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直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用



21 直线的斜截式方程“y=kx+b”在定点问题中的应用
定点问题是解析几何研究的重要问题之一,是动中有静的辩证思想在数学中的重要体 现,也是高考数学科解析几何命题的重要内容之一,也无疑是高中数学教学的难点所在.为 此, 寻求对此类问题有效的解法势在必然.诚然,解决此类具体问题的解法多样灵活,但在的教 学实践中,多样的解法时常带给学生的困惑是如何作出切实可行的选择?笔者

认为,直线的斜 截式方程“y=kx+b”能有效地解决这一类问题,达到多题一解之目的.以下例析,供参考. 原理分析:利用“y=kx+b”研究定点问题的关键在于 k,b 线性关系的寻求,通常将 b 表 示成 k 的线性关系即可, 如 b=pk+q (其中 p, q 为常数) , 由此可得直线 y=kx+b 必过定点 (-p, q). 例 1:已知 C(x0, y0) 为抛物线 y2=2px(p>0)上的一个定点, A(x1, y1)、B(x2, y2)为其上的的 任意两点,CA⊥CB. 求证:直线 AB 过定点(2p+ x0,- y0). 证明: (1)当 AB⊥x 轴时,A(2p+ x0, 此时, CA =(2p,
2 2 2 4 p 2 ? y0 ),B (2p+ x0, - 4 p ? y0 ),

??? ?

??? ? 2 2 2 4 p 2 ? y0 - y0), CB =(2p, - 4 p ? y0 - y0),

??? ? ??? ? 2 2 ? ? 4 p 2 ? y0 CA? CB = 4 p 2 ? y0 ? ? 0 ,所以,CA⊥CB.反之亦然;
(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y=kx+b(k≠0),则

? y ? kx ? b, 2 2 2 消去 y,得 k x ? (2kb ? 2 p) x ? b ? 0 , ? 2 ? y ? 2 px.
消去 x,得 ky ? 2 py ? 2 pb ? 0 ,
2

在直线 y=kx+b 与抛物线相交的前提下,则

x1 ? x2 ?
??? ?

b2 ?2kb ? 2 p 2p 2 pb x x ? , , y1 ? y2 ? , y1 y2 ? , 1 2 2 2 k k k k
??? ?

由 CA ? ( x1 ? x0 , y1 ? y0 ) , CB ? ( x2 ? x0 , y2 ? y0 ) ,

??? ? ??? ? CA? CB = ( x1 ? x0 )( x2 ? x0 ) ? ( y1 ? y0 )( y2 ? y0 )
= x1 x2 ? x0 ( x1 ? x2 ) ? x0 ? y1 y2 ? y0 ( y1 ? y2 ) ? y0
2 2

=

b2 ?2kb ? 2 p 2 pb 2p 2 2 ? x0 ? ? x0 ? ? y0 ? ? y0 =0, 2 2 k k k k

化简并整理,得 b ? 2kbx0 ? 2 px0 ? k x0 ? 2 pbk ? 2 pky0 ? k y0 ? 0 ,??①
2 2 2 2 2

以 b 为主元整理,得 b ? (2kx0 ? 2 pk )b ? ?k x0 ? 2 px0 ? 2 pky0 ? k y0 ,
2 2 2 2 2

配方,得 [b ? (kx0 ? pk )] ? ?k x0 ? 2 px0 ? 2 pky0 ? k y0 ? k x0 ? p k ? 2 pk x0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

又因为 y0 ? 2 px0 ,
2

所以, [b ? (kx0 ? pk )] ? y0 ? 2 pky0 ? p k ? ( y0 ? pk ) ,??②
2 2 2 2 2

则 b ? (kx0 ? pk ) ? ?( y0 ? pk ) , 当 b ? (kx0 ? pk ) ? y0 ? pk 时, b ? ?kx0 ? y0 ,此时 y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,不合题意; 当 b ? (kx0 ? pk ) ? ?( y0 ? pk ) 时, b ? ?kx0 ? y0 ? 2 pk , 此时 y ? kx ? (?kx0 ? y0 ? 2 pk ) ? k ( x ? x0 ? 2 p) ? y0 ,即

y ? y0 ? k[ x ? ( x0 ? 2 p)] ,所以直线 AB 过点(2p+ x0,- y0).
综上,直线 AB 过定点(2p+ x0,- y0). 解题感悟:客观的讲,进行至②式,对 k, b 关系的揭示有些看不清,没有好的思路,一 时不知如何因式分解?想到了主元思想,先以 k 为主元尝试,感觉复杂就放弃了,再以 b 为主元进行尝试,结果较顺利,取得了成功!因此,在复杂多变量的多项式面前,要突出以 某个变量为主线的主元思想,往往能使分解变形顺利实现,突破解题瓶颈.

x2 y 2 例 2:设椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右顶点为 Q(a, 0) ,A(x1, y1)、B(x2, y2)为其上的 a b
任意两点,且 QA⊥QB. 求证:直线 AB 过定点. 证明: (1)当 AB⊥x 轴时,由

y ? x ? a, ? 2 2 2 3 2 2 消去 y,得 (a ? b ) x ? 2a x ? a c ? 0 , ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b .
显然 ax1 ?

? ac 2 ? a 2c 2 ac 2 ,0? . x ? , 解得 , 故 AB 过点 ? 2 1 2 2 2 2 2 a ?b a ?b ? a ?b ?

(2)当 AB 与 x 轴不垂直时,设 AB 的方程为 y=kx+m(k≠0),则

y ? kx ? b, ? 2 2 2 2 2 2 2 2 2 消去 y,得 (b ? a k ) x ? 2kma x ? a m ? a b ? 0 , ? 2 2 2 2 2 2 b x ? a y ? a b . ?
消去 x,得 (b ? a k ) y ? 2mb y ? m b ? a b k ? 0 ,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

在直线 y=kx+m 与抛物线相交的前提下,则

x1 ? x2 ?

?2kma 2 b2 ? a 2 k 2



x1 x2 ?

a 2 m 2 ? a 2b 2 b2 ? a 2k 2



y1 ? y2 ?

2mb 2 b2 ? a 2 k 2



m 2b 2 ? a 2b 2 k 2 , y1 y2 ? b2 ? a 2 k 2
由 QA ? ( x1 ? a, y1 ) , QB ? ( x2 ? a, y2 ) ,

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? QA? QB = ( x1 ? a)( x2 ? a) ? y1 y2 ? x1 x2 ? a( x1 ? x2 ) ? a 2 ? y1 y2
=

a 2 m 2 ? a 2b 2 ?2kma 2 m 2b 2 ? a 2b 2 k 2 ? a ? ? ? a2 ? 0 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b ?a k b ?a k b ?a k
2 2 2 3 2 2 2 4 2

化简并整理,得 (a ? b )m ? 2ka m ? a b k ? a k ? 0 ,即

(a 2 ? b2 )m2 ? 2ka3m ? a 2c 2 k 2 ? 0 , ? ? 4k 2 a 6 ? 4(a 2 ? b2 )a 2c 2 k 2 ? 4k 2 a 2b4 ,

?2ka3 ? 2kab 2 ?ka 3 ? kab 2 ?ka 3 ? kab 2 ? ?ka ,或 m ? 解得 m ? ,即 m ? , 2(a 2 ? b 2 ) a 2 ? b2 a 2 ? b2
当 m ? ?ka ,y=kx+m= y=(kx-a),不合题意; 当m ?

? ? ka 3 ? kab 2 a 3 ? ab 2 ? ?ka 3 ? kab 2 y ? kx ? m ? kx ? ? k x ? 时, ? ? a 2 ? b2 a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 ?
=k? x?

? ?

ac 2 ? ?, a 2 ? b2 ?

? ? ac 2 ? ac 2 ? y ? k x ? ,0? . 即直线 AB 的方程为 ,所以直线 AB 经过定点 ? 2 ? 2 2 ? 2 a ?b ? ? ? a ?b ?
综上, 直线 AB 恒过定点 ?
2

? ac 2 ? ,0? . 2 2 ? a ?b ?
2 2 3 2 2 2

解题感悟:对于方程 (a ? b )m ? 2ka m ? a c k ? 0 根的求解,没有一味的拘泥于

十字相乘法,而是选择先求判别式,在用求根公式求解,收到了很好的效果.由此可见,平时教学 中一味强调十字相乘法的重要性不能过于绝对,数学解题方法的优劣之分往往取决于它的应 用时机是否合适. 例 3: 已知椭圆 C:

x2 M, N 为椭圆 C 上的两个动点, 且 MN⊥x ? y 2 ? 1 的右焦点为 F, 2

轴,直线 MF 与椭圆的另一个交点为 Q. 求证:直线 NQ 恒过 x 轴上一定点. 证明:∵F(1,0),设 M ? x1 , ? y1 ? , N ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,NQ: y ? kx ? b ,

? y ? kx ? b ? 由 ? x2 ,消去 y,得 2 ? ? y ?1 ?2

?1 ? 2k ? x
2

2

? 4kbx ? 2b 2 ? 2 ? 0 ,

?4kb ∴ x1 ? x2 ? ??①, 1 ? 2k 2
由 M,F,Q 三点共线,得

2b 2 ? 2 ??②, x1 ? x2 ? 1 ? 2k 2

2 y12 y2 ? y1 y ? ,即 ? 2 ,两边平方,得 ( x1 ? 1) 2 ( x2 ? 1) 2 x1 ? 1 x2 ? 1

2 y12 ( x2 ? 1) 2 ? y2 ( x1 ? 1) 2 ,

将 y1 ? 2 ? x1 , y2 ? 2 ? x2 代入上式并化简,得 3( x1 ? x2 ) ? 4 ? 2 x1 x2 ,
2 2 2 2

?4kb 2b 2 ? 2 ? 4 ? 2? 再将①,②代入,得 3 ? , 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
整理,得 2k ? 3kb ? b ? 0 ,即 (2k ? b)(k ? b) ? 0 ,解得 b ? ?k 或 b ? ?2k ,
2 2

当 b ? ?k 时, y ? kx ? b ? k ( x ? 1) ,不合题意; 当 b ? ?2k 时, y ? kx ? b ? k ( x ? 2) ,故直线 NQ 过 x 轴上的定点(2,0). 解题感悟:对于三点共线所得关系“

? y1 y ? 2 ”的平方转化是利用椭圆方程等价 x1 ? 1 x2 ? 1

转化的关键,进而消元得到关于“ x1 ? x2 ”与“ x1 x2 ”的关系后整体突破.

例 4:【2011 山东文】在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C :

x2 ? y 2 ? 1 .如图所示, 3

斜率为 k (k>0) 且不过原点的直线 l 交椭圆 C 于 A , 线段 AB 的中点为 E , 射线 OE B 两点, 交椭圆 C 于点 G ,交直线 x ? ?3 于点 D(?3, m) . (Ⅰ)求 m2 ? k 2 的最小值; (Ⅱ)若 OG ? OD ? OE . (i)求证:直线 l 过定点; (ii)试问点 B , G 能否关于 x 轴对称?若能,求出此时 ? ABG 的外接圆方程;若不 能,请说明理由. 【解析】 (Ⅰ)(略); (Ⅱ) (i)由题意:设直线 l : y ? kx ? n(n ? 0) ,
2

D G -3 E

y

A

l

B

O

x

? y ? kx ? n ? 2 2 2 由 ? x2 消 y 得: (1 ? 3k ) x ? 6knx ? 3n ? 3 ? 0 , 2 ? ? y ?1 ?3
设 A ( x1 , y1 ) 、B ( x2 , y2 ) ,AB 的中点 E ( x0 , y0 ) ,则由韦达定理,得

?6kn ?3kn ?3kn n ,即 x0 ? , y0 ? kx0 ? n ? , ?k ? n ? 2 2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 1 ? 3k 2 ?3kn n 所以中点 E 的坐标为 E ( , ), 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 1 m 1 因为 O、E、D 三点在同一直线上,所以 kOE ? KOD ,即 ? ? ? ,解得 m ? , 3k 3 k
x1 ? x2 =
由 OG ? OD ? OE ,得
2 xG ? ?3x0 ?
2

mn n 9kn 2 , yG ? my0 ? , ? 2 2 1 ? 3k k (1 ? 3k 2 ) 1 ? 3k x2 ? y 2 ? 1 化简并整理,得 3

将 ? xG , yG ? 代入

3kn n ? ? 1 ,即 3k 3 ? 3k 2 n ? k ? n ? 0 , (k ? n)(3k 2 ? 1) ? 0 , 2 2 1 ? 3k k ?1 ? 3k ?
所以,k=n, 故直线 l 的方程为 y=kx+k,即有 y=k(x+1),令 x ? ?1 得,y=0,与实数 k 无关,所以直线 l 过定

点(-1,0). (ii)(略). 解题感悟: 对于条件 “ OG ? OD ? OE ” 的应用要通过 “化曲为直” 来实现对 ? xG , yG ?
2

的求解,进而利用其在椭圆上的关系求解. 例 5:【2007 年全国卷】已知椭圆 C 的中心在坐标原点,焦点在 x 轴上,椭圆 C 上的点 到焦点距离的最大值为 3 ,最小值为 1 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A , ( A,B 不是左右顶点) , 且以 AB B 两点 为直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标. 解: (Ⅰ)由题意设椭圆的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

a ? c ? 3, a ? c ? 1 , a ? 2, c ? 1, b 2 ? 3

x2 y 2 ? ? ? 1. 4 3
? y ? kx ? m ? (Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) ,由 ? x 2 y 2 得 ?1 ? ? 3 ?4

(3 ? 4k 2 ) x 2 ? 8mkx ? 4(m2 ? 3) ? 0 , ? ? 64m2 k 2 ? 16(3 ? 4k 2 )(m2 ? 3) ? 0 , 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 .

x1 ? x2 ? ?

8mk 4(m2 ? 3) , x ? x ? . 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3(m2 ? 4k 2 ) . 3 ? 4k 2

y1 ? y2 ? (kx1 ? m) ? (kx2 ? m) ? k 2 x1 x2 ? mk ( x1 ? x2 ) ? m 2 ?

?以 AB 为直径的圆过椭圆的右顶点 D(2, 0), k AD ? kBD ? ?1 ,
? y1 y ? 2 ? ?1, y1 y2 ? x1 x2 ? 2( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 , x1 ? 2 x2 ? 2

3(m2 ? 4k 2 ) 4(m2 ? 3) 16mk ? ? ?4?0, 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2

7m2 ? 16mk ? 4k 2 ? 0 ,解得

m1 ? ?2k , m2 ? ?

2k ,且满足 3 ? 4k 2 ? m2 ? 0 . 7

当 m ? ?2k 时, l : y ? k ( x ? 2) ,直线过定点 (2, 0), 与已知矛盾;

2k 2 2 时, l : y ? k ( x ? ) ,直线过定点 ( , 0). 7 7 7 2 综上可知,直线 l 过定点,定点坐标为 ( , 0). 7
当m ? ? 由此可见,直线的斜截式方程“y=kx+b”在研究直线过定点的问题中有着十分重要的作 用,恰当应用能切实有效地解决这类问题.当然,在具体应用中要根据不同的问题,切实有 效的把握主元思想、化曲为直、平方转化、公式转化及整体转化等数学思想方法,有针对性 地解决解题过程中的难点,实现彻底有效的解题.



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