-3

D. y=-x+3

【解析】∵B点也在正比例函数y=2x的图象上,且横 坐标为1,∴y=2×1=2,∴B(1,2),设一次函数解析式为: y=kx+b,∵一次函数的图象过A(0,3),与正比例函数y=2x的

图象相交于点B(1,2),∴可得出方程组 k=-1 b=3,则这个一次函数的解析式为y=-x+3.

,解方程组得

一次函数的实际应用

例2 (2015陕西)胡老师计划组织朋友暑假去革命圣 地延安两日游.经了解,现有甲、乙两家旅行社比较合适, 报价均为每人640元,且提供的服务完全相同.针对组团两 日游的游客,甲旅行社表示,每人都按八五折收费;乙旅 行社表示,若人数不超过20人,每人都按九折收费,超过 20人,则超出部分每人按七五折收费.假设组团参加甲、乙 两家旅行社两日游的人数均为x人. (1)请分别写出甲、乙两家旅行社收取组团两日游的 总费用y(元)与x(人)之间的函数关系式;
(2)若胡老师组团参加两日游的人数共有32人,请你 通过计算,在甲、乙两家旅行社中,帮助胡老师选择收取 总费用较少的一家.

(1)【信息梳理】甲、乙两家旅行社报价均为每人 640元,且组团参加甲、乙两家旅行社两日游的人数均为 x人,总费用为y元. 原题信息 一 甲旅行社每人都按八五折收费 整理后的信息 y=640×0.85x

乙旅行社表示,若人数不超 当x≤20时, y=640×0.9x; 二 过20人,每人都按九折收费, 超过20人,则超出部分每人 当x>20时, 按七五折收费 y=640×0.9×20+640× 0.75(x-20) 根据所得信息列出关系式:①甲旅行社:y=544x;②乙 旅行社:当x≤20时,y=576x;当x>20时,y=480x+1920 解:甲旅行社:y=640×0.85x=544x. 乙旅行社:当x≤20时,y=640×0.9x=576x; 当x>20时,y=640×0.9×20+640×0.75(x-20) =480x+1920.

(2)【思路分析】将x=32分别代入甲、乙两旅 行社对应的总费用与人数的函数关系式中,计算 出费用,进行比较,即可选出费用较少的旅行社. 解:甲旅行社:当x=32时,y=544×32=17408. 乙旅行社:∵32>20, ∴当x=32时,y=480×32+1920=17280. ∵17408>17280, ∴胡老师应选择乙旅行社. 注:在(1)中乙旅行社的函数关系式中自变量x 的范围只要含有x≤20,x>20即可(如写成0<x≤20 与x>20,1≤x≤20与x>20或1<x≤20与x>20均可).

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17. (2012广州)某城市居民用水实行阶梯收费,每户

每月用水量如果未超过20吨,按每吨1.9元收费.如果超
过20吨,未超过的部分按每吨1.9元收费,超过的部分按

每吨2.8元收费.设某户每月用水量为x吨,应收水费为y
元.

(1)分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨,y与x
间的函数关系式. (2)若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元,求该户 5月份用水多少吨?
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