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2015年高考数学二轮微专题3:三角恒等变换与解三角形(word解析版)


微专题 3
[真题感悟]

三角恒等变换与解三角形

1. (2013· 湖南卷改编)在锐角△ABC 中, 角 A, B 所对的边长分别为 a, b, 若 2asin B= 3b,则角 A 等于________. 解析 在△ABC 中,利用正弦定理得

3 3sin Asin B= 3sin B,∴sin A= 2 . π 又 A 为锐角,∴A= . 3 答案 π 3

π? 4 π? ? ? 2.(2012· 江苏卷)设 α 为锐角,若 cos?α+6?=5,则 sin?2α+12?的值为________. ? ? ? ? 解析 π? π? π? 24 7 ? ? ? 由条件可得 cos?2α+3?=2ccs2?α+6?-1=25,sin?2α+3?=25, ? ? ? ? ? ?

π? π? π? ?? ? 2α+3?- ? 所以 sin?2α+12?=sin?? ? 4? ? ? ?? 2?24 7 ? 17 2 = 2 ?25-25?= 50 . ? ? 答案 17 2 50

b a 3.(2010· 江苏卷)在锐角三角形 ABC 中,A、B、C 的对边分别为 a、b、c,a+b tan C tan C =6cos C,则 tan A+ tan B=________. 解析
2 a2+b2-c2 2 b a 2 2, 2 2 2 3c a +b = 2 . a+b=6cos C?6abcos C=a +b 6ab· 2ab =a +b ,

tan C tan C sin C cos Bsin A+sin Bcos A sin C sin?A+B? + = · = tan A tan B cos C sin Asin B cos C · sin Asin B = 1 sin2C 1 c2 · 由正弦定理得:上式= cos C sin Asin B cos C· ab=4. 答案 4

4.(2013· 福建卷)如图,在△ABC 中,已知点 D 在 BC 边上,AD⊥AC,sin∠BAC 2 2 = 3 ,AB=3 2,AD=3,则 BD 的长为______.
1

解析

π sin∠BAC=sin(2+∠BAD)=cos∠BAD,

2 2 ∴cos∠BAD= 3 . 2 2 BD2=AB2+AD2-2AB· ADcos∠BAD=(3 2)2+32-2×3 2×3× 3 =3,即 BD= 3. 答案 [考题分析] 高考对本内容的考查主要有: (1)两角和(差)的正弦、余弦及正切是 C 级要求,二倍角的正弦、余弦及正切 是 B 级要求,应用时要适当选择公式,灵活应用. (2)正弦定理、余弦定理及其应用,要求是 B 级,能够应用定理实现三角形中 边和角的转化,以及应用定理解决实际问题. 试题类型一般是填空题,同时在解答题中与三角函数、向量等综合考查,构 成中档题. 3

2


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