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1.3.2


1.3.2 球的体积和表面积 制作一个乒乓球和一个篮球,分别需要多少材质? 把氢气球充满,需要多少氢气呢? 1.了解球的体积、表面积的推导过程.(难点) 2.会用球的表面积公式、体积公式解决相关问题. (重点) 3.能解决与球的截面有关的计算问题及球的“内接” 与“外切”的几何体问题.(难点) 知识探究 怎样求球的体积? 怎样求球的体积? m m = rV ?V = r 实验:排液法测小球的体积 放入小球前 h 实验:排液法测小球的体积 放入小球后 小球的体积 H 等于它排开 h 液体的体积 割圆术 早在公元三世纪,我国数学家刘徽为推导圆的面 积公式而发明了“倍边法割圆术”.他用加倍的方式 不断增加圆内接正多边形的边数,使其面积与圆的面 积之差更小,即所谓“割之弥细,所失弥小”.这样 重复下去,就达到了“割之又割,以至于不可再割, 则与圆合体而无所失矣”.这是世界上最早的“极限” 思想. A 球体的分割 O 球体由N个这样形状的几何体 组成 这样可以求出球体的体积为 4 3 V = ?R 3 球的表面积 球面被分割成n个网格,表面积分别为 ? S 1, ? S 2, ? S 3 , ? , ? S n 则球的表面积为 O S = ?S1 ? ?S2 ? ?S3 ? ? ? ?Sn ?Si O ?Vi 半径是 R 的球的表面积: S 球的表面积是大圆 面积的4倍 = 4? R 2 球的体积与表面积 4 3 1.球的体积公式: V = ?R . 3 2.球的表面积公式: S = 4 ? R 2 . 知识应用 例1 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径. 求证: 2 (1)球的体积等于圆柱体积的 . 3 (2)球的表面积等于圆柱的侧面积. 证明:(1)设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R, 高为2R. 因为 V球 = 4 3 p R ,V 圆柱 = p R2 ?2R 3 2 所以, V球 = V 圆柱 3 2p R3 , (2)因为 S球 = 4p R2 , S 圆柱侧= 2p R ?2 R 所以, S球 = S 圆柱侧. 4p R 2 , 【变式练习】 设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱的长都为a, 顶点都在一个球面上,则该球的表面积为( B ) A.π C. a2 11 π a2 3 7 B. π a2 3 D.5π a2 【解题提示】这是一个组合体问题,解答此题只需 画出三棱柱的直观图,弄清球心位置求出球的半径 即可. 【解析】选B.由题意知,该三棱柱为正三棱柱, 且侧棱与底面边长相等,均为a. 如图,设O,O1分别为下、上底面中心,且球心 O2为O1O的中点, 3 3 又AD= a,AO= a, 3 2 a OO2= 2 1 2 1 2 7 2 2 2 则 R = AO2 = a + a = a . 3 4 12 7 2 7 2 所以S球= 4πR2 = 4π × a = πa . 12 3 ,设球的半径为R, 1.(2012·广东高考)某几何体的三视图如图所示, 它的体积为( C ) A.72π B.48π C.30π D.24π 【解析】选C. 由三视图可知几何体是由一个半球和 一个倒立的圆锥组成的组合体. 1 1 4 V= π × 32× 4+ × π × 33 = 30π. 3 2 3 2.长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5,且它 的8个顶点都在同一球面上,则这个球的表面积是 ( B


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