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高考数学第一轮复习教案 专题2函数概念与基本初等函数



高考数学第一轮复习教案汇总【精华】

专题二

函数概念与基本初等函数

一、考试内容: 映射、函数、函数的单调性、奇偶性. 反函数.互为反函数的函数图像间的关系. 指数概念的扩充.有理指数幂的运算性质.指数函数. 对数.对数的运算性质.对数函数. 函数的应用. 二、考试要求: (1)了解映射的概念,理解函数的概念. (

2)了解函数单调性、奇偶性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性、奇偶性的方法. (3)了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系,会求一些简单函数的反函数. (4) 理解分数指数幂的概念, 掌握有理指数幂的运算性质, 掌握指数函数的概念、 图像 和 性质. (5)理解对数的概念,掌握对数的运算性质;掌握对数函数的概念、图像和性质. (6)能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题. 三、命题热点 分析近几年的高考试题, 可以发现函数是高考数学的重点内容之一, 函数的观点和思想 方法贯穿整个高中数学的全过程,包括解决几何问题.在近几年的高考试卷中,一般以选择 题和填空题的形式考查函数的性质、函数与方程、基本初等函数等,以解答题的形式与导数 交汇在一起考查函数的定义域、单调性以及函数与不等式、函数与方程等知识.其中函数与 方程思想、数形结合思想等都是考考查的热点。选择题、填空题、解答题三种题型中每年都 有函数试题,而且常考常新.以基本函数为模型的应用题和综合题是高考命题的新趋势。 2012 年高考热点主要有:①考查函数的表示法、定义域、值域、单调性、奇偶性、反 函数和函数的图象.②函数与方程、不等式、数列是相互关联的概念,通过对实际问题的抽 象分析,建立相应的函数模型并用来解决问题,是考试的热点.③考查运用函数的思想来观 察问题、分析问题和解决问题,渗透数形结合和分类讨论的基本数学思想. 四、知识回顾 (一)本章知识网络结构:

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定义域 定 义 对应法则 值域 映 射 函 数 性 质 奇偶性

区间

一元二次函数 一元二次不等式

指 数 函 数

根式

分数指数 指数方程 对数方程 对数的性质

指数函数的图像和性质

单调性 周期性 对数 积、商、幂与 根的对数 对数恒等式 和不等式 常用对数 自然对数 对数函数的图像和性质

反 函 数

互为反函数的 函数图像关系

对 数 函 数

(二)考点总结 (1)函数 1.了解构成函数的要素,了解映射的概念,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的三种表示法:解析法、图象法和列表法,能根据不同的要求选择恰当的方法 表示简单的函数. 3.了解分段函数,能用分段函数来解决一些简单的数学问题. 4.理解函数的单调性,会讨论和证明一些简单的函数的单调性;理解函数奇偶性的含义, 会判断简单的函数奇偶性. 5.理解函数的最大(小)值及其几何意义,并能求出一些简单的函数的最大(小)值 6.会运用函数图像理解和研究函数的性质. (2)指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,会求与指数函数性质有关的问题. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. (3)对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对 数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念;会求与对数函数性质有关的问题. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数 与对数函数 互为反函数. (4)幂函数 1.了解幂函数的概念. 2.结合函数 的图像,了解它们的变化情况. (5)函数与方程 1.了解函数零点的概念,结合二次函数的图像,了解函数的零点与方程根的联系. 2.理解并掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法。能利用函数的图象和性质判别 函数零点的个数. (6)函数模型及其应用

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1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征。知道直线上升、指数增长、对数增长 等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的 函数模型)的广泛应用. 3.能利用给定的函数模型解决简单的实际问题. (三)知识要点回顾 (一)映射与函数 (1)映射与一一映射 (2)函数 函数三要素是定义域,对应法则和值域,而定义域和对应法则是起决定作用的要素,因 为这二者确定后, 值域也就相应得到确定, 因此只有定义域和对应法则二者完全相同的函数 才是同一函数. (3)反函数 反函数的定义 设函数 y ? f ( x)(x ? A) 的值域是 C,根据这个函数中 x,y 的关系,用 y 把 x 表 示出,得到 x= ? (y). 若对于 y 在 C 中的任何一个值,通过 x= ? (y),x 在 A 中都有唯一 的值和它对应, 那么, ? (y)就表示 y 是自变量, 是自变量 y 的函数, x= x 这样的函数 x= ? (y) ?1 (y ? C)叫做函数 y ? f ( x)(x ? A) 的反函数,记作 x ? f ( y) ,习惯上改写成

y ? f ?1 ( x)

(二)函数的性质 函数的单调性 定义:对于函数 f(x)的定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 x1,x2, ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2),则说 f(x)在这个区间上是增函数; ?若当 x1<x2 时,都有 f(x1)>f(x2),则说 f(x) 在这个区间上是减函数. 若函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,则就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格 的)单调性,这一区间叫做函数 y=f(x)的单调区间.此时也说函数是这一区间上的单调函数. .函数的奇偶性

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正确理解奇、偶函数的定义。必须把握好两个问题: (1)定义域在数轴上关于原点对称是函数 f (x ) 为奇 函数或偶函数的必要不充分条件; (2) f (? x) ? f ( x) 或 f (? x) ? ? f ( x) 是定义域上的恒等式。 2.奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数 的图象关于 y 轴成轴对称图形。反之亦真,因此,也 可以利用函数图象的对称性去判断函数的奇偶性。 3.奇函数在对称区间同增同减;偶函数在对称区间增 减性相反. 4. 如果 f (x) 是偶函数, f ( x) ? f (| x |) , 则 反之亦成立。 x ? 0 时有意义,则 f (0) ? 0 。 若奇函数在
7. 奇函数,偶函数: ?偶函数: f (? x) ? f ( x) 设( a, b )为偶函数上一点,则( ? a, b )也是图象上一点. 偶函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于 y 轴对称,例如: y ? x 2 ? 1 在 [1,?1) 上不是偶函数. ②满足 f (? x) ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时, ?奇函数: f (? x) ? ? f ( x) 设( a, b )为奇函数上一点,则( ? a ,?b )也是图象上一点. 奇函数的判定:两个条件同时满足 ①定义域一定要关于原点对称,例如: y ? x 3 在 [1,?1) 上不是奇函数. ②满足 f (? x) ? ? f ( x) ,或 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,若 f ( x ) ? 0 时,
y轴对称 8. 对称变换:①y = f(x) ??? ? y ? f(? x) ?

f ( x) ? 1. f ( ?x )

f ( x) ? ?1 . f ( ?x )

x轴对称 ②y =f(x) ??? ? y ? ? f(x) ?

③y =f(x) ?原点对称 ? y ? ? f(? x) ?? ? 9. 判断函数单调性(定义)作差法:对带根号的一定要分子有理化,例如: (x1 ? x 2)x1 ? x 2 ) ( 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? x 2 ?b 2 ? x 2 ?b 2 ? 1 2 2 x x ? b 2 ? x1 ? b 2 在进行讨论. 10. 外层函数的定义域是内层函数的值域. 例如:已知函数 f(x)= 1+

集合 B 之间的关系是 B ? A . 解:f (x) 的值域是 f ( f ( x)) 的定义域 B ,f (x) 的值域 ? R , B? R , A ? ?x | x ? 1? , B ? A . 故 而 故 11. 常用变换: ① f ( x ? y ) ? f ( x) f ( y ) ? f ( x ? y ) ?
f ( x) . f ( y)

x 的定义域为 A,函数 f[f(x)]的定义域是 B,则集合 A 与 1? x

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证: f ( x ? y ) ?
x y

f ( y) ? f ( x) ? f [( x ? y ) ? y ] ? f ( x ? y ) f ( y ) f ( x)

② f ( ) ? f ( x) ? f ( y ) ? f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y ) 证: f ( x) ? f ( ? y ) ? f ( ) ? f ( y ) 12. ?熟悉常用函数图象: 例: y ? 2 → | x | 关于 y 轴对称.
| x|



x y

x y

?1? y?? ? ? 2?
y

| x ? 2|

?1? ?1? →y ?? ? →y?? ? 2? ? ? 2?


| x|

| x ? 2|

y

y

(0,1)
x

(-2,1)
x

x



y ?| 2 x 2 ? 2 x ? 1 | → | y | 关于 x 轴对称.

y

x

?熟悉分式图象:
2x ? 1 7 ? 2? ? 定义域 {x | x ? 3, x ? R} , x ?3 x ?3 值域 { y | y ? 2, y ? R} →值域 ? x 前的系数之比.

例: y ?



y

(三)指数函数与对数函数
x 指数函数 y ? a (a ? 0且a ? 1) 的图象和性质
2 x 3

a>1
4.5

0<a<1
4.5
4

图 象

4

3.5

3.5

3

3

2.5

2.5

2

2

1.5

1.5

1

y=1
1 0.5

y=1

0.5

-4

-3

-2

-1

1

2

3

4

-4
-0.5

-3

-2

-1

1

2

3

4

-0.5

-1

-1

(1)定义域:R 性 质 (2)值域: (0,+∞) (3)过定点(0,1) ,即 x=0 时,y=1 (4)x>0 时,y>1;x<0 时,0<y<1 (5)在 R 上是增函数 对数运算: (4)x>0 时,0<y<1;x<0 时,y>1. (5)在 R 上是减函数

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loga ( M ? N ) ? loga M ? loga N (1) loga M ? loga M ? loga N N 1 loga M n logb N logb a

loga M n ? n loga ?? M ?12) loga n M ? a log a
N

?N

换底公式: a N ? log

推论: a b ? logb c ? logc a ? 1 log ? loga1 a2 ? loga 2 a3 ? ... ? loga n ?1 an ? loga1 an
(以上 M ? 0, N ? 0, a

? 0, a ? 1, b ? 0, b ? 1, c ? 0, c ? 1,a1 , a 2 ...a n ? 0且 ? 1 )

注?:当 a, b ? 0 时, log(a ? b) ? log(?a) ? log(?b) . ?:当 M ? 0 时,取“+” ,当 n 是偶数时且 M ? 0 时, M n ? 0 ,而 M ? 0 ,故取“—”.
2 例如: loga x ? 2 loga x ? (2 loga x 中 x>0 而 loga x 2 中 x∈R).

对数函数 y=logax 的图象和性质:

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五、典型例题
a>1
y

0<a<1
y=logax a>1

图 象

O

x

x=1

a<1

(1)定义域: (0,+∞) (2)值域:R 性 质 (3)过点(1,0) ,即当 x=1 时,y=0 (4) x ? (0,1) 时 y ? 0 x ? (1,??) 时 y>0 (5)在(0,+∞)上是增函数 题型 1:函数及其表示? -x2-3x+4 1.函数 y= 的定义域为________________. x 2 ? ?-x -3x+4≥0, 解析 由题意得? 因此-4≤x≤1 且 x≠0. 答案 [-4,0)∪(0,1] ? ?x≠0, 1 2.下列函数中,与函数 y= 有相同定义域的是________. x 1 ①f(x)=ln x ②f(x)= ③f(x)=|x| ④f(x)=ex x 1 1 解析 y= 定义域为(0,+∞),f(x)=ln x 定义域为(0,+∞),f(x)= 定义域为{x|x≠0}. x x x f(x)=|x|定义域为 R,f(x)=e 定义域为 R 答案 ① ?log2x, x>0, ? 1 3.已知函数 f(x)=? x 若 f(a)= ,则 a=________. 2 ? ?2 , x≤0. 1 1 - 解析 当 a>0 时, 2a= , log ∴a= 2, a≤0 时, a= =2 1, 当 2 ∴a=-1.∴a=-1 或 2. 2 2 答案 -1 或 2 4.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy(x,y∈R),f(1)=2, 则 f(-3)=________. 解析 f(1)=f(0+1)=f(0)+f(1)+2×0×1 =f(0)+f(1),∴f(0)=0. f(0)=f(-1+1)=f(-1)+f(1)+2×(-1)×1 =f(-1)+f(1)-2,∴f(-1)=0. f(-1)=f(-2+1)=f(-2)+f(1)+2×(-2)×1 =f(-2)+f(1)-4,∴f(-2)=2. f(-2)=f(-3+1)=f(-3)+f(1)+2×(-3)×1 =f(-3)+f(1)-6,∴f(-3)=6.
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x ? (0,1) 时

y?0

x ? (1,??) 时 y ? 0

在(0,+∞)上是减函数

答案 6 2 ?1-x?=1-x ,则 f(x)的解析式为__________. 5.已知 f? ? ?1+x? 1+x2 ?1-t?2 1-? ? 1-x 1-t ?1+t? 2t 解析 令 t= ,则 x= ,因此 f(t)= = 2, 1+x 1+t ?1-t?2 1+t 1+? ? ?1+t? 2x 2x 因此 f(x)的解析式为 f(x)= . 答案 f(x)= 1+x2 1+x2 6.定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且 f(x)= ?1 (-1<x≤0) ? ? ,则 f(3)=________. ? ?-1 (0<x≤1) 解析 f(3)=f(2+1)=-f(2)=-f(1+1)=f(1)=-1. 答案 -1 7.已知函数 φ(x)=f(x)+g(x),其中 f(x)是 x 的正比例函数,g(x)是 x 1 的反比例函数,且 φ?3?=16,φ(1)=8,则 φ(x)=____________. ? ? n n 解析 设 f(x)=mx (m 是非零常数),g(x)= (n 是非零常数),则 φ(x)=mx+ , x x 1? 由 φ?3?=16,φ(1)=8, ? ?16=1m+3n ? ? ?m=3 5 5 3 得? ,解得? . 故 φ(x)=3x+ . 答案 3x+ x x ?n=5 ? ?8=m+n ? 8.如右图所示,在直角坐标系的第一象限内,△AOB 是边 长为 2 的等边三角形,设直线 x=t (0≤t≤2)截这个三角形可得位于此直线 左方的图形的面积为 f(t), 则函数 y=f(t)的图象(如下图所示)大致是 (填序号).

解析 首先求出该函数的解析式. 当 0≤t≤1 时,如下图甲所示, 3 有 f(t)=S△MON= t2. 2 当 1≤t<2 时,如下图乙所示,

有 f(t)=S△AOB-S△MNB=-

3 (2-t)2+ 3, 2
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? 3 2 (0 ? t ? 1) ? t ? 2 ? f (t ) ? ? . ?? 3 (t ? 2) 2 ? 3 (1 ? t ? 2) ? 2 ?
答案 ④ 9.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点, 如果函数 f(x)的图象恰好通过 n(n∈N*)个整点,则称函数 f(x)为 n 阶整点函数.有下列函 数: 1 ①f(x)=sin 2x;②g(x)=x3;③h(x)=( )x; 3 ④φ(x)=ln x,其中是一阶整点函数的是____________________________________. 解析 对于函数 f(x)=sin 2x,它只通过一个整点(0,0),故它是一阶整点函数;对于函数 g(x)=x3,当 x∈Z 时,一定有 g(x)=x3∈Z,即函数 g(x)=x3 通过无数个整点,它不是一 1 阶整点函数;对于函数 h(x)=( )x,当 x=0,-1,-2,?时,h(x)都是整数,故函数 h(x) 3 通过无数个整点,它不是一阶整点函数;对于函数 φ(x)=ln x,它只通过一个整点(1,0), 故它是一阶整点函数. 答案 ①④ 10. (1)已知 f(x)的定义域是[0,4],求 ①f(x2)的定义域; ②f(x+1)+f(x-1)的定义域. (2)已知 f(x2)的定义域为[0,4],求 f(x)的定义域. 解 (1)∵f(x)的定义域为[0,4], ①f(x2)以 x2 为自变量,∴0≤x2≤4,∴-2≤x≤2, 故 f(x2)的定义域为[-2,2]. ?0≤x+1≤4, ? ②f(x+1)+f(x-1)以 x+1,x-1 为自变量,于是有? ∴1≤x≤3. ? ?0≤x-1≤4, 故 f(x+1)+f(x-1)的定义域为[1,3]. (2)∵f(x2)的定义域为[0,4],∴0≤x≤4, ∴0≤x2≤16,故 f(x)的定义域为[0,16]. 11.已知 f(x)=x2-2x+1,g(x)是一次函数,且 f[g(x)]=4x2,求 g(x) 的解析式. 解 设 g(x)=ax+b(a≠0), 则 f[g(x)]=(ax+b)2-2(ax+b)+1 =a2x2+(2ab-2a)x+b2-2b+1=4x2.

?a =4, ? ∴?2ab-2a=0, ?b2-2b+1=0. ?

2

解得 a=± 2,b=1.

∴g(x)=2x+1 或 g(x)=-2x+1. 12.某租赁公司拥有汽车 100 辆.当每辆车的月租金为 3 000 元 时,可全部租出.当每辆车的月租金每增加 50 元时,未租出的车将会增加一辆.租出的 车每辆每月需要维护费 150 元,未租出的车每辆每月需要维护费 50 元. (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出多少辆车? (2)当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少? 解 (1)当每辆车的月租金为 3 600 元时, 3 600-3 000 未租出的车辆数为 =12, 50 所以这时租出了 88 辆车.
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(2)设每辆车的月租金定为 x 元, 则租赁公司的月收益为 x-3 000 x-3 000? f(x)=?100- (x-150)- ×50, 50 50 ? ? 2 x 整理得 f(x)=- +162x-21 000 50 1 =- (x-4 050)2+307 050. 50 ∴当 x=4 050 时,f(x)最大, 最大值为 f(4 050)=307 050. 答 (1)当每辆车的月租金定为 3 600 元时,能租出 88 辆车; (2)当每辆车的月租金定为 4 050 元时,租赁公司的月收益最大,最大收益为 307 050 元. 题型 2: 函数的单调性及最大(小)值 1.函数 f(x)=ln(4+3x-x2)的单调递减区间是________. 解析 函数 f(x)的定义域是(-1,4), 令 u(x)=-x2+3x+4 3 3 25 =-?x-2?2+ 的减区间为?2,4?, ? ? 4 ? ? 3 ∵e>1,∴函数 f(x)的单调减区间为?2,4?. ? ? 3 答案 [ ,4) 2 2.(2009· 湖南改编)设函数 y=f(x)在(-∞,+∞)内有定义,对于给定的正数 K,定义函数 ?f(x), f(x)≤K, ? 1 - fK(x)=? 取函数 f(x)=2 |x|,当 K= 时,函数 fK(x)的单调递增区间为_ 2 ? ?K, f(x)>K. _________________. 1 - 解析 由 f(x)=2 |x|≤ 得-|x|≤-1, 2 ∴|x|≥1.∴x≥1 或 x≤-1. -|x| ?2 ,x≥1或x≤-1, ? ∴fK(x)=?1 ?2,-1<x<1. ? 1 - 当 x∈(1,+∞)时,fK(x)=2 x=?2?x,在(1,+∞)上为减函数. ? ? 当 x∈(-∞,-1)时,fK(x)=2x,在(-∞,-1)上为增函数. 答案 (-∞,-1) 1 3.已知 f(x)是 R 上的减函数,则满足 f( )>f(1)的 x 的取值范围为 x __________________. 1-x 1 1 解析 由题意 f( )>f(1), <1,即 <0, x x x ∴x>1 或 x<0. 答案 (-∞,0)∪(1,+∞) 3 4 若 f(x)在(0,+∞)上是减函数,则 f(a2-a+1)与 f( )的大小关系是 4 ________________. 1 3 3 解析 ∵a2-a+1=(a- )2+ ≥ , 2 4 4 3 f(x)在(0,+∞)上是减函数,∴f(a2-a+1)≤f( ). 4 3 2 答案 f(a -a+1)≤f( ) 4
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5.若 f(x)=-x2 +2ax 与 g(x)= ____________________.

a 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的取值范围是 x+1

a 解析 由 f(x)=-x2+2ax 得对称轴为 x=a, 在[1,2]上是减函数, 所以 a≤1, 又由 g(x)= x+1 在[1,2]上是减函数,所以 a>0,综合得 a 的取值范围为(0,1]. 答案 (0,1] 6.关于下列命题: ①若函数 y=2x 的定义域是{x|x≤0},则它的值域是{y|y≤1}; 1 1 ②若函数 y= 的定义域是{x|x>2},则它的值域是{y|y≤ }; x 2 2 ③若函数 y=x 的值域是{y|0≤y≤4},则它的定义域一定是{x|-2≤x≤2}; ④若函数 y=log2x 的值域是{y|y≤3},则它的定义域是{x|0<x≤8}.其中不正确的命题的 序号是________.(注:把你认为不正确的命题的序号都填上) 1 1 解析 ①中, x≤0, x∈(0,1]; y=2 ②中, x>2, ∈(0, ); y= ③中, 2 的值域是{y|0≤y≤4}, y=x x 2 但它的定义域不一定是{x|-2≤x≤2};④中,y=log2x≤3,∴0<x≤8,故①②③错,④ 正确. 答案 ①②③ 7.已知 y=f(x)是定义在(-2,2)上的增函数,若 f(m-1)<f(1-2m),则 m 的取值范围是 ______________. 解析 依题意,原不等式等价于

?-2<m-1<2 ? ?-2<1-2m<2 ?m-1<1-2m ?

? 1 3 ?- <m< 2 ?? 2 ?m<2 ? 3

-1<m<3 1 2 ?- <m< . 2 3

1 2 答案 ?-2,3? ? ? 8 . 若 函 数 f(x) = (m - 1)x2 + mx + 3 (x∈R) 是 偶 函 数 , 则 f(x) 的 单 调 减 区 间 是 ____________________. 解析 ∵f(x)是偶函数, ∴f(-x)=f(x), ∴(m-1)x2-mx+3 =(m-1)x2+mx+3,∴m=0. 这时 f(x)=-x2+3, ∴单调减区间为[0,+∞). 答案 [0,+∞) 25 9.(2010· 湛江调研)若函数 y=x2-3x-4 的定义域为[0,m],值域为[- ,-4],则 m 的取 4 值范围是__________________. 3 25 解析 ∵f(x)=x2-3x-4=(x- )2- , 2 4 3 25 ∴f( )=- ,又 f(0)=-4, 2 4 故由二次函数图象可知 3 ≤m, 2 3 解得 ≤m≤3. 2 3 3 m- ≤ -0. 2 2

? ? ?

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3 [ ,3] 2 10.(14 分)(2010· 无锡模拟)已知 f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,且满足 f(xy)=f(x)+f(y), f(3)=1,试解不等式 f(x)+f(x-8)≤2. 解 根据题意,由 f(3)=1, 得 f(9)=f(3)+f(3)=2. 又 f(x)+f(x-8)=f[x(x-8)], 故 f[x(x-8)]≤f(9). ∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数, 答案

?x>0, ? ∴?x-8>0, 解得 8<x≤9. ?x(x-8)≤9, ?
∴原不等式的解集为{x|8<x≤9}. x 11.(16 分)(2010· 镇江模拟)已知 f(x)= (x≠a). x-a (1)若 a=-2,试证 f(x)在(-∞,-2)内单调递增; (2)若 a>0 且 f(x)在(1,+∞)内单调递减,求 a 的取值范围. (1)证明 任设 x1<x2<-2, x1 x2 则 f(x1)-f(x2)= - x1+2 x2+2 2(x1-x2) = . (x1+2)(x2+2) ∵(x1+2)(x2+2)>0,x1-x2<0, ∴f(x1)-f(x2)<0 即 f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-∞,-2)内单调递增. (2)解 任设 1<x1<x2,则 x1 x2 f(x1)-f(x2)= - x1-a x2-a a(x2-x1) = . (x1-a)(x2-a) ∵a>0,x2-x1>0, ∴要使 f(x1)-f(x2)>0,只需(x1-a)(x2-a)>0 恒成立,∴a≤1. 综上所述,0<a≤1. 12.(16 分)(2010· 无锡调研)函数 f(x)对任意的实数 m、n 有 f(m+n)=f(m)+f(n),且当 x>0 时 有 f(x)>0. (1)求证:f(x)在(-∞,+∞)上为增函数; (2)若 f(1)=1,解不等式 f[log2(x2-x-2)]<2. (1)证明 设 x2>x1, 则 x2-x1>0. ∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1+x1)-f(x1) =f(x2-x1)+f(x1)-f(x1) =f(x2-x1)>0,∴f(x2)>f(x1), 故 f(x)在(-∞,+∞)上为增函数. (2)解 ∵f(1)=1, ∴2=1+1=f(1)+f(1)=f(2). 又 f[log2(x2-x-2)]<2, ∴f[log2(x2-x-2)]<f(2). ∴log2(x2-x-2)<2,

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?x2-x-2>0, ? 于是? 2 ? ?x -x-2<4. ?x<-1或x>2, ? ∴? ?-2<x<3, ? 即-2<x<-1 或 2<x<3. ∴原不等式的解集为{x|-2<x<-1 或 2<x<3}. 题型 3:函数的奇偶性 1. (2009· 江西改编)已知函数 f(x)是(-∞, +∞)上的偶函数, 若对于 x≥0, 都有 f(x+2)=f(x), 且当 x∈[0,2)时,f(x)=log2(x+1),则 f(-2 008)+f(2 009)的值为____. 解析 f(-2 008)+f(2 009)=f(2 008)+f(2 009) =f(0)+f(1)=log21+log2(1+1)=1. 答案 1 2.(2010· 江苏南京模拟)已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x2-2x,则 在 R 上 f(x)的表达式为____________. 解析 设 x<0,则-x>0,由 f(x)为奇函数知 f(x)=-f(-x)=-[(-x)2-2(-x)]=-x2-2x. ?x2-2x (x≥0), ? ∴f(x)=? 2 ? ?-x -2x (x<0). 即 f(x)=x(|x|-2). 答案 f(x)=x(|x|-2) 3.(2010· 浙江宁波检测)已知函数 f(x)=g(x)+2,x∈[-3,3],且 g(x)满足 g(-x)=-g(x),若 f(x)的最大值、最小值分别为 M、N,则 M+N=________. 解析 因为 g(x)是奇函数,故 f(x)关于(0,2)对称, 所以 M+N=4. 答案 4 4.(2010· 泰州模拟)f(x)、g(x)都是定义在 R 上的奇函数,且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2,若 F(a) =b,则 F(-a)=____________. 解析 令 G(x)=F(x)-2=3f(x)+5g(x), 故 G(x)是奇函数, ?G(a)=F(a)-2, ? 又? ? ?G(-a)=F(-a)-2, 解得 F(-a)=-b+4. 答案 -b+4 5.(2010· 无锡模拟)已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是 ______(填序号). ①y=f(|x|); ②y=f(-x); ③y=x· f(x);④y=f(x)+x. 解析 ∵f(x)的定义域为 R,∴f(|-x|)=f(|x|), ∴y=f(|x|)是偶函数; 令 F(x)=f(-x), 则 F(-x)=f(x)=-f(-x)=-F(x), ∴F(x)是奇函数,∴②是奇函数; 令 M(x)=x· f(x), 则 M(-x)=-x· f(-x)=x· f(x)=M(x), ∴M(x)是偶函数; 令 N(x)=f(x)+x, 则 N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x =-[f(x)+x]=-N(x), ∴N(x)是奇函数,故②、④是奇函数. 第 13 页 共 13 页

答案 ②④ 6.(2009· 重庆)若 f(x)= 1 +a 是奇函数,则 a=________________. 2 -1 1 1 解析 ∵f(-x)=-f(x),即 -x +a=- x -a, 2 -1 2 -1 2x+a-a·x -1-a·x+a 2 2 ∴ = , 1-2x 2x-1 ∴(a-1)2x-a=-a·x+(a-1), 2 ? ?a-1=-a, 1 ∴? ∴a= . 2 ? ?-a=a-1,
x

答案

1 2

2? x 7. (2010· 江苏如东模拟)定义两种运算: b= a2-b2, a? a?b= (a-b)2, 则函数 f(x)= (x?2)-2 的奇偶性为________________. 4-x2 4-x2 解析 由题意知:f(x)= = , (x-2)2-2 |x-2|-2 定义域为[-2,0)∪(0,2], 4-x2 ∴f(x)= ,x∈[-2,0)∪(0,2]. -x 4-x2 又∵f(-x)= =-f(x). x ∴函数 f(x)为奇函数. 答案 奇函数 8. (2009· 四川改编)已知函数 f(x)是定义在实数集 R 上的不恒为零的偶函数, 且对任意实数 x 5 都有 xf(x+1)=(1+x)f(x),则 f?f?2??的值是________. ? ? ??

解析 由 xf(x+1)=(1+x)f(x)可得 3 ?5? 5 ?3? 1 ?3? 3 ?1? f = f , f = f , 2 ?2? 2 ?2? 2 ?2? 2 ?2? 1 1 1 1 1 1 - f?2?= f?-2?.又∵f?2?=f?-2?, ? ? ? ? 2? ? 2? ? 1 3 5 ∴f?2?=0,f?2?=0,f?2?=0. ? ? ? ? ? ? 又∵-1· f(-1+1)=(1-1)f(-1), ∴-f(0)=0f(-1)=0. ∴f(0)=0, 5 ∴f?f?2??=f(0)=0. ? ? ?? 答案 0 9.(2009· 连云港模拟)函数 y=f(x)是偶函数,y=f(x-2)在[0,2]上单调递增,则 f(-1),f(0), f(2)的大小关系是________. 解析 ∵f(x)是偶函数,∴其图象关于 y 轴对称, 又∵y=f(x-2)的图象是由 y=f(x)向右平移 2 个单位得到的, y=f(x-2)在[0,2]上单调递 而 增, ∴f(x)在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减, ∴f(-1)=f(1)且 f(0)>f(1)>f(2), ∴其大小关系为 f(0)>f(-1)>f(2). 答案 f(0)>f(-1)>f(2) 10.(14 分)(2009· 江苏金陵中学三模)已知 f(x)是实数集 R 上的函数,且对任意 x∈R,f(x)=
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f(x+1)+f(x-1)恒成立. (1)求证:f(x)是周期函数; (2)已知 f(3)=2,求 f(2 004). (1)证明 ∵f(x)=f(x+1)+f(x-1) ∴f(x+1)=f(x)-f(x-1), 则 f(x+2)=f[(x+1)+1]=f(x+1)-f(x) =f(x)-f(x-1)-f(x)=-f(x-1). ∴f(x+3)=f[(x+1)+2]=-f[(x+1)-1] =-f(x). ∴f(x+6)=f[(x+3)+3]=-f(x+3)=f(x). ∴f(x)是周期函数且 6 是它的一个周期. (2)解 f(2 004)=f(334×6)=f(0)=-f(3)=-2. 11.(16 分)(2009· 广东东莞模拟)已知函数 f(x)=x2+|x-a|+1,a∈R. (1)试判断 f(x)的奇偶性; 1 1 (2)若- ≤a≤ ,求 f(x)的最小值. 2 2 解 (1)当 a=0 时,函数 f(-x)=(-x)2+|-x|+1=f(x), 此时,f(x)为偶函数. 当 a≠0 时,f(a)=a2+1,f(-a)=a2+2|a|+1, f(a)≠f(-a),f(a)≠-f(-a),此时,f(x)为非奇非偶函数. 1 3 (2)当 x≤a 时,f(x)=x2-x+a+1=?x-2?2+a+ , ? ? 4 1 ∵a≤ ,故函数 f(x)在(-∞,a]上单调递减, 2 从而函数 f(x)在(-∞,a]上的最小值为 f(a)=a2+1. 1 3 当 x≥a 时,函数 f(x)=x2+x-a+1=?x+2?2-a+ , ? ? 4 1 ∵a≥- ,故函数 f(x)在[a,+∞)上单调递增,从而函数 f(x)在[a,+∞)上的最小值为 f(a) 2 2 =a +1. 1 1 综上得,当- ≤a≤ 时,函数 f(x)的最小值为 a2+1. 2 2 12.(16 分)(2009· 东北三省联考)设函数 f(x)在(-∞,+∞)上满足 f(2-x)=f(2+x),f(7-x) =f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有 f(1)=f(3)=0. (1)试判断函数 y=f(x)的奇偶性; (2)试求方程 f(x)=0 在闭区间[-2 005,2 005]上的根的个数,并证明你的结论. ?f(2-x)=f(2+x) ?f(x)=f(4-x) ? ? 解 (1)由? ?? ? ? ?f(7-x)=f(7+x) ?f(x)=f(14-x) ?f(4-x)=f(14-x)?f(x)=f(x+10), 从而知函数 y=f(x)的周期为 T=10. 又 f(3)=f(1)=0,而 f(7)≠0,故 f(-3)≠0. 故函数 y=f(x)是非奇非偶函数. (2)由(1)知 y=f(x)的周期为 10.又 f(3)=f(1)=0, f(11)=f(13)=f(-7)=f(-9)=0, 故 f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有两个解,从而可知函数 y=f(x)在[0,2 005]上有 402 个解, 在[-2 005,0]上有 400 个解,所以函数 y=f(x)在[-2 005,2 005]上有 802 个解. 题型 4: 指数与指数函数 - 1.(2010· 镇江模拟)若 0<x<1,则 2x,2 x,0.2x 的大小关系是________. 1 1 1 2 1 解析 取 x= ,则 2 = 2,2- = ,0.2 = 0.2, 2 2 2 2 2

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2 - > 0.2,即 2x>2 x>0.2x. 2 - 答案 2x>2 x>0.2x 5-1 2.(2009· 江苏,10)已知 a= ,函数 f(x)=ax,若实数 m、n 满足 f(m)>f(n),则 m、n 的 2 大小关系为________. 5-1 解析 ∵0<a= <1, 2 x ∴函数 f(x)=a 在 R 上是减函数. 又∵f(m)>f(n), ∴m<n. 答案 m<n - 3.(2009· 山东烟台模拟)函数 y=2 |x|的单调增区间是______________. -x ? x≥0 ?2 - 解析 画出函数 y=2 |x|=? x 的图象,如图. ? x<0 ?2 ∴ 2>

答案

(-∞,0]

? x ?2 , 4.(2010· 泰州月考)设函数 f(x)=? ? ?g(x),

x<0, x>0

若 f(x)是奇函数,则 g(2)=________.

1 - 解析 ∵f(-2)=2 2= =-f(2) 4 1 ∴f(2)=- , 4 又∵f(2)=g(2), 1 ∴g(2)=- . 4 1 答案 - 4 5.(2010· 扬州调研)若函数 y=4x-3·x+3 的定义域为集合 A,值域为[1,7],集合 B=(-∞, 2 0]∪[1,2],则集合 A 与集合 B 的关系为________. 解析 因为 y=4x-3·x+3 的值域为[1,7], 2 x 2 x 所以 1≤(2 ) -3· +3≤7, 2 所以 x≤0 或 1≤x≤2. 答案 A=B - 6.(2010· 南京调研)若 f(x)=-x2+2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,则 a 的 取值范围是______________. ? ?a≤1, - 解析 f(x)=-x2 +2ax 与 g(x)=(a+1)1 x 在区间[1,2]上都是减函数,即 ? 故 ?a+1>1. ? 0<a≤1. 答案 (0,1] a 7.(2010· 锦州模拟)函数 y=ax(a>0,且 a≠1)在[1,2]上的最大值比最小值大 ,则 a 的值是 2 _______. 解析 当 a>1 时,y=ax 在[1,2]上单调递增,

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a 3 故 a2-a= ,得 a= ; 2 2 当 0<a<1 时,y=ax 在[1,2]上单调递减, a 1 1 3 故 a-a2= ,得 a= .故 a= 或 a= . 2 2 2 2 1 3 答案 或 2 2 8.(2010· 盐城模拟)函数 f(x)=x2-bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(bx)________f(cx).(用“≤”,“≥”,“>”,“<”填空) 解析 ∵f(1+x)=f(1-x). ∴f(x)的对称轴为直线 x=1,由此得 b=2 又 f(0)=3,∴c=3, ∴f(x)在(-∞,1)上递减,在(1,+∞)上递增. 若 x≥0,则 3x≥2x≥1, ∴f(3x)≥f(2x), 若 x<0,则 3x<2x<1, ∴f(3x)>f(2x), ∴f(3x)≥f(2x). 答案 ≤ 9.(2009· 湖北黄冈四市联考)设函数 f(x)=|2x-1|的定义域和值域都是[a,b](b>a),则 a+b =________. 解析 因为 f(x)=|2x-1|的值域为[a,b], 所以 b>a≥0, 而函数 f(x)=|2x-1|在[0,+∞)上是单调递增函数, ? a ? ?|2 -1|=a ?a=0 因此应有? b ,解得? , ? ? ?|2 -1|=b ?b=1 所以有 a+b=1. 答案 1 10.(14 分)(2009· 广东韶关一模)要使函数 y=1+2x+4xa 在 x∈(-∞,1]上 y>0 恒成立,求 a 的取值范围. 解 由题意得 1+2x+4xa>0 在 x∈(-∞,1]上恒成立, 1+2x 即 a>- x 在 x∈(-∞,1]上恒成立. 4 1+2x 1 1 又∵- x =-?2?2x-?2?x ? ? ? ? 4 1?x 1?2 1 =-??2? +2 + , ?? ? 4 1 1 ∵x∈(-∞,1],∴?2?x∈?2,+∞?. ? ? ? ? 1?x 1?2 1 令 t=?2? ,则 f(t)=-?t+2? + , ? ? 4 1 t∈?2,+∞?, ? ? 1 则 f(t)在?2,+∞?上为减函数, ? ? 1? 1 1?2 1 3 f(t)≤f?2?=-?2+2? + =- , ? ? 4 4 3? 即 f(t)∈?-∞,-4?. ? 1 ∵a>f(t),在[ ,+∞)上恒成立, 2

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3 ∴a∈?-4,+∞?. ? ? 11.(16 分)(2009· 江苏苏北四市期末)设 f(x)=ax+b 同时满足条件 f(0)=2 和对任意 x∈R 都 有 f(x+1)=2f(x)-1 成立. (1)求 f(x)的解析式; (2)设函数 g(x)的定义域为[-2,2],且在定义域内 g(x)=f(x),且函数 h(x)的图象与 g(x)的图 象关于直线 y=x 对称,求 h(x); (3)求函数 y=g(x)+h(x)的值域. 解 (1)由 f(0)=2,得 b=1, 由 f(x+1)=2f(x)-1,得 ax(a-2)=0, 由 ax>0 得 a=2, 所以 f(x)=2x+1. (2)由题意知,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)=2x+1. 设点 P(x,y)是函数 h(x)的图象上任意一点,它关于直线 y=x 对称的点为 P′(y,x),依 题意点 P′(y, x)应该在函数 g(x)的图象上, x=2y+1, 即 所以 y=log2(x-1), h(x)=log2(x 即 -1). 5 (3)由已知得 y=log2(x-1)+2x+1,且两个函数的公共定义域是[ ,2],所以函数 y=g(x) 4 5 +h(x)=log2(x-1)+2x+1(x∈[ ,2]). 4 5 由于函数 g(x)=2x+1 与 h(x)=log2(x-1)在区间[ ,2]上均为增函数, 4 5 4 因此当 x= 时,y=2 2-1, 4 5 4 当 x=2 时,y=5,所以函数 y=g(x)+h(x)(x∈[ ,2])的值域为[2 2-1,5]. 4 1 12.(16 分)(2010· 南通模拟)已知函数 f(x)=( )x,x∈[-1,1],函数 g(x)=f2(x)-2af(x)+3 的最 3 小值为 h(a). (1)求 h(a); (2)是否存在实数 m,n,同时满足以下条件: ①m>n>3; ②当 h(a)的定义域为[n,m]时,值域为[n2,m2].若存在,求出 m,n 的值;若不存在, 说明理由. 1 1 解 (1)因为 x∈[-1,1],所以( )x∈[ ,3]. 3 3 1x 1 设( ) =t,t∈[ ,3], 3 3 则 g(x)=φ(t)=t2-2at+3=(t-a)2+3-a2. 1 1 28 2a 当 a< 时,h(a)=φ( )= - ; 3 3 9 3 1 当 ≤a≤3 时,h(a)=φ(a)=3-a2; 3 当 a>3 时,h(a)=φ(3)=12-6a.

? 9 - 3 (a<3) ? 1 所以 h(a)=? 3-a ( ≤a≤3) 3 ? ?12-6a (a>3)
28 2a
2

1

.

(2)因为 m>n>3,a∈[n,m],所以 h(a)=12-6a. 因为 h(a)的定义域为[n,m],值域为[n2,m2],且 h(a)为减函数,
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?12-6m=n2 ? 所以? 2 ,两式相减得 6(m-n)=(m-n)(m+n),因为 m>n,所以 m-n≠0,得 ? ?12-6n=m

m +n=6,但这与“m>n>3”矛盾,故满足条件的实数 m,n 不存在. 题型 5: 对数与对数函数 1. (2009· 全国Ⅱ改编)设 a=log2π, b=log2 3, c=log3 2, a, c 的大小关系为________. 则 b, 1 1 解析 ∵a=log3π>1,b= log23<1,c= log32<1, 2 2 log23 lg23 ∴a>b,a>c.又 = >1,∴b>c, log32 lg22 ∴a>b>c. 答案 a>b>c 2.(2009· 福建厦门模拟)函数 y=lg x+lg(x-1)的定义域为 A,y=lg(x2-x)的定义域为 B,则 A、B 的关系是______________. ? ?x>0 解析 由已知得? ,∴A={x|x>1},由 x2-x>0 ? ?x-1>0 得 x>1 或 x<0,∴B={x|x>1 或 x<0},∴A? B. 答案 A? B 3.(2009· 广东改编)若函数 y=f(x)是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)的反函数,其图象经过点( a, a)则 f(x)=__________________. 解析 由 y=ax 得,x=logay,即 f(x)=logax, 1 1 由于 a=loga a= ,因此 f(x)=log x. 2 2 1 答案 log x 2 ? ?(3a-1)x+4a, x<1, 4.(2009· 南京十三中三模)已知 f(x)=? 是 R 上的减函数,那么 a 的 ?logax, x≥1 ? 取值范围是________________. ?0<a<1 解析 由已知?3a-1<0 1 1 解得 ≤a< . 7 3 1 1 答案 [ , ) 7 3 1 5.(2010· 江苏泰州月考)函数 y=log (x2-3x+2)的递增区间是__________. 2 2 解析 由 x -3x+2>0 得 x<1 或 x>2, 当 x∈(-∞,1)时,f(x)=x2-3x+2 单调递减, 1 1 而 0< <1,由复合函数单调性可知 y=log (x2-3x+2)在(-∞,1)上是单调递增的,在(2, 2 2 +∞)上是单调递减的. 答案 (-∞,1) 6.(2010· 泰州模拟)方程 log3(x2-10)=1+log3x 的解是________. 解析 log3(x2-10)=log33x. ∴x2-10=3x.∴x2-3x-10=0. ∴x=-2 或 x=5. 检验知 x=5 适合. 答案 5
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?

?(3a-1)+4a≥0 ?



1 7.(2009· 辽宁改编)已知函数 f(x)满足:当 x≥4 时,f(x)=?2?x;当 x<4 时,f(x)=f(x+1).则 ? ? f(2+log23)=________. 解析 因为 2+log23<4,故 f(2+log23)=f(2+log23+1) =f(3+log23).又因为 3+log23>4,故 f(3+log23) 1 1 1 1 =?2?3+log23=?2?3·= . ? ? ? ? 3 24 1 答案 24 8.(2010· 淮北调研)函数 f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为 a,则 a 的值 为________. 解析 ∵y=ax 与 y=loga(x+1)具有相同的单调性. ∴f(x)=ax+loga(x+1)在[0,1]上单调, ∴f(0)+f(1)=a,即 a0+loga1+a1+loga2=a, 1 化简得 1+loga2=0,解得 a= . 2 1 答案 2 9.(2009· 广东五校联考)设 a>0,a≠1,函数 f(x)=alg(x2-2x+3)有最大值,则不等式 loga(x2 -5x+7)>0 的解集为________________. 解析 设 t=lg(x2-2x+3)=lg[(x-1)2+2]. 当 x=1 时,tmin=lg 2. 又函数 y=f(x)有最大值,所以 0<a<1. 由 loga(x2-5x+7)>0,得 0<x2-5x+7<1, 解得 2<x<3.故不等式解集为{x|2<x<3}. 答案 (2,3) 1 1 10.(14 分)(2010· 江苏启东中学模拟)已知函数 f(x)=log (x2-ax-a)在区间(-∞,- )上为增 2 2 函数,求 a 的取值范围. 解 令 g(x)=x2-ax-a. 1 1 ∵f(x)=log g(x)在(-∞,- )上为增函数, 2 2 1 ∴g(x)应在(-∞,- )上为减函数且 g(x)>0 2 1 在(-∞,- )上恒成立. 2 a 1 ≥- 2 2 因此 , 1 g(- )>0 2

? ? ?

?a≥-1 ? 即?1 a . ? ?4+2-a>0
1 解得-1≤a< , 2 1 故实数 a 的取值范围是-1≤a< . 2 11.(16 分)(2010· 舟山调研)已知函数 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数,求 a 的取值范围. 解 因为 μ(x)=x2-2ax-3 在(-∞,a]上是减函数, 在[a,+∞)上是增函数,

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要使 y=loga2(x2-2ax-3)在(-∞,-2)上是增函数, 首先必有 0<a2<1, 即 0<a<1 或-1<a<0,且有 ? ?μ(-2)≥0, 1 ? 得 a≥- .综上, 4 ? ?a≥-2, 1 得- ≤a<0 或 0<a<1. 4 x+b 12.(16 分)(2010· 扬州模拟)已知函数 f(x)=loga (a>0,且 a≠1,b>0). x-b (1)求 f(x)的定义域; (2)讨论 f(x)的奇偶性; (3)讨论 f(x)的单调性. x+b 解 (1)由 >0?(x+b)(x-b)>0. x-b 解得 f(x)的定义域为(-∞,-b)∪(b,+∞). ?-x+b? (2)∵f(-x)=loga? ? ?-x-b? ?x-b?=log ?x+b?-1=-f(x), =loga? ? ? a? ?x+b? ?x-b? ∴f(x)为奇函数. x+b 2b (3)令 u(x)= ,则 u(x)=1+ . x-b x-b 它在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. ∴当 0<a<1 时,f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是增函数; 当 a>1 时,f(x)分别在(-∞,-b)和(b,+∞)上是减函数. 题型 6:幂函数 1.(2010· 潍坊模拟)已知函数 f(x)=xα 的图象经过点(4,2),则 log2f(2)=________. 1 解析 由已知得 2=4α,∴α= , 2 1 ∴f(x)=x , 2 1 1 ∴log2f(2)=log22 = . 2 2 1 答案 2 1 1 2.(2009· 江苏靖江调研)设 α∈{-2,- , ,2},则使函数 y=xα 为偶函数的所有 α 的和为 2 2 ____________. 解析 符合题意的 α 为-2 和 2,则-2+2=0. 答案 0 3.(2009· 山东临沂模拟)已知 a=0.80.7,b=0.80.9,c=1.20.8,则 a、b、c 按从小到大的顺序 排列为________________. 解析 由指数函数 y=0.8x 知, ∵0.7<0.9,∴0.80.9<0.80.7<1, 即 b<a,又 c=1.20.8>1,∴b<a<c. 答案 b<a<c - - 4.(2010· 连云港模拟)幂函数 y=(m2-m-1)· 5m 3,当 x∈(0,+∞)时为减函数,则实数 m x 的值为________. ? 2 ?m -m-1=1, 解析 由题意知? ∴m=2. ? ?-5m-3<0.
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答案 2

?2 -1, x≤0, ? 5.(2010· 盐城模拟)设函数 f(x)=? 1 若 f(x0)>1,则 x0 的取值范围是 ?x2, x>0. ?
________________. 解析 f(x0)>1, 当 x0≤0 时,2-x0-1>1, 即 2-x0>2,-x0>1,∴x0<-1; 1 当 x0>0 时,x 0>1,∴x0>1. 2 综上,x0∈(-∞,-1)∪(1,+∞). 答案 (-∞,-1)∪(1,+∞) 1 6.(2010· 西安调研)函数 y=(0.5x-8)- 的定义域是______________. 2 1x - 解析 由题意知 0.5x-8>0,即( ) >8,即 2 x>23, 2 ∴-x>3,则 x<-3. 答案 (-∞,-3) 1 1 7.(2009· 宝城第一次月考)若(a+1)- <(3-2a)- ,则 a 的取值范围是______________. 3 3 1 1 解析 ∵(a+1)- <(3-2a)- , 3 3

-x

?a+1>0 ? ∴?3-2a>0 ?a+1>3-2a ?

?a+1<0 ? 或?3-2a<0 ?a+1>3-2a ?

? ?3-2a>0 或? ?a+1<0 ?

2 3 解之得 <a< 或 a<-1. 3 2 2 3 答案 <a< 或 a<-1 3 2 8.(2009· 南京二模)给出封闭函数的定义:若对于定义域 D 内的任意一个自变量 x0,都有函 数值 f(x0)∈D,则称函数 y=f(x)在 D 上封闭.若定义域 D=(0,1),则函数 ①f1(x)=3x-1; 1 1 ②f2(x)=- x2- x+1; 2 2 ③f3(x)=1-x; 1 ④f4(x)=x ,其中在 D 上封闭的是________.(填序号即可) 2 1 解析 ∵f1?3?=0?(0,1),∴f1(x)在 D 上不封闭. ? ? 1 1 ∵f2(x)=- x2- x+1 在(0,1)上是减函数, 2 2 ∴0=f2(1)<f2(x)<f2(0)=1,∴f2(x)适合. ∵f3(x)=1-x 在(0,1)上是减函数, ∴0=f3(1)<f3(x)<f3(0)=1,∴f3(x)适合. 1 又∵f4(x)=x 在(0,1)上是增函数, 2 且 0=f4(0)<f4(x)<f4(1)=1,∴f4(x)适合. 答案 ②③④ 1 2 9.(2010· 泉州模拟)已知幂函数 f(x)的图象经过点( , ),P(x1,y1),Q(x2,y2)(x1<x2)是函数 8 4 图象上的任意不同两点,给出以下结论:
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①x1f(x1)>x2f(x2); ②x1f(x1)<x2f(x2); f(x1) f(x2) f(x1) f(x2) ③ > ; ④ < . x1 x2 x1 x2 其中正确结论的序号是________________. 1 2 1 11 1 1 解析 依题意,设 f(x)=xα,则有( )α= ,即( )α=( ) ,所以 α= ,于是 f(x)=x . 8 4 8 82 2 2 1 由于函数 f(x)=x 在定义域[0,+∞)内单调递增,所以当 x1<x2 时,必有 f(x1)<f(x2),从而 2 f(x1) f(x2) 有 x1f(x1)<x2f(x2),故②正确;又因为 , 分别表示直线 OP、OQ 的斜率,结合函数 x1 x2 f(x1) f(x2) 图象,容易得出直线 OP 的斜率大于直线 OQ 的斜率,故 > ,所以③正确. x1 x2 答案 ②③ 1 3 10.(14 分)(2009· 辽宁丹东检测)已知幂函数 y=x- p2+p+ (p∈Z)在(0,+∞)上单调递增, 2 2 且在定义域内图象关于 y 轴对称,求 p 的值. 1 3 1 解 由题意知:- p2+p+ =- (p-1)2+2. 2 2 2 因为 p∈Z,f(x)在(0,+∞)上单调递增,且在定义域上为偶函数,所以 p=1. 1 11.(16 分)(2010· 四平调研)已知 f(x)=x (n=2k,k∈Z)的图象在[0,+∞)上单 2 -n +2n+3 调递增,解不等式 f(x2-x)>f(x+3). 1 解 由条件知 >0,即-n2+2n+3>0, 2 -n +2n+3 解得-1<n<3.又 n=2k,k∈Z, 1 ∴n=0,2.当 n=0,2 时,f(x)=x . 3 ∴f(x)在 R 上单调递增. ∴f(x2-x)>f(x+3),∴x2-x>x+3. 解得 x<-1 或 x>3. ∴原不等式的解集为(-∞,-1)∪(3,+∞). x 12.(16 分)(2010· 南通模拟)已知函数 f(x)= , 1+x (1)画出 f(x)的草图; (2)由图象指出 f(x)的单调区间; (3)设 a>0,b>0,c>0,a+b>c,证明:f(a)+f(b)>f(c). (1)解 由 f ( x) ?

x 得 1? x

f ( x) ? 1 ?

1 . x ?1


y

∴f(x)的图象可由

2 x 3

的图象向左平移 1 个

单位,再向上平移 1 个单位得到如图. (2)解 由图象知(-∞,-1),(-1,+∞) 均为 f(x)的单调增区间. (3)证明 ∵f(x)在(-1,+∞)为增函数, a a b b > >0, > >0,a+b>c>0, 1+a 1+a+b 1+b 1+a+b a+b a b c ∴f(a)+f(b)= + > > =f(c), 1+a 1+b 1+a+b 1+c ∴f(a)+f(b)>f(c).
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题型 7: 函数与方程 1.(2010· 福建厦门模拟)如果函数 y=x2+mx+(m+3)有两个不同的零点,则 m 的取值范围 是________. 解析 方程 x2+mx+(m+3)=0 有两个不同的根?Δ=m2-4(m+3)>0,∴m>6 或 m<-2. 答案 (-∞,-2)∪(6,+∞) 2.(2010· 金华一模)如果函数 f(x)=x2+mx+m+2 的一个零点是 0,则另一个零点是 ________________. 解析 依题意知:m=-2. ∴f(x)=x2-2x, ∴方程 x2-2x=0 的另一个根为 2, 即另一个零点是 2. 答案 2 3.(2009· 江苏盐城模拟)用二分法求方程 x3-2x-1=0 的一个近似解时,现在已经将一根锁 定在区间(1,2)内,则下一步可断定该根所在的区间为________. 解析 令 f(x)=x3-2x-1, 3 5 则 f(1)=-2<0,f(2)=3>0,f( )=- <0, 2 8 3 3 由 f( )f(2)<0 知根所在区间为( ,2). 2 2 3 答案 ( ,2)(说明:写成闭区间也对) 2 4.(2010· 江苏兴化模拟)根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区 间为________. x 0 1 2 3 -1 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.08 1 2 3 4 5 x+2 解析 令 f(x)=ex-x-2, 由表知 f(1)=2.72-3<0,f(2)=7.39-4>0, ∴方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为(1,2). 答案 (1,2) 5.(2009· 江苏扬州模拟)已知函数 f(x)=3x+x-5 的零点 x0∈[a,b],且 b-a=1,a,b∈N*, 则 a+b=________. 解析 ∵b-a=1,a,b∈N*,f(1)=4-5=-1<0, f(2)=6>0,∴f(1)f(2)<0,∴a+b=3. 答案 3 6.(2009· 山东,14)若函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1)有两个零点,则实数 a 的取值范围 是______________. 解析 设函数 y=ax(a>0,且 a≠1)和函数 y=x+a,则函数 f(x)=ax-x-a(a>0,且 a≠1) 有两个零点,就是函数 y=ax(a>0,且 a≠1)与函数 y=x+a 有两个交点,由图 1 可知,当 0<a<1 时两函数只有一个交点,不符合;由图 2 知,当 a>1 时,因为函数 y=ax(a>1)与 y 轴交于点(0,1),而直线 y=x+a 所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点,所 以实数 a 的取值范围是 a>1.

答案 a>1 7.(2010· 苏州模拟)偶函数 f(x)在区间[0,a](a>0)上是单调函数,且 f(0)· f(a)<0,则方程 f(x) =0 在区间[-a,a]内根的个数是________.
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解析 由 f(0)· f(a)<0,且 f(x)在[0,a](a>0)上单调知 f(x)=0 在[0,a]上有一根,又函数 f(x) 为偶函数, f(x)=0 在[-a,0]上也有一根. 答案 2 8. (2010· 浙江温州一模)关于 x 的实系数方程 x2-ax+2b=0 的一根在区间[0,1]上, 另一根在 区间[1,2]上,则 2a+3b 的最大值为________. 解析 令 f(x)=x2-ax+2b,据题意知函数在[0,1],[1,2]内各存在一零点,结合二次函数 图象可知满足条件

?f(0)≥0 ?b≥0 ? ? ?f(1)≤0 ??1-a+2b≤0 ?f(2)≥0 ?4-2a+2b≥0 ? ?



在直角坐标系中作出满足不等式的点(a, b)所在的可行域, 问题转化为确定线性目标函数: z=2a+3b 的最优解,结合图形可知当 a=3,b=1 时,目标函数取得最大值 9. 答案 9 9.(2009· 江苏启东中学月考)若关于 x 的方程 3tx2+(3-7t)x+4=0 的两实根 α,β 满足 0<α<1<β<2,则实数 t 的取值范围是______________. 解析 依题意, 函数 f(x)=3tx2+(3-7t)x+4 的两个零点 α, 满足 0<α<1<β<2, β 且函数 f(x) 过点(0,4),则必有 ?4>0 ?f(0)>0

? ? ?f(1)<0 ,即?3t+3-7t+4<0 , ?f(2)>0 ?12t+6-14t+4>0 ? ?

7 解得 <t<5. 4 7 答案 <t<5 4 10.(14 分)(2010· 江苏镇江调研)已知二次函数 f(x)=4x2-2(p-2)x-2p2-p+1 在区间[-1,1] 内至少存在一个实数 c,使 f(c)>0,求实数 p 的取值范围. 解 二次函数 f(x)在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, f(c)>0 的否定是对于区间[-1,1] 使 内的任意一个 x 都有 f(x)≤0, ?f(1)≤0 ?4-2(p-2)-2p2-p+1≤0 ? ? ∴? ,即? 2 ? ? ?f(-1)≤0 ?4+2(p-2)-2p -p+1≤0
? 2 ?2p +3p-9≥0 整理得? 2 , ?2p -p-1≥0 ?

3 解得 p≥ 或 p≤-3. 2 ∴二次函数在区间[-1,1]内至少存在一个实数 c, 3 使 f(c)>0 的实数 p 的取值范围是?-3,2?. ? ? 11. 分)(2010· (16 扬州模拟)x1 与 x2 分别是实系数方程 ax2+bx+c=0 和-ax2+bx+c=0 的一 a 个根,且 x1≠x2,x1≠0,x2≠0.求证:方程 x2+bx+c=0 有一个根介于 x1 和 x2 之间. 2 证明 由于 x1 与 x2 分别是方程 ax2 +bx+c=0 和-ax2 +bx+c=0 的根,所以有 ? 2 ?ax1+bx1+c=0,
? 2 ? ?-ax2+bx2+c=0.

a 设 f(x)= x2+bx+c, 2 a a 则 f(x1)= x2+bx1+c=- x2, 2 1 2 1
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a 3a f(x2)= x2+bx2+c= x2. 2 2 2 2 3 于是 f(x1)f(x2)=- a2x2x2, 4 1 2 由于 x1≠x2,x1≠0,x2≠0, 所以 f(x1)f(x2)<0, a 因此方程 x2+bx+c=0 有一个根介于 x1 和 x2 之间. 2 12.(16 分)(2009· 江苏江阴模拟)已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区间 D,且区间 D 的长度为 12-t.(视区间[a,b]的长度为 b-a) 解 (1)∵函数 f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴是 x=8, ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. ∵函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有 ? ? ?f(1)≤0 ?1-16+q+3≤0 ? ,即? ,∴-20≤q≤12. ?f(-1)≥0 ?1+16+q+3≥0 ? ? (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10]上是增函数,且对称轴是 x=8. ①当 0≤t≤6 时,在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0, 15- 17 15± 17 解得 t= ,∴t= ; 2 2 ②当 6<t≤8 时,在区间[t,10]上 f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t,解得 t=8; ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0, 解得 t=8 或 t=9,∴t=9. 15- 17 综上可知,存在常数 t= ,8,9 满足条件. 2 题型 8: 函数模型及应用 一、填空题(本大题共 9 小题,每小题 6 分,共 54 分) 2 1.(2009· 广东揭阳调研)计算机的价格大约每 3 年下降 ,那么今年花 8 100 元买的一台计算 3 机,9 年后的价格大约是________. 1 解析 9 年后的价格大约是 8 100×( )3=300 元. 3 答案 300 元 2.(2010· 江苏南通一模)从盛满 20 升纯消毒液的容器中倒出 1 升,然后用水加满,再倒出 1 升,再用水加满.这样继续下去,则所倒次数 x 和残留消毒液 y 之间的函数解析式为_ _______. 解析 所倒次数 1 次,则 y=19 19 所倒次数 2 次,则 y=19× 20 ?? 19 - 19 所倒次数 x 次,则 y=19( )x 1=20( )x. 20 20 19 答案 y=20( )x 20 3.(2009· 扬州期末)某电信公司推出手机两种收费方式:A 种方式是 月租 20 元,B 种方式是月租 0 元.一个月的本地网内打出电话时 间(分钟)与打出电话费 s(元)的函数关系如图,当打出电话 150 分
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钟时,这两种方式电话费相差________. 解析 如题图,当打出电话 150 分钟时,这两种方式电话费差为 BD 50 线段 BD 的长度,根据相似三角形的性质可得 = , 20 100 ∴BD=10. 答案 10 元 4. (2009· 锡、 镇调研)某市出租车收费标准如下: 苏、 常、 起步价为 8 元, 起步里程为 3 km(不 超过 3 km 按起步价收费);超过 3 km 但不超过 8 km 时,超过部分按每千米 2.15 元收费; 超过 8 km 时,超过的部分按每千米 2.85 元收费,每次乘车需付燃油附加费 1 元,现某人 乘坐一次出租车付费 22.6 元,则此次出租车行驶了____________千米. 解析 设乘客每次乘坐出租车需付费用为 f(x)元,由题意得, 0<x≤3 ?8+1, ? f(x)=?9+(x-3)×2.15, 3<x≤8 ?9+5×2.15+(x-8)×2.85, x>8 ? ,

令 f(x)=22.6,解得 x=9. 答案 9 5.(2010· 山东烟台模拟)某医药研究所开发一种新药,如果成年人按规定的剂量服用,据检 测,服药后每毫升血液中的含药量 y(毫克)与时间 t(小时)之间的关系用如图所示曲线表 示.据进一步测定,每毫升血液中含药量不少于 0.25 毫克时,治疗疾病有效,则服药一 次治疗该疾病有效的时间为________小时.

解析 本小题考查函数与不等式.由图知

0 ? t ?1 ?4t , ? f (t ) ? ? 1 t ?3 , 则f (t ) ? 0.25. ?( 2 ) , 0 ? t ? 1 ? t ? 5. . 解之得 16


y
2 sinx 1 cosx cosx 4

3 sinx 4

答案

cosx cosx 1 sinx 2 sinx 3

x

SIN\COS三角函数值大小关系图 1、 2、 3、 4表示第一、二、三、 四象限一半所在区域

6.(2010· 河南新乡模拟)甲、乙二人沿同一方向从 A 地去 B 地,途中都使用两种不同的速度 v1 与 v2(v1<v2),甲一半的路程使用速度 v1,另一半的路程使用速度 v2;乙一半时间使用 速度 v1,另一半的时间使用速度 v2.关于甲、乙二人从 A 地到达 B 地的路程与时间的函数 图象及关系,有如图中所示四个不同的图示分析(其中横轴 t 表示时间,纵轴 s 表示路程), 则其中可能正确的图示分析为______________.

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解析 因为开始时甲、乙的速度是相同的,所以其图象的前一段是重合的,故排除③④; 又 v1<v2,反映在图象上即后一段的增长率大于前一段的增长率,图象增长得快,只有① 符合题意. 答案 ① 7.(2009· 江苏盐城二模)水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水速度如图甲、 乙所示,某天 0 点到 6 点该水池的蓄水量如图丙所示(至少打开一个水口):给出以下三个 论断: ①0 点到 3 点只进水不出水; ②3 点到 4 点不进水只出水; ③4 点到 6 点不进水也不出水. 则一定正确的论断是________.

解析 从丙图可知在 0 点到 3 点,蓄水量由 0 增加到 6,因此是两个进水口同时打开了, 且出水口没有打开,故①正确;从 3 点到 4 点,蓄水量由 6 减少到 5,减少了 1,所以是 一个进水口和一个出水口同时打开了,故②错误;从 4 点到 6 点,蓄水量不变,由于题设 要求至少打开一个水口,故在该时段内是打开了两个进水口和一个出水口,故③错误. 答案 ① 8.(2010· 连云港模拟)某商场宣传在节假日对顾客购物实行一定的优惠,商场规定: ①如一次购物不超过 200 元,不予以折扣; ②如一次购物超过 200 元,但不超过 500 元,按标价予以九折优惠; ③如一次购物超过 500 元的,其中 500 元给予九折优惠,超过 500 元的给予八五折优惠; 某人两次去购物,分别付款 176 元和 432 元,如果他只去一次购买同样的商品,则应付款 ________元. 解析 由题意知付款 432 元, 10 实际标价为 432× =480 元, 9 如果一次购买标价 176+480=656 元的商品应付款 500×0.9+156×0.85=582.6 元. 答案 582.6 9.(2010· 苏州模拟)鲁能泰山足球俱乐部为救助失学儿童,准备在山东省体育中心体育场举 行一场足球义赛,预计卖出门票 2.4 万张,票价有 3 元、5 元和 8 元三种,且票价 3 元和 5 元的张数的积为 0.6 万张.设 x 是门票的总收入,经预算,扣除其他各项开支后,该俱 乐部的纯收入为函数 y=lg 2x,则这三种门票的张数分别为______________万张时可以为 失学儿童募捐的纯收入最大.
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解析 该函数模型 y=lg 2x 已给定,因而只需要将条件信息提取出来,按实际情况代入, 应用于函数即可解决问题. 设 3 元、5 元、8 元门票的张数分别为 a、b、c,则 ① ?a+b+c=2.4 ? ?ab=0.6 ② ?x=3a+5b+8c ③ ? .

①代入③有 x=19.2-(5a+3b)≤19.2-2 15ab =13.2(万元), ?5a=3b ? 当且仅当? 时等号成立, ? ?ab=0.6 解得 a=0.6,b=1,所以 c=0.8. 由于 y=lg 2x 为增函数,即此时 y 也恰有最大值. 故三种门票的张数分别为 0.6、1、0.8 万张时可以为失学儿童募捐的纯收入最大. 答案 0.6、1、0.8 10.(14 分)(2009· 江苏台州调研)我市有甲、乙两家乒乓球俱乐部,两家设备和服务都很好, 但收费方式不同.甲俱乐部每张球台每小时 5 元;乙俱乐部按月计费,一个月中 30 小时 以内(含 30 小时)每张球台 90 元,超过 30 小时的部分每张球台每小时 2 元.小张准备下 个月从这两家俱乐部中的一家租一张球台开展活动,其活动时间不少于 15 小时,也不超 过 40 小时. (1)设在甲俱乐部租一张球台开展活动 x 小时的收费为 f(x)元(15≤x≤40), 在乙俱乐部租一 张球台开展活动 x 小时的收费为 g(x)元(15≤x≤40),试求 f(x)和 g(x); (2)你认为小张选择哪家俱乐部比较合算?请说明理由. 解 (1)f(x)=5x,15≤x≤40. ?90, 15≤x≤30, ? g(x)=? ? ?90+2(x-30), 30<x≤40. (2)①若 15≤x≤30,当 5x=90 时,x=18, 即当 15≤x<18 时,f(x)<g(x), 当 x=18 时,f(x)=g(x), 当 18<x≤30 时,f(x)>g(x). ②若 30<x≤40,5x>30+2x 恒成立, 即 f(x)>g(x)恒成立. 综上所述,当 15≤x<18 时,小张选甲俱乐部比较合算; 当 x=18 时,两家一样合算; 当 18<x≤40 时,选乙俱乐部比较合算. 11.(16 分)(2010· 淮安模拟)某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每 吨为 1.80 元,当用水超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元, 已知甲、乙两用户该月用水量分别为 5x,3x 吨. (1)求 y 关于 x 的函数; (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费. 解 (1)当甲的用水量不超过 4 吨, 5x≤4, 即 乙的用水量也不超过 4 吨时, y=(5x+3x)×1.8 =14.4x; 当甲的用水量超过 4 吨,乙的用水量不超过 4 吨时, 即 3x≤4 且 5x>4, y=4×1.8+3x×1.8+3×(5x-4)=20.4x-4.8. 当乙的用水量超过 4 吨时, 即 3x>4,y=8×1.8+3(8x-8)=24x-9.6,

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? ? 4 4 所以 y=?20.4x-4.8, 5<x≤3 ?24x-9.6, x>4 ? 3
14.4x,

4 0≤x≤ 5 .

(2)由于 y=f(x)在各段区间上均为单调递增, 4 4 当 x∈?0,5?时,y≤f?5?<26.4; ? ? ? ? ?4,4?时,y≤f?4?<26.4; 当 x∈?5 3? ?3? 4 当 x∈?3,+∞?时,令 24x-9.6=26.4, ? ? 解得 x=1.5, 所以甲户用水量为 5x=7.5 吨, 付费 S1=4×1.8+3.5×3=17.70(元); 乙户用水量为 3x=4.5 吨, 付费 S2=4×1.8+0.5×3=8.70(元). 12.(16 分)(2009· 广东九校联考)2008 年北京奥运会中国跳水梦之队取 得了辉煌的成绩.据科学测算,跳水运动员进行 10 米跳台跳水训 练时,身体(看成一点)在空中的运动轨迹(如图所示)是一经过坐标 原点的抛物线(图中标出数字为已知条件),且在跳某个规定的翻腾 2 动作时,正常情况下运动员在空中的最高点距水面 10 米,入水处 3 距池边 4 米,同时运动员在距水面 5 米或 5 米以上时,必须完成规 定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误. (1)求这个抛物线的解析式; (2)在某次试跳中,测得运动员在空中的运动轨迹为(1)中的抛物线, 3 且运动员在空中调整好入水姿势时距池边的水平距离为 3 米,问此次跳水会不会失误? 5 请通过计算说明理由; (3)某运动员按(1)中抛物线运行,要使得此次跳水成功,他在空中调整好入水姿势时,距 池边的水平距离至多应为多大? ? ?f(0)=0 解 (1)由题设可设抛物线方程为 y=f(x)=ax2+bx+c(a<0),且? ,∴c=0,b ?f(2)=-10 ? =-5-2a, 即 y=f(x)=ax2-(5+2a)x 5+2a 2 (5+2a)2 =a(x- )- (a<0), 2a 4a 2 (5+2a) 2 5+2a ∴[f(x)]max=- = (a<0)且 >0, 4a 3 2a 5 得(6a+25)(2a+3)=0 且 a<- , 2 25 10 25 10 ∴a=- ,b= ,∴解析式为 y=- x2+ x. 6 3 6 3 3 (2)当运动员在空中距池边的水平距离为 3 米时, 5 3 8 即 x=3 -2= 时, 5 5 8 25 8 2 10 8 16 y=f( )=- ×( ) + × =- , 5 6 5 3 5 3
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16 14 ∴此时运动员距水面的距离为 10- = <5, 3 3 故此次跳水会出现失误. (3)设要使此次跳水成功,调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 m(m>2),则 f(m-2)≥ -5. 25 10 ∴- (m-2)2+ (m-2)≥-5, 6 3 12+ 34 即 5m2-24m+22≤0,∴2<m≤ , 5 12+ 34 ∴运动员此时距池边的水平距离最大为 米. 5 六、近三年高考试题分析 1、 (2011 湖南理科) 20. 如图 6,长方形物体 E 在雨中沿面 P(面积为 S)的垂直方向作匀速移动,速度为

v(v ? 0) ,雨速沿 E 移动方向的分速度为 c(c ? R) 。E 移动时单位时间内的淋雨量包括 ....
两部分: (1)P 或 P 的平行面(只有一个面

1 ; (2)其它面的淋雨量之和, 10 1 3 其 值为 ,记 y 为 E 移动 过程 中的总淋 雨量, 当移动 距离 d=100, 面积 S= 时 。 2 2
淋雨)的淋雨量, 假设其值与 v ? c ×S 成正比,比例系数为

(Ⅰ)写出 y 的表达式 (Ⅱ)设 0<v≤10,0<c≤5,试根据 c 的不同取值范围,确定移动速度 v ,使总淋雨量 y 最 少。 解析: (I)由题意知,E 移动时单位时间内的淋雨量为

3 1 |v?c|? , 20 2

故y?

100 3 1 5 ( | v ? c | ? ) ? (3 | v ? c | ?10) . v 20 2 v 5 5(3c ? 10) (3c ? 3v ? 10) ? ? 15; v v

(II)由(I)知,当 0 ? v ? c 时, y ?

当 c ? v ? 10 时, y ?

5 5(10 ? 3c) (3v ? 3c ? 10) ? ? 15. v v
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? 5(3c ? 10) ? 15, 0 ? v ? c ? ? v 故y?? 。 ? 5(10 ? 3c) ? 15, c ? v ? 10 ? v ?
(1)当 0 ? c ?

10 3c 时, y 是关于 v 的减函数.故当 v ? 10 时, ymin ? 20 ? 。 3 2

(2) 当

10 ? c ? 5 时,在 (0, c] 上, y 是关于 v 的减函数;在 (c,10] 上, y 是关于 v 的增函 3 50 。 c

数;故当 v ? c 时, ymin ?

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = x ,g ( x )= x + x 。 (Ⅰ)求函数 h ( x )= f ( x )-g ( x )的零点个数,并说明理由; (Ⅱ)设数列 {an }(n ? N * ) 满足 a1 ? a(a ? 0) , f (an?1 ) ? g (an ) ,证明:存在常数 M,使
* 得对于任意的 n ? N ,都有 an ≤ M .
3

, ) 解 析 : ( I ) 由 h( x) ? x3 ? x ? x 知 , x ? [ 0 ? ?, 而 h( 0?)

0 , 且

( 2) h( 1?)? ? 1h 0?, ? ( 2 ?) ,则 x ? 0 为 h( x) 的一个零点,且 h( x) 在 1, 内有零点, 6 2 0
因此 h( x) 至少有两个零点 解法 1: h'( x) ? 3x ? 1 ?
2

1 ?1 1 ?1 1 ?3 x 2 ,记 ? ( x) ? 3x 2 ? 1 ? x 2 ,则 ? '( x) ? 6 x ? x 2 。 2 2 4

当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多 只有一个零点。又因为 ? (1) ? 0, ? (

3 3 ) ? 0 ,则 ? ( x) 在 ( ,1) 内有零点,所以 ? ( x) 在 3 3

(0, ??) 内有且只有一个零点。记此零点为 x1 ,则当 x ? (0, x1 ) 时, ? ( x) ? ? '(x1 ) ? 0 ;当

x ? ( x1 , ??) 时, ? ( x) ? ?'( x1 ) ? 0 ;
所以, 当 x ? (0, x1 ) 时, h( x) 单调递减,而 h(0) ? 0 ,则 h( x) 在 (0, x1 ] 内无零点;
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当 x ? ( x1 , ??) 时, h( x) 单调递增,则 h( x) 在 ( x1 , ??) 内至多只有一个零点; 从而 h( x) 在 (0, ??) 内至多只有一个零点。综上所述, h( x) 有且只有两个零点。 解法 2: h( x) ? x( x 2 ? 1 ? x 2 ) ,记 ? ( x) ? x2 ? 1 ? x
? 1 ? 1 2

,则 ? '( x) ? 2 x ?

1 ?3 x 2。 2

当 x ? (0, ??) 时, ? '( x) ? 0 ,因此 ? ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,则 ? ( x) 在 (0, ??) 内至多 只有一个零点。因此 h( x) 在 (0, ??) 内也至多只有一个零点, 综上所述, h( x) 有且只有两个零点。 (II)记 h( x) 的正零点为 x0 ,即 x03 ? x0 ?

x0 。 x0 ? x03 ,因此 a2 ? x0 ,

(1)当 a ? x0 时,由 a1 ? a ,即 a1 ? x0 .而 a23 ? a1 ? a1 ? x0 ? 由此猜测: an ? x0 。下面用数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? x0 显然成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? x0 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? x0 ? x0 ? x03 知, ak ?1 ? x0 ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? x0 成立。
故对任意的 n ? N , an ? x0 成立。
*

(2)当 a ? x0 时,由(1)知, h( x) 在 ( x0 , ??) 上单调递增。则 h(a) ? h( x0 ) ? 0 ,即

a3 ? a ? a 。从而 a23 ? a1 ? a1 ? a ? a ? a3 ,即 a2 ? a ,由此猜测: an ? a 。下面用
数学归纳法证明: ①当 n ? 1 时, a1 ? a 显然成立; ②假设当 n ? k (k ? 1) 时,有 ak ? a 成立,则当 n ? k ? 1 时,由

ak ?13 ? ak ? ak ? a ? a ? a3 知, ak ?1 ? a ,因此,当 n ? k ? 1 时, ak ?1 ? a 成立。
故对任意的 n ? N , an ? a 成立。
*

综上所述,存在常数 M ? max{x0 , a},使得对于任意的 n ? N ,都有 an ? M .
*

2、 (2010 年湖南理科) 16. (本小题满分 12 分)
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已知函数 f ( x) ? 3 sin 2 x ? 2sin 2 x . (Ⅰ)求函数 f ( x) 的最大值; (II)求函数 f ( x) 的零点的集合。

20.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? x2 ? bx ? c(b, c ? R), 对任意的 x ? R ,恒有 f ' ( x) ? f ( x) 。 (Ⅰ)证明:当 x ? 0 时, f ( x) ? ( x ? c)2 ; (Ⅱ)若对满足题设条件的任意 b,c,不等式 f (c) ? f (b) ? M (c2 ? b2 ) 恒成立,求 M 的最小值。 3、 (2009 年湖南理科) 8.设函数 y ? f ( x)在(??,??) 内有定义,对于给定的正数 K,定义函数

? f ( x), f ( x) ? K , f K ( x) ? ? ? K , f ( x) ? K .
取函数 f ( x) ? 2 ? x ? e .若对任意的 ? (??,??), 恒有f K ( x) ? f ( x) ,则(D) x A.K 的最大值为 2 C.K 的最大值为 1 B.K 的最小值为 2 D.K 的最小值为 2
?x

19. (本小题满分 13 分) 某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距 m 米,余下工程只需建两端桥墩 之间的桥面和桥墩,经测算,一个桥墩的工程费用为 256 万元;距离为 x 米的相邻两墩 之间的桥面工程费用为 (2 ?

x) x 万元。假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且

不考试其它因素。记余下工程的费用为 y 万元。 (1)试写出 y 关于 x 的函数关系式; (2)当 m=640 米时,需新建多少个桥墩才能使 y 最小? 19.解: (I)设需新建 n 个桥墩,则 (n ? 1) x ? m, 即n ?

m ? 1, x

所以y ? f ( x) ? 256n ? (n ? 1)(2 ? x ) x ? 256( ? 256m ? m x ? 2m ? 256. x

m m ? 1) ? (2 ? x ) x x x

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(II)由(I)知, f ?( x) ? ?
3 2

256m 1 ? 2 m ? m x ? 2 ( x 2 ? 512). 2 2 x 2x

1

3

令f ?( x) ? 0, 得x ? 512, 所以x ? 64. 当0 ? x ? 64时, f ?( x) ? 0, f ( x)在区间(0,64)内为减函数; 当64 ? x ? 640 , f ?( x) ? 0, f ( x)在区间(64,640)内为增函数. 时 所以f ( x)在x ? 64处取得最小值 . m 640 此时n ? ? 1 ? ? 1 ? 9. x 64
故需新建 9 个桥墩才能使 y 最小。 七、总结 1.映射:注意: ①第一个集合中的元素必须有象;②一对一或多对一. 2.函数值域的求法:①分析法 ;②配方法 ;③判别式法 ;④利用函数单调性 ;⑤换元 法 ; ⑥利用均值不等式

ab ?

a?b ? 2

a2 ? b2 ; ⑦利用数形结合或几何意义(斜率、距 2

离、绝对值的意义等) ;⑧利用函数有界性( a ? 、sin?、cos? 等) ;⑨平方法;⑩ 导数法 3.复合函数的有关问题: (1)复合函数定义域求法: ① 若 f(x)的定义域为 [a, ,则复合函数 f[g(x)]的定义域由不等式 a ≤ g(x) ≤ b] b 解出 ② 若 f[g(x)]的定义域为[a,b],求 f(x)的定义域,相当于 x∈[a,b]时,求 g(x)的 值域. (2)复合函数单调性的判定: ①首先将原函数 y ? f [ g ( x)] 分解为基本函数:内函数 u ? g (x) 与外函数 y ? f (u ) ②分别研究内、外函数在各自定义域内的单调性 ③根据“同性则增,异性则减”来判断原函数在其定义域内的单调性. 4.分段函数:值域(最值) 、单调性、图象等问题,先分段解决,再下结论。 5.函数的奇偶性: ?函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 .... ? f (x) 是奇函数 ? f (? x) ? ? f ( x) ; f (x) 是偶函数 ? f (? x) ? f ( x) . ?奇函数 f (x) 在 0 处有定义,则 f (0) ? 0 ?在关于原点对称的单调区间内:奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性 ?若所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判断其奇偶性 6.函数的单调性: ?单调性的定义:

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① f (x) 在区间 M 上是增函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ② f (x) 在区间 M 上是减函数 ? ?x1 , x2 ? M , 当 x1 ? x 2 时有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ?单调性的判定: ①定义法: 一般要将式子 f ( x1 ) ? f ( x2 ) 化为几个因式作积或作商的形式, 以利于判断符号;②导数法(见导数部分) ;③复合函数法;④图像法 注:证明单调性主要用定义法和导数法。 7.函数的周期性: (1)周期性的定义: 对定义域内的任意 , 若有 f ?x ? T ? ? f ?x ? (其中 T 为非零常数) ,
A B D C

则称函数 f (x) 为周期函数, T 为它的一个周期。所有正周期中最小的称为函数的 最小正周期。如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期。 (2)三角函数的周期:① y ? sin x : T ? 2? ;② y ? cos x : T ? 2? ; ③ y ? tan x : T ? ? ;④ y ? A sin(?x ? ? ), y ? cos(?x ? ? ) : T ? ⑤ y ? tan ?x : T ? (3)与周期有关的结论:

2?

?



? ?

f ( x ? a) ? f ( x ? a)或f ( x ? 2a) ? f ( x)(a ? 0) ? f ( x)的周期为 a 2
8.基本初等函数的图像与性质: ㈠.?指数函数: y ? a (a ? 0, a ? 1) ;?对数函数: y ? loga x(a ? 0, a ? 1) ;
x

?幂函数: y ? x

?

( ? ? R) ;?正弦函数: y ? sin x ;?余弦函数: y ? cos x ;
2

(6)正切函数: y ? tan x ;⑺一元二次函数: ax ? bx ? c ? 0 (a≠0) ;⑻其它常用函 数: (1) 正 比 例 函 数 : y ? kx(k ? 0) ; ② 反 比 例 函 数 : y ?

k ( k ? 0) ; ③ 函 数 x

y ? x?

a (a ? 0) x
m n

㈡.?分数指数幂: a n ?
b

am ; a

?

m n

?

1 a
m n

(以上 a ? 0, m, n ? N ,且 n ? 1 ).

?

?.① a ? N ? loga N ? b ; ③ log a

② loga ?MN ? ? loga M ? loga N ;

M n ? log a M ? log a N ; ④ log am b n ? log a b . N m log m N log N ?.对数的换底公式: log a N ? .对数恒等式: a a ? N . log m a
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9.二次函数: ?解析式:①一般式: f ( x) ? ax2 ? bx ? c ;②顶点式: f ( x) ? a( x ? h) 2 ? k , ( h, k ) 为 顶点; ③零点式: f ( x) ? a( x ? x1 )(x ? x2 ) (a≠0). ?二次函数问题解决需考虑的因素: ①开口方向;②对称轴;③端点值;④与坐标轴交点;⑤判别式;⑥两根符号。 二 次 函 数 y ? ax2 ? bx ? c 的 图 象 的 对 称 轴 方 程 是 x ? ?

b ,顶点坐标是 2a

? b 4ac ? b 2 ? ?? , ?。 ? 2a 4a ? ? ?
10.函数图象: ?图象作法 :①描点法 (特别注意三角函数的五点作图)②图象变换法 ③导数法 ?图象变换: ① 平移变换:ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a) , ( a ? 0) ———左“+”右“-”; ⅱ) y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? k , (k ? 0) ———上“+”下“-”;

? ② 对称变换:ⅰ) y ? f (x) ?? ? y ? ? f (? x) ;ⅱ) y ? f (x) ??? y ? ? f (x) ;
( 0, 0 )

y ?0

? ⅲ) y ? f (x) ??? y ? f (? x) ; ⅳ) y ? f (x) ??? x ? f ( y ) ;
③ 翻折变换: ⅰ) y ? f ( x) ? y ? f (| x |) ———(去左翻右)y 轴右不动,右向左翻( f (x) 在 y 左侧图 象去掉) ; ⅱ) y ? f ( x) ? y ?| f ( x) | ———(留上翻下)x 轴上不动,下向上翻(| f (x) |在 x 下面 无图象) ; 11.函数图象(曲线)对称性的证明: (1)证明函数 y ? f (x) 图像的对称性,即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴) 的对称点仍在图像上; (2)证明函数 y ? f (x) 与 y ? g (x) 图象的对称性,即证明 y ? f (x) 图象上任意点关 于对称中心(对称轴)的对称点在 y ? g (x) 的图象上,反之亦然。 注:①曲线 C1:f(x,y)=0 关于原点(0,0)的对称曲线 C2 方程为:f(-x,-y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 x=0 的对称曲线 C2 方程为:f(-x, y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=0 的对称曲线 C2 方程为:f(x, -y)=0; 曲线 C1:f(x,y)=0 关于直线 y=x 的对称曲线 C2 方程为:f(y, x)=0

x ?0

y ?x

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②f(a+x)=f(b-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=

③ y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, b) 对称 ? f ?a ? x ? ? f ?a ? x ? ? 2b .

特别地:f(a+x)=f(a-x) (x∈R) ? y=f(x)图像关于直线 x=a 对称. 特别地: y ? f ( x) 的图象关于点 ( a, 0) 对称 ? f ?a ? x ? ? ? f ?a ? x ? . 函数 y ? f (a ? x) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? 0 对称。

a?b 对称; 2

④函数 y ? f ( x ? a) 与函数 y ? f (a ? x) 的图象关于直线 x ? a 对称;

12.函数零点的求法: ?直接法(求 f ( x) ? 0 的根) ;?图象法;?二分法. (4)零点定理:若 y=f(x)在[a,b]上满足 f(a)·f(b)<0 , 则 y=f(x)在(a,b)内至少有一个 零点。 八、命题预测试 预测 1. 函数 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? a 在区间 (??,1) 上有最小值,则函数 g ( x) ? 区间 (1,??) 上一定 A.有最小值 B.有最大值 C.是减函数 D.是增函数

f ( x) 在 x

解 析 : 函 数 f ( x) 图 像 的 对 称 轴 为 x ? a , 依 题 意 有 a ? 1 , 所 以

g ( x) ?

f ( x) a ? x ? ? 2a , g ( x) 在 (0, a ) 上 递 减 , 在 ( a ,?? ) 上 递 增, 故 g ( x) 在 x x

(1, ??) 上也递增,无最值,选 D.
动向解读:本题考查二次函数、不等式以及函数的最值问题.对于二次函数,高考有着 较高的考查要求,应熟练掌握二次函数及其有关问题的解法.在研究函数的单调性以及最值 问题时,要善于运用基本不等式以及函数 y ? x ?

p ( p ? 0) 的单调性进行求解. x 2x ( x ? 0) 的部分图像分别对 预测 2. 如图,当参数 ? 分别取 ?1 , ?2 时,函数 f ( x) ? 1? ? x

应曲线 C1 , C2 ,则有

A. 0 ? ?1 ? ?2

B. 0 ? ?2 ? ?1

C.

?1 ? ?2 ? 0

D.

?2 ? ?1 ? 0

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解析: 由于函数 f ( x) ?

2x 的图像在 [0, ??) 上连续不间断, 所以必有 ?1 ? 0, ?2 ? 0 . 1? ? x

又因为当 x ? 1 时,由图像可知

2 2 ,故 ?1 ? ?2 ,所以选 A. ? 1 ? ?1 1 ? ?2

动向解读:本题考查函数的图像问题,这是高考考查的热点题型,其特点是给出函数 图象,求函数解析式或确定其中的参数取值范围.解决这类问题时,要善于根据函数图象分 析研究函数的性质,从定义域、值域、对称性、单调性、经过的特殊点等方面获取函数的 性质,从而确定函数的解析式或其中的参数取值范围. 预测 3. 已知函数 f ( x) ? ex ? mx 的图像为曲线 C,若曲线 C 不存在与直线 y ? 直的切线,则实数 m 的取值范围是 A. m ? ?

1 x垂 2

1 2

B. m ? ?

1 2

C. m ? 2

D. m ? 2

' x 解析: f ( x) ? e ? m ,曲线 C 不存在与直线 y ?

1 x 垂直的切线,即曲线 C 不存在斜 2

率等于 ?2 的切线,亦即方程 e ? m ? ?2 无解, e ? m ? 2 ,故 m ? 2 ? 0 ,因此 m ? 2 .
x x

动向解读:本题考查导数的几何意义,这是高考对导数考查的一个重要内容和热点内 容,涉及曲线的切线问题都可考虑利用导数的几何意义解决,求解这类问题时,要始终以 “切点”为核心,并注意对问题进行转化. 预测 4. (理科)已知函数 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范围是 A. [?1, 0) B. (0, ??) C. [?2, 0) D. (??, ?2)

?a ? 0 ? 解析:若 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 , a 无解;若 f ( x ) 在 R 上单调递减, ?a ? 2 ? 1 ? ?a ? 0 ? 则有 ? a ? 2 ? 0 ,解得 ?1 ? a ? 0 ,综上实数 a 的取值范围是 [?1, 0) .故选 A. ?a ? 2 ? 1 ?
动向解读:本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想,这些都是高考的重 要考点.解决这类问题时,要特别注意:分段函数在 R 上单调递增(减) ,不仅要求函数在 每一段上都要单调递增(减) ,还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不小于)分段 点右侧的函数值.

?ax 2 ? 1? x ? 0 ? ? (文科) 已知函数 f ? x ? ? ? 为 R 上的单调函数,则实数 a 的取值范 x ?(a ? 2)e ? x ? 0 ? ?
围是 A. (2,3] B. (2, ??) C. (??,3] D. (2, 3)

第 39 页 共 39 页

?a ? 0 ? 解析:若 f ( x ) 在 R 上单调递增,则有 ? a ? 2 ? 0 ,解得 2 ? a ? 3 ;若 f ( x ) 在 R 上单 ?a ? 2 ? 1 ? ?a ? 0 ? 调递减,则有 ? a ? 2 ? 0 , a 无解,综上实数 a 的取值范围是 (2,3] . ?a ? 2 ? 1 ?
动向解读:本题考查分段函数、函数的单调性以及分类讨论思想,这些都是高考的重 要考点.解决这类问题时,要特别注意:分段函数在 R 上单调递增(减) ,不仅要求函数在 每一段上都要单调递增(减) ,还应满足函数在分段点左侧的函数值不大于(不小于)分段 点右侧的函数值. 预测 5. (理科) 设函数 f ( x) ? x 2 ? b ln(x ? 1) , 其中 b ? 0 . (1) b ? ?12 , f (x) 若 求 在 [1,3] 的最小值; (2)如果 f ( x) 在定义域内既有极大值又有极小值, 求实数 b 的取值范围; (3)是否存在最小的正整数 N ,使得当 n ? N 时,不等式 ln 解析: (1)由题意知, f (x) 的定义域为 (?1,??) ,

n ?1 n ?1 ? 3 恒成立. n n

12 2 x 2 ? 2 x ? 12 ? ? 0 ,得 x ? 2 ( x ? ?3 舍去) , x ?1 x ?1 当 x ? [1, 2) 时, f / ( x) ? 0 ,当 x ? (2,3] 时, f / ( x) ? 0 , 所以当 x ? [1, 2) 时, f ( x ) 单调递减;当 x ? (2,3] 时, f ( x ) 单调递增, 所以 f ( x)min ? f (2) ? 4 ?12ln 3 ;
b ? ?12 时,由 f / ( x) ? 2 x ?
( 2 ) 由 题 意 f ( x) ? 2 x ?
/

b 2x2 ? 2x ? b ? ? 0 在 (?1,??) 有 两 个 不 等 实 根 , 即 x ?1 x ?1

2 x 2 ? 2 x ? b ? 0在 (?1,??) 有两个不等实根, ?? ? 4 ? 8b ? 0 1 2 设 g ( x) ? 2 x ? 2 x ? b ,则 ? ,解之得 0 ? b ? ; 2 ? g (?1) ? 0 (3)对于函数 f ?x? ? x 2 ? ln(x ? 1) ,令函数 h?x? ? x 3 ? f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ln(x ? 1) ,

1 3x 3 ? ( x ? 1) 2 ? ,?当x ? [0,??)时,h / ?x ? ? 0 , x ?1 x ?1 所以函数 h?x ? 在 [0,??) 上单调递增,又 h(0) ? 0,? x ? (0,??) 时,恒有 h?x ? ? h(0) ? 0 , 1 n ?1 1 1 2 3 ? 2 ? 3 恒成立. 即 x ? x ? ln(x ? 1) 恒成立.取 x ? ? (0,?? ) ,则有 ln n n n n n ?1 1 1 ? 2 ? 3 恒成立. 显然,存在最小的正整数 N=1,使得当 n ? N 时,不等式 ln n n n
则 h ?x ? ? 3x ? 2 x ?
/ 2

动向解读:函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题 以“参数处理”为主要特征,以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最 值”为结合点,往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识,需要综合运用等 价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. (文科)已知函数 f ( x) ? ax ?

a ? 3ln x .(1)当 a ? 2 时,求函数 f ( x) 的最小值; (2) x
第 40 页 共 40 页

若 f ( x ) 在 [2, e] 上单调递增,求实数 a 的取值范围. 解析: (1)当 a ? 2 时, f ( x) ? 2 x ?

2 ? 3ln x ,定义域为 (0, ??) . x

f ' ( x) ? 2 ?

1 2 3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? ? ,令 f ' ( x) ?0 ,得 x ? 2 ( x ? ? 舍去) ,当 x 变化时, 2 2 2 x x x

f ( x) , f ' ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(0, 2)

2

(2, ??)

?
递减

0
极小值

?
递增

所以函数 f ( x ) 在 x ? 2 时取得极小值, 同时也是函数在定义域上的最小值 f (2) ? 5 ? 3ln 2 . (2)由于 f ( x) ? a ?
'

a 3 a 3 ? ,所以由题意知, f ' ( x) ? a ? 2 ? ? 0 在 [2, e] 上恒成立. 2 x x x x

3x ax 2 ? 3x ? a ? 0 ,所以 ax 2 ? 3x ? a ? 0 在 [2, e] 上恒成立,即 a ? 2 即 . 2 x ?1 x
令 g ( x) ?

3x ?3 ? 3x 2 ' 2 , g ' ( x) ? 2 而 , x ? [, ]e 时 g ( x) ? 0 , 当 所以 g ( x) 在 [2, e] 上 x2 ?1 ( x ? 1)2
3x 恒成立,应有 a ? 2 . x ?1
2

递减,故 g ( x) 在 [2, e] 上得最大值为 g (2) ? 2 ,因此要使 a ?

动向解读:函数、导数、不等式的综合问题是近几年高考的一个热点题型,这类问题 以“参数处理”为主要特征,以“导数运用”为主要手段,以“函数的单调性、极值、最 值”为结合点,往往涉及到函数、导数、不等式、方程等多方面的知识,需要综合运用等 价转换、分类讨论、数形结合等重要数学思想方法. 九、巩固练习 1.函数 y=

kx ? 7 的定义域是一切实数,则实数 k 的取值范围是_____________ kx ? 4kx ? 3
2

2.判断函数 f(x)=(x-1)

1? x 的奇偶性为____________________ 1? x

3.设函数 f(x)=

2x ? 3 - ,函数 y=g(x)的图象与函数 y=f 1(x+1)的图象关于直线 y=x 对称,则 g x ?1

(3)=_____________ - - 4. 方程 log2(9 x 1-5)-log2(3 x 1-2)-2=0 的解集为___________________5.给出下列两个条件: (1)f( x +1)=x+2 x ;(2)f(x)为二次函数且 f(0)=3,f(x+2)-f(x)=4x+2.试 分别求出 f(x)的解析式.?

第 41 页 共 41 页

6:(1)已知 f( ? 1 )=lgx,求 f(x) ;? (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17,求 f(x) ;? (3)已知 f(x)满足 2f(x)+f(
1 )=3x,求 f(x).? x

2 x

? ?x 2 , ? ?1, 7:已知函数 f(x)= ? 1 ?? , ? x

x ? 0, x ? 0, x ? 0.

(1)画出函数的图象; (2)求 f(1),f(-1),f ? f (?1)? 的值. 1-7、小结归纳 1.了解映射的概念,应紧扣定义,抓住任意性和唯一性. 2.函数的解析式常用求法有:待定系数法、换元法(或凑配法) 、解方程组法.使用换元 法时,要注意研究定义域的变化. 3.在简单实际问题中建立函数式,首先要选定变量,然后寻找等量关系,求得函数的解析 式,还要注意定义域.若函数在定义域的不同子集上的对应法则不同,可用分段函数来表 示. 8. 求下列函数的定义域:? (1) y ?

( x ? 1)0 ; (2) y ? | x | ?x

1
3

x ?3
2

? 5 ? x 2 ; ?(3) y ? x ? 1? x ?1 .?

9:求下列函数的定义域:?

x2 0 (1)y ? ? ? 5 x ? 4 ? ; (3) y ? 25 ? x2 ? lgcos x ; ? ? x ? 1? ; (2) y ? 2 lg(4 x ? 3) 12 ? x ? x
0

lg(2 ? x)

10. 设函数

,求下列函数的定义域.? y ? f ? x ? 的定义域为[0,1]

(1) y ? ? 3x ? ; (2) y ? f ?

1? ?1? ? (3) y ? f ? x ? ? ? ?; 3? ? x? ?

1? ? f ?x? ?; 3? ?

(4) y ? f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? . 11:若函数 f ? x ? 的定义域是 [0,1] ,则 f ? x ? a ??f ? x ? a ? ? 0 ? a ? ? B.

? ?

1? ? 的定义域是( 2?

) A. ?

?a,1 ? a?

C.

??a,1? a?

D.

?0,1?
ex ?1 .? ex ? 1

12. 求下列函数的值域:? (1) y ?

x2 ? x ; x2 ? x ? 1

(2) y ? x ? 1 ? 2x ;? (3) y ?

第 42 页 共 42 页

13.求下列函数的值域:? (1) y ?

1? x ;? 2x ? 5

(2) y ? x

1 ? x 2 .?

14:已知函数

f ? x ? ? x2 ? 4ax ? 2a ? 6 ? x ? R ? .?

(1)求函数的值域为[0,+∞)时的 a 的值;? (2)若函数的值均为非负值,求函数 f(a)=2-a|a+3|的值域.?

8-14、小结归纳 1.求函数的定义域一般有三类问题:一是给出解释式(如例 1) ,应抓住使整个解式有意义 的自变量的集合;二是未给出解析式(如例 2) ,就应抓住内函数的值域就是外函数的定义 域;三是实际问题,此时函数的定义域除使解析式有意义外,还应使实际问题或几何问题 有意义. 2.求函数的值域没有通用方法和固定模式,除了掌握常用方法(如直接法、单调性法、有 界性法、配方法、换元法、判别式法、不等式法、图象法)外,应根据问题的不同特点, 综合而灵活地选择方法.

x?2 ? a ? ?? ,证明:函数 f ? x ? 在(-1,+∞)上为增函数.? x ?1 a 16:讨论函数 f ? x ? ? x ? ? a ? 0 ? 的单调性.? x
x 15. 已知函数 f ? x ? ? a ?

17. 判断函数 f ? x ? ?

x 2 ? 1 在定义域上的单调性.?
2

18:求函数 y ? log 1 (4 x ? x
2

) 的单调区间.

19. 求下列函数的最值与值域:? (1) y ? 4 ? 3 ? 2x ? x2 ; (2) y ? x ?

4 2 ; (3) y ? x ? 1 ? x

?2 ? x?

2

?4

20:在经济学中,函数 f ? x ? 的边际函数 Mf ? x ? 定义为 Mf ? x? ? f ? x ?1? ? f ? x? .某公司每月最 多生产 100 台报警系统装置,生产 x ? x ? 0? 台的收入函数为 R ? x ? ? 3000x ? 20x (单位:元),其
2

成本函数为 C ? x ? ? 500x ? 4000 (单位:元) ,利润是收入与成本之差.? (1)求利润函数 P ? x ? 及边际利润函数 MP ? x ? ;? (2)利润函数 P ? x ? 与边际利润函数 MP ? x ? 是否具有相同的最大值?? 21.已知定义在区间(0,+∞)上的函数 f ? x ? 满足 f ?

? x1 ? ? ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ,且当 x2 ? ?

x ?1 时,

f ? x? ? 0 .
(1)求 f ?1? 的值;?(2)判断 f ? x ? 的单调性;?(3)若 f ? 3? ? ?1 ,解不等式 f
第 43 页 共 43 页

? x ? ? ?2 .?

22:函数 f ? x ? 对任意的 a、b ? R ,都有 f ? a ? b ? ? f ?a ? ? f ?b ? ? 1 ,并且当 x ? 0 时, f ? x ? ? 1 . ? (1)求证: f ? x ? 是 R 上的增函数;? (2)若 f ? 4 ? ? 5 ,解不等式 f 3m 2 ? m ? 2 ? ? .? 15-22、归纳总结 1.证明一个函数在区间 D 上是增(减)函数的方法有:(1) 定义法.其过程是:作差——变形 ——判断符号,而最常用的变形是将和、差形式的结构变为积的形式的结构;(2) 求导法. 其过程是:求导——判断导函数的符号——下结论. 2.确定函数单调区间的常用方法有:(1)观察法;(2)图象法(即通过画出函数图象,观察 图象,确定单调区间) ;(3)定义法;(4)求导法.注意:单调区间一定要在定义域内. 3.含有参量的函数的单调性问题,可分为两类:一类是由参数的范围判定其单调性;一类 是给定单调性求参数范围, 其解法是由定义或导数法得到恒成立的不等式, 结合定义域求出 参数的取值范围. 23. 判断下列函数的奇偶性.? (1) f ? x ? ?

?

?

x 2 ? 1? 1 ? x 2 ;? x 2 ? 1)( x ? R ) ;

(2) f ? x ? ? log 2 ( x ?

(3) f ( x) ? lg x ? 2 .? 24:判断下列各函数的奇偶性:?(1) f ? x ? ? ? x ? 2 ?

2? x ;? 2? x

lg(1 ? x 2 ) (2) f ? x ? ? 2 ;? | x ? 2 | ?2
?x ? 2 ? (3) f ? x ? ? ?0 ?? x ? 2 ? ( x ? ?1), (| x |? 1), (x ? 1 . )

25 已知函数 f (x) ,当 x,y ? R 时,恒有 f ? x ? y ? ? f ? x ? ? f ? y ? .? (1)求证: f (x) 是奇函数;?
? (2)如果 x ? R , f ? x ? ? 0 ,并且 f (1) ? ?

1 ,试求 f (x) 在区间[-2,6]上的最值.? 2

26:已知 f (x) 是 R 上的奇函数,且当 x∈(-∞,0)时, f ( x) ? ? x lg(2 ? x) ,求 f (x) 的解析式.? 27 已知函数 f (x) 的定义域为 R,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ? x ? .? (1)求证: f (x) 是周期函数;?
第 44 页 共 44 页

(2)若 f (x) 为奇函数,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x ) ?

1 1 x ,求使 f ( x ) ? ? 在 2 2

?0, 2009? 上 的 所 有

x 的个数.?
28:已知函数 f ( x) ? x2 ? x ? a ?1, a ? R .? (1)试判断 f (x) 的奇偶性;? (2)若 ?

1 1 ? a ? ,求 f (x) 的最小值. 2 2

23-28 小结 1. 奇偶性是某些函数具有的一种重要性质, 对一个函数首先应判断它是否具有这种性质. 判 断函数的奇偶性应首先检验函数的定义域是否关于原点对称,然后根据奇偶性的定义判断 (或证明) 函数是否具有奇偶性. 如果要证明一个函数不具有奇偶性, 可以在定义域内找到 一对非零实数 a 与-a,验证 f(a)±f(-a)≠0. 2.对于具有奇偶性的函数的性质的研究,我们可以重点研究 y 轴一侧的性质,再根据其对 称性得到整个定义域上的性质. 3.函数的周期性:第一应从定义入手,第二应结合图象理解.
1 29 已知 a= 9 ,b=9.求:(1)
3

a

7 2

a

?3

?

3

a ? a
3

?8

15

; (2)

a ?1 ? b ?1

? ab ?

?1

30:化简下列各式(其中各字母均为正数): (1)
(a 3 ? b ?1 )
6 2 ? 1 2

? a 2 ? b3

1

1

a ? b5

(2)

2 1 1 ? 5 1 ?2 a 3 ? b ? (?3a 2 b ?1 ) ? (4a 3 ? b ?3 ) 2 . 6
2 x x

31. 函数 f(x)=x -bx+c 满足 f(1+x)=f(1-x)且 f(0)=3,则 f(b )与 f(c )的大小关系是 ( x x x x A.f(b )≤f(c )? B.f(b )≥f(c ) x x C.f(b )>f(c ) D.大小关系随 x 的不同而不同
1 2
a



32:已知实数 a、b 满足等式 ( ) ? ( ) ,下列五个关系式:?①0<b<a;②a<b<0;③0<a<b;④
b

1 3

b<a<0;⑤a=b.?其中不可能成立的关系式有 A.1 个 ? B.2 个 ? C.3 个 33. 求下列函数的定义域、值域及其单调区间:? (1)f(x)=3
x 2 ? 5x ? 4



) ? D.4 个?

;?(2)g(x)=-( ) ? 4( ) ? 5 .
x x

1 4

1 2

6? x ? 2 x 34:求下列函数的单调递增区间:?(1) y ? ( ) ; (2) y ? 2
2

1 2

x 2 ? x ?6

.

? 35.设 a>0,f(x)=
ex a ? 是 R 上的偶函数.? a ex

(1)求 a 的值;? (2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数.?

第 45 页 共 45 页

36:已知定义在 R 上的奇函数 f(x)有最小正周期 2,且当 x∈(0,1)时,f(x)= (1)求 f(x)在[-1,1]上的解析式;? (2)证明:f(x)在(0,1)上是减函数.? 29-36、小结归纳 1.
b

2x . 4 ?1
x

N

=a,ab=N,logaN=b(其中 N>0,a>0,a≠1)是同一数量关系的三种不同表示形式,

因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化, 选择最好的形式进行运算.在运算中, 根式常常化为指数式比较方便,而对数式一般应化为同底. 2.处理指数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 3.含有参数的指数函数的讨论问题是重点题型,解决这类问题最基本的分类方案是以“底” 大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次函数)形成的 函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注意知识的相互渗透 或综合. 37 计算: (1) log 2 ?
2

3

(2 ? 3)
2

(2)2(lg 2 ) +lg 2 ·lg5+ (lg 2 ) ? lg 2 ? 1 ;? (3) lg
1 2 32 4 - lg 8 +lg 245 .?? 49 3

38:化简求值.?
1 (1)log2 7 +log212- log242-1;?

48
2

2

(2)(lg2) +lg2·lg50+lg25;? (3)(log32+log92)·(log43+log83).? 39 比较下列各组数的大小.? (1)log3 2 与 log5 6 ;?(2)log1.10.7 与 log1.20.7;?
3
1 2

5
b a c
1 2 1 2

(3)已知 log b<log a<log c,比较 2 ,2 ,2 的大小关系.? 40:已知 0<a<1,b>1,ab>1,则 loga 1 , log b, log 1 的大小关系是
b
a b





b

A.loga 1 ? log b ? log 1
b
a b

b

B. log b ? log
a

a

1 1 ? log b b b

C. log b ? log
a

b

1 1 ? log a b b

D. log

b

1 1 ? log a ? log a b b b

41 已知函数 f(x)=logax(a>0,a≠1),如果对于任意 x∈[3,+∞)都有|f(x)|≥1 成立, 试求 a 的取值范围.? 42:已知函数 f(x)=log2(x -ax-a)在区间(-∞,? 1- 3 ]上是单调递减函数.求实数 a 的取值范 围.? 44.已知过原点 O 的一条直线与函数 y=log8x 的图象交于 A、B 两点,分别过 A、B 作 y 轴的平行与
2

第 46 页 共 46 页

函数 y=log2x 的图象交于 C、D 两点.? (1)证明:点 C、D 和原点 O 在同一直线上;? (2)当 BC 平行于 x 轴时,求点 A 的坐标.? 45:已知函数 f(x)=log2 x ? 1 +log2(x-1)+log2(p-x).?
x ?1

(1)求 f(x)的定义域;? (2)求 f(x)的值域.? 37-45、小结归纳 1.处理对数函数的有关问题,要紧密联系函数图象,运用数形结合的思想进行求解. 2.对数函数值的变化特点是解决含对数式问题时使用频繁的关键知识,要达到熟练、运用 自如的水平,使用时常常要结合对数的特殊值共同分析. 3. 含有参数的指对数函数的讨论问题是重点题型, 解决这类问题最基本的分类方案是以 “底” 大于 1 或小于 1 分类. 4.含有指数、对数的较复杂的函数问题大多数都以综合形式出现,与其它函数(特别是二次 函数)形成的函数问题,与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等,因此要注 意知识的相互渗透或综合. 46.作出下列函数的图象.?

(1)

y?

1 (lgx+|lgx|); 2

2x ?1 ; x ?1 1 x (3) y ? ( ) .? 2
(2) y ? 47:作出下列各个函数的图象: (1) y ? 2 ? 2x ; (2) y ? log ?1? x ? ; (3) y ? 1
2

2x ?1 .? x ?1
)?

48 函数 y=f(x)与函数 y=g(x)的图象如图,则函数 y=f(x)·g(x)的图象可能是 (

1

49:设 a>1,实数 x,y 满足 x ? log a y ? 0 ,则 y 关于 x 的函数的图象形状大致是 (

)

50.设函数 f(x)=x -2|x|-1 (-3≤x≤3).? (1)证明:f(x)是偶函数;? (2)画出函数的图象;? (3)指出函数 f(x)的单调区间,并说明在各个单调区间上 f(x)是增函数还是减函数;? (4)求函数的值域.?

2

第 47 页 共 47 页

46-50、小结归纳 1.作函数图象的基本方法是: ① 讨论函数的定义域及函数的奇偶性和单调性; ② 考虑是否可由基本初等函数的图象变换作出图象; ③ 准确描出关键的点线(如图象与 x、 轴的交点, y 极值点(顶点), 对称轴,渐近线, 等等). 2.图象对称性证明需归结为任意点的对称性证明. 3.注意分清是一个函数自身是对称图形,还是两个不同的函数图象对称. 51.写出下列函数的定义域,并指出它们的奇偶性: (1) y ? x
3

(2) y ? x

1 2 1

(3) y ? x ?2
? 1 2

(4) y ? x2 ? x?2

(5) y ? x 2 ? x
4 3 5

(6) f ( x) ? x 2 ? 3(? x) 4
3 5 1 2

1

1

52:讨论下列函数的定义域、值域,奇偶性与单调性: (1) y ? x5 (2) y ? x 53.比较大小: (1) 1.5 ,1.7
1 2 1 2 ?

(3) y ? x 4 (4) y ? x

?

(5) y ? x

?

(2) (?1.2)3 ,(?1.25)3

(3) 5.25?1 ,5.26?1 ,5.26?2 (4) 0.53 ,30.5 ,log3 0.5 54:将下列各组数用小于号从小到大排列:
2 2 2

(1) 2.5 3 ,(?1.4) 3 ,(?3) 3 (2) 0.16 4 ,0.5 2 ,6.258
? 3 ? 3 3

2 ?3 2 1 5 ?3 3 3 3 (3) ( ) , ( ) 2 , ( ) ,3 , ( ) 3 5 3 2
55.已知幂函数 y ? xm 求 m 的值. 56:证明幂函数 f ( x) ? x 2 在 [0, ??) 上是增函数. 51-56 小结 1.注意幂函数与指数函数的区别. 2.幂函数的性质要熟练掌握 x ?1 57.(1)若 f ( x ) ? ,则方程 f (4 x) ? x 的根是( ) x 1 1 A. B.- C.2 D.-2 2 2 (2)设函数 f ( x) 对 x ? R 都满足 f (3 ? x) ? f (3 ? x) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同的实数 根,则这 6 个实根的和为( )
第 48 页 共 48 页
1
2

1

1

1

2

?2 m?3

( m ? Z )的图象与 x 轴、 y 轴都无交点,且关于原点对称,

A.0 (3)已知

B.9

C.12

D.18 ) D. b 2 ? 4ac

5b ? c ( ,则有( ? 1 , a 、 b 、 c ∈R) 5a

A. b 2 ? 4ac

B. b 2 ? 4ac

C. b 2 ? 4ac

(4)关于 x 的方程 x2 ? (2m ? 8) x ? m2 ? 16 ? 0 的两个实根 实数 m 的取值范围

x 、 x 满足 x1 ? 3 ? x2 ,则
1 2

2

(5)若对于任意 a ?[?1, 1] ,函数 f ( x) ? x2 ? (a ? 4) x ? 4 ? 2a 的值恒大于零, 则 x 的取值 范围是 58: 当 0 ? x ? 1 时, 函数 y ? ax ? a ? 1 的值有正值也有负值, 则实数 a 的取值范围是 ( A. a ? )

1 2

B. a ? 1

C. a ? 或a ? 1

1 2

D.

1 ? a ?1 2

log 1 x ? 2 ? x , 59.设 x1 , x2 , x3 依次是方程 log2 ( x ? 2) ? ? x ,
2

2 x ? x ? 2 的实数根,试比较 x1 , x2 , x3 的大小 . 60:已知函数 y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 3) ? f ( x ? 1) ,且 x ∈[-1,1]时, f ( x) ?| x | ,则 y ? f ( x) 与 y ? log5 x 的图象交点的个数是( )
A.3 B.4 C.5 D.6

61. 已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx (a, b 为常数,且 a ? 0) 满足条件: f ( x ? 1) ? f (3 ? x) , 且方程 f ( x) ? 2 x 有等根 (1)求 f ( x) 的解析式; (2)是否存在实数 m 、 n ( m ? n) ,使 f ( x) 定义域和值域分别为[m,n]和[4m,4n] ,
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如果存在,求出 m、n 的值;如果不存在,说明理由 62:已知函数 f ( x) ?

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1 1 ? ( (a ? 0, x ? 0) a x

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(1)求证: f ( x) 在(0,+∞)上是增函数; (2)若 f ( x) ? 2 x 在(0,+∞)上恒成立,求 a 的取值范围; (3)若 f ( x) 在[m,n]上的值域是[m,n](m≠n),求 a 的取值范围 63.若函数 f ( x) ? 2 A. 0 ? m ? 1
?| x ?1 |

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? m 的图象与 x 轴有交点,则实数 m 的取值范围是(
C. m ? 1或m ? 0 D. m ? 1或m ? 0



B. 0 ? m ? 1

第 49 页 共 49 页

64:对于函数 f ( x) ,若存在 x 0 ∈R,使 f ( x0 )=x0 成立,则称 x 0 为 f ( x) 的不动点

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已知函数

f ( x) ? ax2 ? (b ? 1) x ? b ? 1 (a ? 0)
(1)当 a ? 1, b ? ?2 时,求 f ( x) 的不动点; (2)若对任意实数 b,函数 f ( x) 恒有两个相异的不动点,求 a 的取值范围; 57-64 小结 本节主要注意以下几个问题: 1.利用函数的图象求方程的解的个数; 2.一元二次方程的根的分布; 3.利用函数的最值解决不等式恒成立问题 65.如图所示,在矩形 ABCD 中,已知 AB=a,BC=b(b<a),在 AB,AD,CD,CB 上分别截取 AE,AH,CG,CF 都等于 x,当 x 为何值时,四边形 EFGH 的面积最大?并求出最大面积.

66:某商人将进货单价为 8 元的某种商品按 10 元一个销售时,每天可卖出 100 个,现在他 采用提高售价,减少进货量的办法增加利润,已知这种商品销售单价每涨 1 元,销售量就减 少 10 个,问他将售价每个定为多少元时,才能使每天所赚的利润最大?并求出最大值. 67. 据气象中心观察和预测:发生于 M 地的沙尘暴一直向正南方向移动,其移动速度 v(km/h)与时间 t(h)的函数图象如图所示,过线段 OC 上一点 T(t,0)作横轴 的垂线 l,梯形 OABC 在直线 l 左侧部分的面积即为 t(h)内沙尘暴所经过的路程 s(km). (1)当 t=4 时,求 s 的值;? (2)将 s 随 t 变化的规律用数学关系式表示出来;? (3)若 N 城位于 M 地正南方向,且距 M 地 650 km,试判断这 场沙尘暴是否会侵袭到 N 城,如果会,在沙尘暴发生后多长时间它将 侵袭到 N 城?如果不会,请说明理由.?

68:某工厂生产一种机器的固定成本(即固定投入)为 0.5 万元,但每生产 100 台, 需要加可变成本(即另增加投入)0.25 万元.市场对此产品的年需求量为 500 台,销售的收 入函数为 R(x)=5xx2 (万元)(0≤x≤5),其中 x 是产品售出的数量(单位:百台). 2

(1)把利润表示为年产量的函数;? (2)年产量是多少时,工厂所得利润最大?? (3)年产量是多少时,工厂才不亏本??

第 50 页 共 50 页

69. 某市居民自来水收费标准如下:每户每月用水不超过 4 吨时,每吨为 1.80 元,当用水 超过 4 吨时,超过部分每吨 3.00 元,某月甲、乙两户共交水费 y 元,已知甲、乙两用户该 月用水量分别为 5x,3x 吨.? (1)求 y 关于 x 的函数;? (2)若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元,分别求出甲、乙两户该月的用水量和水费.? 70:1999 年 10 月 12 日“世界 60 亿人口日” ,提出了“人类对生育的选择将决定世界未来” 的主题,控制人口急剧增长的紧迫任务摆在我们的面前.? (1)世界人口在过去 40 年内翻了一番,问每年人口平均增长率是多少?? (2)我国人口在 1998 年底达到 12.48 亿,若将人口平均增长率控制在 1%以内,我国人口 在 2008 年底至多有多少亿?? 以下数据供计算时使用: 数N 对数 lgN 数N 对数 lgN 1.010 0.004 3 3.000 0.477 1 1.015 0.006 5 5.000 0.699 0 1.017 0.007 3 12.48 1.096 2 1.310 0.117 3 13.11 1.117 6 2.000 0.301 0 13.78 1.139 2

65-70、小结归纳 解决函数应用问题应着重注意以下几点: 1.阅读理解、整理数据:通过分析、画图、列表、归类等方法,快速弄清数据之间的关系, 数据的单位等等; 2.建立函数模型:关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数,建立函数 模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式,不要忘记考察函数的定义域; 3. 求解函数模型: 主要是计算函数的特殊值, 研究函数的单调性, 求函数的值域、 最大(小) 值等,注意发挥函数图象的作用. 4.还原评价:应用问题不是单纯的数学问题,既要符合数学学科又要符合实际背景,因于 解出的结果要代入原问题进行检验、评判最后作出结论,作出回答.

(二) 、函数单元测试题
一、选择题 1.函数 y= log (3x ? 2) 的定义域是
1 2


2 3

)? D.( ,1]? ( )
2 3

? A.[1,+∞)

B.( ,+∞)?

2 3

C.[ ,1]?

2.(2009· 河南新郑二中模拟)设函数 f(x)=x|x|+bx+c,给出下列四个命题: ①当 b≥0 时,函数 y=f(x)是单调函数 ②当 b=0,c>0 时,方程 f(x)=0 只有一个实根 ③函数 y=f(x)的图象关于点(0,c)对称 ④方程 f(x)=0 至多有 3 个实根,其中正确命题的个数为 ? A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个? 3.(2008· 湛江模拟)下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 (
1

)?

? A.y=x 2 (x∈(0,+∞)) ? C.y=x
1 3

B.y=3 x(x∈R)? D.y=lg|x|(x≠0)?
第 51 页 共 51 页

(x∈R)?

4.(2008· 杭州模拟)已知偶函数 f(x)满足条件:当 x∈R 时,恒有 f(x+2)=f(x),且 0≤x≤1 时, 有
f ?(x ) >0,则

f(

98 106 101 ) ,f( ) ,f( ) 的大小关系是 17 19 15





? A. f( B. f( ? C. f( ? D. f(

106 98 101 )? ) >f( ) >f( 17 19 15
106 98 101 )? ) > f( ) >f( 17 19 15

98 106 101 ) > f( ) > f( ) 17 19 15

106 98 101 ) >f( ) , ) > f( 17 19 15

5.如图为函数 y=m+lognx 的图象, 其中 m, 为常数, n 则下列结论正确的是 ( ) ? A.m<0,n>1 ? B.m>0,n>1 ? ? C.m>0,0<n<1 ? ? D.m<0,0<n<1 ? 6.已知 f(x)是以 2 为周期的偶函数,且当 x∈(0,1)时,f(x)=2x-1,则 f(log212)的值为( ) ? A.
1 3

B.

4 3

C.2

D.11 ?
m 的值为 ( M

7. (2008· 重庆理, 已知函数 y= 1 ? x ? x ? 3 的最大值为 M, 4) 最小值为 m, 则 ? A.
1 4



B. ?

1 2

C.

2 2

D.

3 ? 2

8.若方程 2ax2-x-1=0 在(0,1)内恰有一解,则 a 的取值范围是 ( ) ? A.a<-1 ? B.a>1 ? C.-1<a<1 D.0≤a<1 ? 9.f(x)是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f(2)=0,则方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的 个数的最小值是 ( ) ? A.5 ? B.4 C.3 D.2 ? 10.某农贸市场出售西红柿,当价格上涨时,供给量相应增加,而需求量相应减少,具体调 查结果如下表: 表 1 市场供给表? 单价(元 /kg) 2 2.4 60 2.8 70 3.2 75 3.6 80 4 90

供给量 50 (1 000kg) 表 2 市场需求表? 单价(元 /kg) 4

3.4 60

2.9 65

2.6 70

2.3 75

2 80 )

供给量 50 (1 000kg)

根据以上提供的信息, 市场供需平衡点 (即供给量和需求量相等时的单价) 应在区间 ( ? ? A.(2.3,2.4)内? B.(2.4,2.6)内? ? C.(2.6,2.8)内? D.(2.8,2.9)内? 11.(2008· 成都模拟)已知函数 f(x)=loga( x ? 1 +bx) (a>0 且 a≠1), 则下列叙述正确的是 (
2



第 52 页 共 52 页

? A.若 a= ,b=-1,则函数 f(x)为 R 上的增函数? ? B.若 a= ,b=-1,则函数 f(x)为 R 上的减函数? ? C.若函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,则 b=± ? 1 ? D.若函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,则 b=1 ? 12.设函数 f(x)= ? 2 ?
? 1 x ( ) ?7 ? x ? ( x ? 0) ( x ? 0) ,
1 2

1 2

若 f(a)<1,则实数 a 的取值范围是





? A.(-∞,-3) B.(1,+∞)? C.(-3,1) D.(-∞,-3) ? (1,+∞)? 二、填空题 1 13.(2009· 广西河池模拟)已知函数 f(x)=log2(x2+1)(x≤0),则 f ?( 2) = . 14.已知函数 f(x)= ? 2 ?
? 1 x ( ) ? f ( x ? 1) ? ( x ? 4) ( x ? 4)

则 f(log23)的值为

.?

15. 2008· ( 通州模拟) 用二分法求方程 x3-2x-5=0 在区间 [2, 内的实根, 3] 取区间中点 x0=2.5, 那么下一个有实根的区间是 .? 答案 (2,2.5)? 16.(2008· 福州模拟)对于函数 f(x)定义域中任意的 x1,x2 (x1≠x2),? 有如下结论:? ①f(x1+x2)=f(x1)f(x2);? ②f(x1·2)=f(x1)+f(x2);? x ③
f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0;? x1 ? x2
x1 ? x2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) )< 2 2

④f(

当 f(x)=2x 时,上述结论中正确结论的序号是

.?

三、解答题 17.设直线 x=1 是函数 f(x)的图象的一条对称轴, 对于任意 x∈R,f(x+2)=-f(x),当-1≤x≤1 时, f(x)=x3. (1)证明:f(x)是奇函数;? (2)当 x∈[3,7]时,求函数 f(x)的解析式.?

18.等腰梯形 ABCD 的两底分别为 AB=10,CD=4,两腰 AD=CB=5,动点 P 由 B 点沿折线 BCDA 向 A 运动,设 P 点所经过的路程为 x,三角形 ABP 的面积为 S ? (1)求函数 S=f(x)的解析式;?
第 53 页 共 53 页

(2)试确定点 P 的位置,使△ABP 的面积 S 最大.?

19.(2008· 深圳模拟)据调查,某地区 100 万从事传统农业的农民,人均收入 3 000 元,为 了增加农民的收入,当地政府积极引进资本,建立各种加工企业,对当地的农产品进行深加 工,同时吸收当地部分农民进入加工企业工作,据估计,如果有 x (x>0)万人进企业工作, 那么剩下从事传统农业的农民的人均收入有望提高 2x%,而进入企业工作的农民的人均收入 为 3 000a 元 (a>0).? (1)在建立加工企业后,要使从事传统农业的农民的年总收入不低于加工企业建立前的农 民的年总收入,试求 x 的取值范围;? (2)在(1)的条件下,当地政府应该如何引导农民(即 x 多大时) ,能使这 100 万农民的 人均年收入达到最大.?
1 ? ax 是奇函数.? 1 ? 2x

20.设 a,b∈R,且 a≠2,定义在区间(-b,b)内的函数 f(x)= lg (1)求 b 的取值范围;? (2)讨论函数 f(x)的单调性.?

21.已知定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(f(x)-x2+x)=f(x)-x2+x.? (1)若 f(2)=3,求 f(1);又若 f(0)=a,求 f(a);? (2)设有且仅有一个实数 x0,使得 f(x0)=x0,求函数 f(x)解析表达式.?

22.(2008· 南京模拟)已知函数 y=f(x)是定义在区间[- , ]上的偶函数,且 x∈[0, ]时,f(x)=-x2-x+5.? (1)求函数 f(x)的解析式;? (2) 若矩形 ABCD 的顶点 A, 在函数 y=f(x)的图象上, B 顶点 C, 在 x 轴上, D 求矩形 ABCD 面积的最大值.?
3 2

3 2

3 2

第 54 页 共 54 页



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