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反函数和反三角函数(最新)


反函数和反三角函数 一、反函数 二、反三角函数

一、反函数

二、反三角函数
1.反正弦函数 arcsin x
2.反余弦函数

arccos x

3.反正切函数 arctan x
4.反余切函数 arc cot x

(1)什么样的函数有反函数?

一一对应函数有反函数
(2)互为反函数图象之间有什么关系 (3)正弦函数y=sinx ,余弦函数y=cosx, 正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗? 没有,因为他不是一一对应函数 ? ? (4)正弦函数y=sinx在 [ ? , ] 上有反函数吗? 2 2 余弦函数y=cosx在[0,π] 上有反函数吗?

关于直线y=x对称

正切函数y=tanx在 ( ?

? ?

, )上有反函数吗? 2 2

正弦函数 y ? sin x( x ? R) 有反函数吗? 没有,因为他不是一一对应函数,同一个三角函数值会对应 y 许多角。
?

?
2

1 o
-1
?
2

-2?

· ·
-?

?

· · · · 4?
2? 3?

x

? ? 正弦函数 y ? sin x( x ? [? , ]) 有反函数吗? 2 2
有,因为它是一一对应函数,
同一个三角函数值只对应一个角。

1.反正弦函数

? ? (1)定义:正弦函数 y ? sin x( x ? [? , ]) 的反函数 2 2
叫反正弦函数,记作 x ? arcsin y

习惯记作 y

? arcsin x

? ? x ? [?1,1], y ? [? , ] 2 2 若x ? a ?[?1,1], 有y ? arcsin a,
这里的“ arc sin a ”是一个角的符号.

理解和掌握 arcsin a( a ① arcsin a 表示一个角

?

? 1) 符号

? ? ?? ②这个角的范围是 ? ? , ? ? 2 2?

? ? ?? 即arcsin a ? ? ? , ? . ? 2 2?

1] 的图象 (2)反正弦函数 y ? arcsin x, x ? [?1,

与性质:
①定义域:[-1,1]。
2 2 ③单调性: 是增函数。

②值域: [ ?

? ?
,

]
y
y ? arcsin x, x ? [?1,1], y ? [?

? ?

④奇函数 ⑤有界函数

? 2

2

, ] 2 2

1.5

1

?
-3 -2

?
2

0.5

-1
-1 -0.5

y ? sin x, x ? [?

? ?
3

o
?

, ], y ? [?1,1] 2 2

1

1

? 2

2

x

-1

y?x

-1.5

?
2

-2

(3)熟记特殊值的反正弦函数值

? ? ? (1) arcsin1 ? ______(2) arcsin(?1) ? ______ 2 2 ? 1 0 (3) arcsin 0 ? ______(4) arcsin ? ______ 6 2 ? ? 1 ? 2 6 (5) arcsin(? ) ? ______(6) arcsin ? ________ 4 2 2 2 ?? 3 ? (7) arcsin(? ) ? ________(8) arcsin ? ______ 4 3 2 2 ? 3 ? (9) arcsin(? ) ? ________ 3 2

(4)已知三角函数值求角
只有正弦函数主值区间 反正弦表示
2

[?

? ?

, ] 上的角才能用 2 2

a
F

x4

x3

-2

?

? 2

O

E

x=?

1

? 2

2

x1
arcsina

x2

y ? sin x, x ? [?

? ?

, ] 2 2

-2

例1:判断下列各式是否正确?并简述理由。
3 ? (1) arcsin ? 2 3
(2) arcsin

对 错
?
2 (k ? Z )
? ?1 3

?
3

?

3 2

(3) arcsin1 ? 2k? ?




? arcsin1 ? 2
?

(4) arcsin(? ) ? ? arcsin 3 3

?

?

?
3

? ?1

总结 y

? arcsin x, x ? [?1, 1] y ? [ ? 2 , 2 ]

? ?

余弦函数

y ? cos x( x ? R) 有反函数吗?
1

没有,因为他不是一一对应函数,同一个三角函数值会对应 y 许多角。

-2?

· ·
-?

o
-1

?

· · · · 4?
2? 3?

x

余弦函数

y ? cos x( x ?[0, ? ])

有反函数吗?

有,因为它是一一对应函数,
同一个三角函数值只对应一个角。

2.反余弦函数

(1)定义:余弦函数 y ? cos x( x ?[0, ? ]) 的反函数 叫反余弦函数,记作 x ? arccos y (本义反函数) 习惯记作 y

? arccos x (矫正反函数)

x ?[?1,1], y ?[0, ? ] 若x ? a ?[?1,1], 有y ? arccos a,
这里的“ arccos a ”是一个角的符号.

理解和掌握 arccos( a


? 1) 符号

arccos a 表示一个角

?

②这个角的范围是

?0, ? ?

即arccos ??0, ? ?.

1] 的图 (2)反余弦函数 y ? arccos x, x ? [?1, 象与性质

①定义域: [-1,1]。 ②值域: [0,π]。
③单调性: 是减函数。
-4 -3 -2 -1

y
5 4.5 4 3.5 3

y=arccosx,x∈[-1,1] y∈[0,π]

?
o

2.5

2

1.5

1

0.5

π 1
1 2 3 4

④有界函数

-1

-0.5

x

-1

y=cosx,x∈[0,π]

y?x

y∈[-1,1]

(3)熟记特殊值的反正弦函数值

0 (1) arccos1 ? ______(2) arccos(?1) ? ______ ? ? 1 (3) arccos 0 ? ______(4) arccos ? ______ 3 2 2 2? ? 1 2 3 (5) arccos(? ) ? ______(6) arccos ? ________ 4 2 2 3? 2 3 ? (7) arccos(? ) ? ________(8) arccos ? ______ 4 6 2 2 5? 3 (9) arccos(? ) ? ________ 6 2

?

(4)已知三角函数值求角
只有余弦函数主值区 间[0,π]上的角才能 用反余弦表示
2

a
-2

y ? cos x, x ? [0, ? ]
F O

x1

π
2

x E1

x2

x3

-arccosa
arccosa

-2

2π-arccosa
2π+arccosa

例题:判断下列各式是否正确?并简述理由。
1 ? (1) arccos ? 2 3 ? 1 (2) arccos ? 3 2
(3) arccos 0 ? 2k? ?



?
2 (k ? Z )
? ?1 3



(4) arccos( ? ) ? ? ? arccos 3 3

?

?



?

?
3

? ?1

总结

y ? arccos x, x ? [?1, 1]

y ? [0,π]。

正切函数 许多角。

没有,因为他不是一一对应函数,同一个三角函数值会对应

? y ? tan x( x ? k? ? , k ? z ) 2

有反函数吗?

?

? 2

? 2

? ? 正切函数 y ? tan x, x ? (? , ) 有反函数吗? 2 2

有,因为它是一一对应函数,

同一个三角函数值只对应一个角。

3.反正切函数

(1)定义:正切函数 习惯记作 y

叫反正切函数,记作 x ? arctan y (本义反函数)

? ? y ? tan x( x ? (? , ) 2 2

的反函数

? ? x ? R, y ? ( ? , ) 2 2 若x ? a ? R, 有y ? arctan a,

? arctan x (矫正反函数)

这里的“ arctan a ”是一个角的符号.

理解和掌握

arctan a(a ? R)

符号

① arctan a 表示一个角
②这个角的范围是 ( ?

?

? ?

, ) 2 2

即 arctan a ? (?

? ?

, ). 2 2

(2)反正切函数y=arctanx,x∈R的图象与性质

①定义域R
②值域: ( ?

? ?

, ) 2 2
3 2.5

y ? tan x, x ? (? y?R
? 2

? ?

, ) 2 2

③单调性:
是增函数

2

1.5

1

0.5

④奇函数 ⑤有界函数

-4

-3

-2

?

? 2

-1

1

-0.5

? 2

2

3

4

-1

-1.5

y ? arctan x, x ? R, y ? (?

? ?

-2

?

y?x

, ) 2 2

? 2

-2.5

-3

(3)熟记特殊值的反正切函数值

? ? ? 4 4 (1)arctan1 ? ______(2)arctan( ?1) ? ______ ? 0 (3)arctan 0 ? ______(4)arctan 3 ? ______ 3 ? ? 3 ? (5)arctan(? 3) ? ______(6)arctan ? ________ 3 6 3 ? ? 3 (7)arctan(? ) ? ________ 6 3

4.反余切函数(类似前三种函数的理论)

y ? arc cot x, x ? (0, ?)

5

6.


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