8-4空间直线

8.4 空间直线
8.4.1 8.4.2 8.4.3 空间直线的方程 两直线的夹角、直线与平面的夹角 平面束方程

20-1

8.4.1

空间直线的方程

(一)直线的一般方程

空间直线 L 可视为两个相交平面的交线(图 8-4-1)．如果两个相
交平面的方程分别为
A1x ? B1 y ? C1z ? D1 ? 0

和

A2 x ? B 2 y ? C2 z ? D2 ? 0 ，
? A1 x ? B 1 y ? C1z ? D1 ? 0, ? ? A2 x ? B 2 y ? C2 z ? D2 ? 0.

则直线 L 的方程为 (8.4.1)

式 (8.4.1)称为空间直线 L 的一般方程．
20-2

(二 )直线的对称式方程和参数方程
定义 8.4.1 称平行于空间直线 L 的非零向量 s 为直线 L 的方向向量．
注：直线的方向向量平行于该直线上的所有向量，且方向向量不唯一．

设空间直线 L 经过已知点 M0 ( x0 ,y0 ,z0 ) ，且方向向量为 s ? {m,n,p} ,
?????? 则点 M ( x，y，z) 在直线 L 上的充分必要条件是 M 0 M ∥ s(图 8-4-2)．

?????? 又 M 0 M ? ? x ? x0 , y ? y0 ,z ? z0 ? ，从而有

x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? ． m n p

（8.4.2）

方程 (8.4.2)称为直线 L 的对称式方程(或 点向式方程)．
20-3

如果设
x ? x0 y ? y0 z ? z0 ? ? ?t， m n p

则有
? x ? x0 ? mt , ? ? y ? y0 ? nt , ? z ? z ? pt. 0 ?

(8.4.3)

式(8.4.3)称为直线 L 的参数方程．

20-4

例 8.4.1 设有两点 M1 (1,0, ? 1) 和 M 2 (2,1, ?3) ， 求过 M1, M 2 的直线方 程，及此直线与平面 2x ? y ? z ? 2 ? 0 的交点．

解

?????? ? 因为点 M1, M 2 在直线上，所以可取方向向量 s ? M 1M 2 ? {1,1, ?2} ，

故所求直线的对称式方程为
x ?1 y z ?1 ? ? ． 1 1 ?2

? x ? 1 ? t, ? 其参数方程为 ? y ? t , 代入平面方程 2x ? y ? z ? 2 ? 0 整理得 ? z ? ?1 ? 2t. ? 5t ? 5 ? 0 ，即 t ? ?1 ，

将 t ? ?1代回参数方程得交点为 (0, ?1,1) ．
20-5

一般地，过不同两点 M1( x1, y1, z1 ), M 2 ( x2 , y2 , z2 ) 的直线 L 的方向 向量可取
?????? ? s ? M 1M 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1} ，

因此直线 L 的对称式方程为
x ? x1 y ? y1 z ? z1 ? ? ． x2 ? x1 y2 ? y1 z2 ? z1

(8.4.4)

方程 (8.4.4)也称为直线 L 的两点式方程．

20-6

例 8.4.2

用对称式方程及参数方程表示直线
?2 x ? 3 y ? z ? 5 ? 0, L:? ? x ? 2 y ? z ? 2 ? 0.

(8.4.5)

解 令 x ? 1 ，并代人 (8.4.5)式解得 y ? 0, z ? 3 ，则点 M 0 (1, 0,3) 在直线 L 上．又因为 L 的方向向量 s 垂直于两平面的法向量 n1 ? {2, ?3,1} 和
i j k
n2 ? {1, 2, ?1}，故可取 s ? n1 ? n2 ? 2 ?3 1 ? {1,3,7} ， 所以直线 L 的 1 2 ?1 x ?1 y z ? 3 对称式方程为 ， ? ? 1 3 7 ? x ? 1 ? t, ? 进而得直线 L 的参数方程为 ? y ? 3t , ? z ? 3 ? 7t. ?
20-7

8.4.2

两直线的夹角、直线与平面的夹角
两直线的方向向量的夹角(规定不取钝角)称为两直线

定义 8.4.2 的夹角．

设直线 L1 和 L2 的方向向量分别为 s1 ? {m1,n1,p1} 和 s2 ? {m2 ,n2 ,p2} ，

? 为直线 L1 和 L2 的夹角，则

? ? arccos

s1· s2 | m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 | ? arccos ． 2 2 2 2 2 2 |s1||s2 | m1 ? n1 ? p1 m2 ? n2 ? p2

(8.4.6)

20-8

特别地，当? ? 0 时，称直线 L1 和 L2 平行，记为 Ll∥L2． 当? ?

?
2

时，称直线 L1 和 L2 垂直，记为 L1⊥L2．

由此可得：

⑴ 直线 L1⊥直线 L2 的充分必要条件为
m1m2 ? n1n2 ? p1 p2 ? 0 ．

⑵ 直线 Ll∥直线 L2 的充分必要条件为
m1 n1 p1 ? ? ． m2 n2 p2

20-9

例 8.4.3

一直线与三个坐标轴的夹角分别为? , ? , ? ，证明：

sin2 ? ? sin2 ? ? sin2 ? ? 2 ．
} 取 x 轴、y 轴、z 轴的方向向量 证 设直线 L 的方向向量 s ? {m , n , p ，

分别为 i = {1,0,0} , j = {0,1,0}, k = {0,0,1}，则
cos? ? m m ?n ? p
2 2 2

， cos ? ?
p

n m ?n ? p
2 2 2

，

cos ? ?

m ?n ? p
2 2

2

．

由于 cos2 ? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1， 故有

sin2 ? ? sin2 ? ? sin2 ? ? 2 ．
20-10

定义 8.4.2 直线 L 的方向向量与平面 π 的法向量夹角(规定不取钝角 ) 的余角称为直线 L 与平面 π 的夹角．
设直线 L 与平面 π 的夹角为? ，直线 L 的方向向量 s 与平面 π 的 法向量 n 的夹角为 θ，则? ?

?
2

? ? (图 8-4-3)．

设 s ? {m,n,p} ， n ? {A,B,C}，从而有
s· n ? ? arc sin ，即 | s || n |

? ? arc sin

| Am ? Bn ? Cp | m ?n ? p
2 2 2

A ? B ?C
2 2

2

．

（8.4.7)
20-11

当 ? ? 0 ，即? ? 当? ?

?
2

时，称直线 L 与平面 π 平行，记为 L∥π．

?
2

，即? ? 0 时，称直线 L 与平面 π 垂直，记为 L⊥π．

并由此可得：
⑴ 直线 L⊥平面 π 的充分必要条件为
A B C ? ? ． m n p

⑵ 直线 L∥平面 π 的充分必要条件为
Am ? Bn ? Cp ? 0 ．

20-12

定义 8.4.3

如果直线 L 与平面 π 不垂直，就称过直线 L 且与平面 π

垂直的平面为直线 L 对于平面 π 的投影平面．并称直线 L 对于平面 π

的投影平面与平面 π 的交线为直线 L 在平面 π 上的投影直线 (图 8-4-3 中 L? )．

如果直线 L 与平面 π 垂直．就称直线 L 与平面 π 的交点为直线 L 在平面 π 上的 投影点．

20-13

例 8.4.4 设有直线 L :

x ?1 y ? 2 z ? 3 和平面? :3x ? 2 y ? 2z ? 1 ? 0 ， ? ? 2 ?1 2

则直线 L 与平面 π 的位置关系为（ (A) L 在 π 上 (C) L⊥ π

） ．

(B) L∥ π，但 L 不在 π 上 (D)L 与 π 相交于一点，但不垂直

答案 选(B)．
解 由题意知 s ? {2, ?1,2} , n ? {3,2, ?2}，有
s ? n ? 2 ? 3 ? (－ 1) ? 2 ? 2 ? (－2) ? 0 ，

所以 L∥ π．

又点 (1, ?2,3) 在直线 L 上，而不在平面 π 上，故 L 不在 π 上．
20-14

例 8.4.5 求过点 P(2, ?1， 且与直线 L1 : 2) ， 直线 L 的方程．

x ?1 y z ? 3 垂直相交的 ? ? ?2 3 1

由题意知，平面 π 的法 解 先过点 P(2, ?1， 2) 作平面 π 垂直于直线 L1． 向量 n 可取直线 L1 的方向向量 s ? {?2， 3， 1} ，所以平面 π 的方程为
?2( x ? 2) ? 3( y ? 1) ? ( z ? 2) ? 0 ，即 2 x ? 3 y ? z ? 5 ? 0 ．
? x ?1 y z ? 3 ? ? , ? 进而联立方程组 ? ?2 3 求得直线 L1 与平面 π 的交点 1 ? ?2 x ? 3 y ? z ? 5 ? 0,

点 P,Q 在直线 L 上， ， 0, ?3) ，点 Q 即为直线 L1 和直线 L 的交点． 为 Q(1 由直线的两点式方程得 L 的方程为
x ? 2 y ?1 z ? 2 ． ? ? ?1 1 ?5
20-15

8.4.3

平面束方程
过直线 L 的全体平面称为过直线 L 的平面束．

定义 8.4.4

设直线 L 的一般方程为
? A1 x ? B 1 y ? C1z ? D1 ? 0, ? ? A2 x ? B 2 y ? C2 z ? D2 ? 0.

(8.4.8)

其中 A1, B1, C1 与 A2 , B2 , C2 不成比例．作含有参数 ? , ? 的方程

?( A1x ? B1 y ? C1z ? D1) ? ?( A2 x ? B 2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0 ,
其中参数 ? , ? 为不同时为零的常数．

(8.4.9)

可以证明，当 ? , ? 的取值任意变化时，由式(8.4.9)可得过直线 L 的任一平面方程，所以式 (8.4.9) 为过直线 L 的平面束方程．
20-16

有时设含有一个参数 ? 的方程
A1x ? B1 y ? C1z ? D1 ? ? ( A2 x ? B 2 y ? C2 z ? D2 ) ? 0

(8.4.10)

为过直线 L 的平面束方程．
实际上，式 (8.4.10)是少了一个平面 A2 x ? B 2 y ? C2 z ? D2 ? 0 的直 线 L 的平面束方程．
在不影响问题求解的前提下，利用式 (8.4.10)，往往使得问题求 解更加简便．

20-17

?x ? y ? z ?1 ? 0 例 8.4.6 求直线 L: ? 与平面 π: x ? y ? z ? 0 的夹角? ?x ? y ? z ? 1 ? 0

以及直线 L 在平面 π 上的投影直线 L1 的方程．

解 先求直线 L 与平面 π 的夹角? ．
直线 L 的方向向量 s 可取
i s?1 j 1 k ?1 ? ?2 j ? 2k ? {0, ?2, ?2} ， 1

1 ?1

又平面 π 的法向量 n={1,1,1}，由 (8.4.7)式得

? ? arcsin

| 0 ?1 ? (?2) ?1 ? (?2) ?1| 02 ? (?2)2 ? (?2)2 12 ? 12 ? 12

? arcsin

6 ． 3
20-18

（续解）下面求直线 L 在平面 π 上的投影直线 L1 的方程．
关键在于求出过直线 L 且与平面 π 垂直的平面 π1 的方程．
显然平面 x ? y ? z ? 1 ? 0 不与平面 π 垂直，因此平面 π1 应包含 在如下过直线 L 的平面束中
x ? y ? z ? 1 ? ? ( x ? y ? z ? 1) ? 0 ．

整理得

(1 ? ? ) x ? (1 ? ? ) y ? (? ? 1)z? (? ? 1) ? 0 ，

其中 λ 为待定常数．

上述平面的法向量为{1 ? ?,1 ? ?, ? ? 1}．要求平面 π1，使之垂直 于平面 π，就是要确定常数 λ 使得两平面的法向量垂直，
20-19

（续解 1）由
(1 ? ? ) ?1 ? (1 ? ? ) ?1 ? (? ? 1) ?1 ? 0 , 得 ? ? ?1 ．

因此平面 π1 的方程为 y ? z ? 1 ? 0 ，所以所求投影直线 L1 的方程为
? x ? y ? z ? 0, ? ? y ? z ? 1 ? 0.

1 1 注： 本例中， 平面 π1 的方程也可通过直线 L 与平面? 的交点 (0, , ? ) 2 2

以及平面 π1 的法向量 n1 ? s ? n = {0, ?2,2} ，由点法式方程求得，结果 完全一样．
20-20