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山西省重点中学协作体2016届高三第二次模拟考试数学试题



山西重点中学协作体高三“二模”数学试卷

试 题 部 分(文理通用)
注意事项: 1. 本试卷分第 I 卷(选择)和第 II 卷(表达题)两部分。本卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。作答时,将客观题填涂在机读卡相应题号 下,主观题答案写在答题卷上,写在本试卷上无效。 3. 考试结束

后,将答题卡和答题卷交回。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1、已知直线 x=1,则它的倾斜角是( A.0 B. C. ) D.不存在 )

2.过圆(x﹣1)2+y2=3 的圆心,且与直线 x﹣2y﹣2=0 垂直的直线方程是( A.x﹣2y﹣1=0 B.x﹣2y+1=0 C.2x+y﹣2=0 D.x+2y﹣1=0 )

3、设集合 A ? {x | x2 ? 3x ? 0} , B ? {x | | x |? 2} ,则 A ? B ? ( A. ?x | 2 ? x ? 3? B. ?x | ?2 ? x ? 0? C. ?x | 0 ? x ? 2?

D. ?x | ?2 ? x ? 3?

4、设 f(x)=3x+3x﹣8,用二分法求方程 3x+3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解的过程中得 f(1)<0,f (1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的根落在区间( A.(1,1.25) B.(1.25,1.5) )

C.(1.5,2) D.不能确定

5、一个几何体的的三视图如右图所示,则该几何体的体积为 A. 2 C. B. D. )

6、 直线 kx﹣y+1=3k, 当 k 变动时, 所有直线都通过定点 ( A. (0,0) 1) 7、 将函数 数 ,则 的图象向右平 移 具有性质( ) B. (0,1) C. (3,1)

D. (2,

个单位后得到函

1

A.最大值为 ,图象关于直线

对称 B.在

上单调递增,为奇函数

C.在

上单调递增,为偶函数 D.周期为

,图 象关于点

对称

8、已知

分别是双曲线

的左、右顶点,

是双曲线

右支上位于第一象限的动点,设 ) B. D.

的斜率分别

,则

的取值范围是( A. C.

9、执行如图所示的程序框图,输出的结果是( ) A. 15 B.21 C. 24 D.35

2 10、函数 y=x +x 在 x=1 到 x=1+△x 之间的平均变化率为(



A.△x+2

B.2△x+(△x)2 C.△x+3

D.3△x+(△x)2 )

11.已知 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是( A.若 l / /? , m / /? ,则 l / / m C.若 l ? ? , m ? ? ,则 l / / m B.若 l ? m , m / /? ,则 l ? ? D.若 l ? m , l ? ? ,则 m / /?

) 且 x ?[ ? 1 , 1 时 ] , f ( x) ? ? x ?1, 则 当 12 . 已 知 函 数 y ? f ( x) ( x ? R) 满 足 f ( x? 2 )? 2f (x , x ?[ ?10 ,10 ] 时, y ? f ( x) 与 g ( x) ? log4 x 的图象的交点个数为(
A.13 B.12 C.11 ) D.10

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分.) 13. “m=-1”是“直线 mx+(2m-1)y+1=0 和直线 3x+my+3=0 垂直”的___________条件。 14.已知正数 x、y,满足

8 1 ? ? 1 ,则 x+2y 的最小值为 x y



? y ? x ?1 ? y 15.若 x , y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ,则 z ? 的最大值为_______. x?2 ? y ?1 ?
2

? ? ?x 16.已知函数 f(x ) ? ? ?? ? ?

x

1 ,x ? ( , 1] ?2 2 ; 1 1 1 x ? , x ? [0, ] 2 4 2

? 3? g(x ) ? a sin( x ? ) ? 2a ? 2(a ? 0)给出下列结论: 3 2 1 ①函数 f ( x) 的值域为 [ 0, ] ;②函数 g ( x) 在[0, 1]上是增函数; 3
③对任意 a >0,方程 f ( x) ? g ( x) 在[0,1]内恒有解; ④若存在 x1 , x2 ? [0,1] ,使得 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则实数 a 的取 值范围是 其中所有正确结论的序号是 .

5 4 ?a? 。 9 5

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分。其中 17-21 为必考题,22-24 为选做题;解答应写出文字说明, 演算步骤或证明过程。 17.(本小题 满分 12 分) 在数列 中, 是等比数列, 求实数 的前 项和 . ;

(1)若数列 (2)求数列

18.(本小题满分 12 分) 现对某市工薪阶层关于“楼市限购令”的态度进行调查,随机抽调了 50 人,他们月收入的频数分布及对“楼 市限购令”赞成人数如下表. 月收入(单位百元) [15,25 频数 赞成人数 5 4 [25,35 10 8 [35,45 15 12 [45,55 10 5 [55,65 5 2 [65,75 5 1

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表并问是否有 99%的把握认为“月收入以 5500 为分界点对“楼市 限购令” 的态度有差异; 月收入不低于 55 百元的人数 赞成 不赞成
3

月收入低于 55 百元的人数

合计

合计 (Ⅱ)若对月收入在[15,25) ,[25,35)的被调查人中各随机选取两人进行追踪调查,记选中的 4 人中 不赞成“楼市限购令”人数为 参考数据: 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828 ,求随机变量 的分布列及数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 ,点 (1)求证:平面 (2)求证: 平面 平面 . 中, 在棱 ; ,且 上,且 . ,

20.(本小题满分 12 分) .已知椭圆 的离心率为 ,且过点 ,其长轴的左右两个端点分别为 A,B,

直线

交椭圆于两点 C,D.

(I)求椭圆的标准方程; (I I)设直线 AD,CB 的斜率分别为 ,若 ,求 m 的值.

21.(本小题满分 12 分) 已知函数
4

(1)试探究函数 (2)若对任意的



上的极值; 恒成立,求实数 的取值范围.

选做题:考生在 22、23、24 三大题中任选一大题作答,满分 10 分。

22. 如 图 , 圆 割线 (I)求证: (Ⅱ)求 交圆

的直径 于点 , ; 的值.

, ,过点

是 作

延长线上一点, 的垂线,交直线 于点 ,交直线 于点 .



23. 以坐标原点为极点 标为 (1)求曲线

轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 ,且点 A 在直线 上.

,点 A 的极坐

,直线 的极坐标方程为 的极坐标方程和直线 的直角坐标方程; 与 的交点为

(2)设 向左平移 6 个单位后得到

,求

的极坐标方程及

的长.

24. 已知关于 x 的不等式 (I)当 a=1 时,求此不等式的解集;

.

(Ⅱ)若此不 等式的解集为 R,求实数 a 的取值范围.

5

数学参考答案
1.C 解:∵直线 x=1 与 x 轴垂直,因此倾斜角是 故选:C. 2.C 解:设与直线 x﹣2y﹣2=0 垂直的直线方程是 2x+y+m=0, 把圆心(1,0)代入可得 2+0+m=0,解得 m=﹣2. ∴要求的直线方程为:2x+y﹣2=0. 3.C 试题分析:由题意可知 A ? {x | 0 ? x ? 3} ,则 B ? {x | ?2 ? x ? 2} ,∴ A ? B ? {x | 0 ? x ? 2} ,故选 C. 4、B【考点】二分法求方程的近似解.
x 【分析】由已知“方程 3 +3x﹣8=0 在 x∈(1,2)内近似解”,且具体的函数值的符号也已确定,由 f(1.5)



故选:C.

>0,f(1.25)<0,它们异号. 【解答】解析:∵f(1.5)?f(1.25)<0, 由零点存在定理,得, ∴方程的根落在区间(1.25,1.5). 故选 B. 5、C 【解析】 由三视图可知: 该空间几何体为四棱锥且底面面积为 6、C【考点】过两条直线交点的直线系方程. 【分析】将直线的方程变形为 k(x﹣3)=y﹣1 对于任何 k∈R 都成立,从而有 出定点的坐标. 【解答】解:由 kx﹣y +1=3k 得 k(x﹣3)=y﹣1 对于任何 k∈R 都成立,则 解得 x=3,y=1, 故直线经过定点(3,1),故选 C. 7、B , ,解 , 高为 1, 所以 .

6

【解析】将函数

的图象向右平移

个单位得到函数

,对称轴方程

,即

,关于点

对称 ,由于

,为奇函数,图象不关于

,故 A 不对,

是奇函数,故

C 不对,周期 8、A 9、C

,不关于点

对称,故不对,答案为 B.

10、C【考点】变化的快慢与变化率. 【专题】计算题;转化思想;定义法;导数的概念及应用. 【分析】直接代入函数的平均变化率公式进行化简求解.
2 2 【解答】解:△y=(1+△x) +1+△x﹣1﹣1=△x +3△x,



=△x+3,

故选:C. 11.C. 【解析】 试题分析:A: l , m 可能的位置关系为:相交,异面,平行,故 A 错误;B:根据线面平行的性质以及 线面垂直的判定可知 B 错误;C:根据线面垂直的性质可知 C 正确;D: m / /? 或 m ? ? ,故 D 错误,故 选 C. 考点:空间中线面的位置关系判定及其性质. 12.C 【解析】 试题分析:∵ y ? f ( x) ( x ? R) 满足 f ( x ? 2) ? 2 f ( x) ,且 x x ?[ ? 1,1 ] 时, f ( x) ? ? x ?1 ,

7

?1 1 ? 32 ? 32 x ? 10 , ?10 ? x ? ?9 ? ? 1 ? 1 x ? 8 , ?9 ? x ? ? 7 ?16 16 ? ? 1 ? 1 x ? 6 , ?7 ? x ? ? 5 ?8 8 ?1 1 ? ? x ? 4 , ?5 ? x ? ? 3 ?4 4 ?1 1 ? ? f ( x ) ? ? 2 ? 2 x ? 2 , ?3 ? x ? 1 , ? ?1 ? x , ?1 ? x ? 1 ?2 ? 2 x ? 2 ,1 ? x ? 3 ? ?4 ? 4 x ? 4 ,3 ? x ? 5 ? ?8 ? 8 x ? 6 ,5 ? x ? 7 ? ?16 ? 16 x ? 8 , 7 ? x ? 9 ?32 ? 32 x ? 10 ,9 ? x ? 11 ? ? ?
分别作出函数 y ? f ( x) 与 g ( x) ? log4 x 的图像如图:

由图象可知 y ? f ( x) 与 g ( x) ? log4 x 的图象的交点个数为 11 个.故选:C. 考点: 1.抽象函数;2.函数图象. 13.充分不必要 14.18 【解析】 试题分析: x ? 2 y ? ? x ? 2 y ? ? 所以最小值为 18
8

16 y x ?8 1? 16 y x ? 时等号成立, ? ? ? 10 ? ? ? 8 ? 2 16 ? 16 ,当且仅当 x y x y ?x y?

考点:均值不等式求最值 15.

2 3

【解析】 试题分析:画出可行域,目标函数 z ? 当其经过点 A(1,2) 时, z ?

y y ?0 ? 表示可行域内的点 ( x, y ) 与点 (?2,0) 连线的斜率, x ? 2 x ? (?2)

y 2 取到最大值为 z ? . x?2 3

考点:简单的线性规划的应用. 16.①②④ 【解析】 试 题分 析: 当 x ? ( ,1] 是 函数 单调 递增 ,此 时 f ( x ) ? ( , ] ; 当 x ? [0, ] 时 函数 单调 递减 ,此时

1 2

1 1 5 3

1 2

1 f ( x ) ? [0, ] 4

,















g ( x ) ? a sin(
确。

?
3

x?

3? ? ) ? 2a ? 2 ? -a cos( x ) ? 2a ? 2 (a ? 0) ,显然在[0,1]上是增函数,故命题?正 2 3

1 [0, ] 3











?







9

? 5 ?- 2 a ? 2 ? 0 ? 1 5 4 5 ? 由命题?函数 g ( x) 的值域为 [-3a ? 2,- a ? 2] ,要是命题④成立,需有 ?? 3a ? 2 ? 解得 ? a ? ,故 2 9 5 3 ? a ? 0 ? ? ?
命题④正确。因此答案为①②④ 考点:?函数的单调性及值域问题?存在性问题求参数 (1) 【解析】 或 ;(2) .

18.(Ⅰ) 月收入不低于 55 百元人数 赞成 不赞成 合计 10 40 月收入低于 55 百元人数 合计 32 18 50

没有 99%的把握认为月收入以 5500 为分界点对“ 楼市限购令”的态度有差异. (Ⅱ) 的分布列是
10

0

1

2

3

19.证明: (1)∵ ∴ 又 , ................................................2 分 , , 平面 ∴ 平面 交 ,∴ 平面 ,

. ----------------6 分 于 ,连 ........... .................. .......8 分 ..........................................10 分 ,

(2)连接 ∵ ∴ 又 ∴ 平面 ∴ 平面

平面 ,................................................12 分

20.解:(Ⅰ)由题意得:

,……2 分

解得

, ……4 分

∴椭圆方程为

. ……5 分

(II)设

,联立方程

11

得 ∴,判别式

①, ,……7 分



为①式的根,∴

, ……8 分 由 题 意 知





.



,即

,得

②,



,∴

,同理

, ……10 分

代入②式,解得

,即



∴ 又∵ ∴

解得 (舍去),∴ . ……12 分

22(1):连接 即 又 ∴ 、 、 、 、 、 、

,则 四点共圆.∴ 四点共圆,∴ ∵

,

, ------- 5 分
12

(2): ∴ 又 ,









四点共圆,

, . ------- 10 分

24.解:(Ⅰ)当

时,不等式为



由绝对值的几何意义知,不等式的意义为数轴上的点 x 到点 1、2 的距离之和大于等于 2. ……2 分 ∴ 或 .∴不等式的解集为 . ……5 分

(注:也可用零点分段法求解.) (Ⅱ)∵|x- |+|x-1|≥

∴原不等式的解集为 R 等价于



. …… 7 分

又 a>0,∴a ≥ 4. ∴实数 a 的取值范围是[4,+∞). ……10 分

13



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