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高中数学竞赛讲座 15函数方程



竞赛讲座 15 -函数方程
一、相关知识 函数方程 f ( x) ? f (? x) 的解是

函数方程 f ( x) ? f ( x ? a) (a ? 0) 的解是

二、函数方程的题型 许多函数方程的解决仅以初等数学为工具, 解法富于技巧, 对人类的智慧具有明显的挑 战 意味,因此,函数方程是数学竞赛中一种常见的题型。 1、

确定函数的形式 尚无一般解法,需因题而异,其解是多样的:有无限多解的,有有限个解的,有可能无 解(如:方程 f 2 ( x) ? f 2 (? x) ? 1 ? 0 无解) 。 2、确定函数的性质 3、确定函数值 三、求函数的解析式 1、换元法

例题 1、设函数 f ( x) 满足条件 3 f ( x ? 1) ? 2 f (1 ? x) ? 2 x ,求 f ( x) 。

例题 2、 设函数 f ( x) 定义于实数集 R ,且 f ( x) 满足条件 f ( x) ? xf (1 ? x) ? 1 ? x ,求
f ( x) 。

1? ?ex1? :函数 f ( x) 在 x ? 0 处没有定义,但对所有非零实数 x 有: f ( x) ? 2 f ? ? ? ? 3x ,求 ? x?
f ( x) 。
答案: f ( x) ?

2 ? x2 x

?ex2?:求满足条件 x 2 f ( x) ? f (1 ? x) ? 2x ? x 4 的 f ( x) 。
2、赋值法

例题 1、设函数 f ( x) 定义于实数集 R 上,且 f (0) ? 1 ,若对于任意实数 m 、 n ,都有:
f (m ? n) ? f (m) ? n(2m ? n ? 1) ,求 f ( x) 。

例题 2、设函数 f ( x) 定义于自然数集 N 上,且 f (1) ? 1 ,若对于任意自然数 x 、 y ,都
有: f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ? xy ,求 f ( x) 。

四、究函数的性质

? 例题、设函数 f ( x) 定义于 R 上,且函数 f ( x) 不恒为零, f ( ) ? 0 ,若对于任意实数 x 、 2 x? y x? y y ,恒有: f ( x) ? f ( y ) ? 2 f ( )? f ( )。 2 2
① 求证: f ( x ? 2? ) ? f ( x) ② 求证: f ( x) ? f (? x) ③ 求证: f (2 x) ? 2 f ( x) ? 1
2

?ex3? :若对常数 m 和任意 x ,等式 f ( x ? m) ? 1 ? f ( x) 都成立,求证:函数 f ( x) 是周期
1 ? f ( x)
函数。

?ex4?:设函数 f ( x) 定义于实数集 R 上,函数 f ( x) 不恒为零,且对于任意实数 x1 、 x2 ,
都有: f (2 x1 ) ? f (2 x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ,求证: f ( x) ? f (? x) 。



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