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S10-数学3-命题与充要条件



【知识结构】 命题 可以判断真假的语句;
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逻辑联结词 简单命题 复合命题
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或、且、非; 不含逻辑联结词的命题; 由简单命题与逻辑联结词构成的命题
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三种形式 真假判断
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p 或 q、p 且 q、非 p

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p 或 q,同假为假,否则为真; p 且 q,同真为真, 否则为假; 非 p,真假相反

四种命题: 原命题 逆命题 否命题
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若 p 则 q; 若 q 则 p; 若不 p 则不 q;
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逆否命题

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若不 q 则不 p;
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互为逆否的两个命题是等价的

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反证法步骤 充要条件
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假设结论不成立→推出矛盾→假设不成立

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条件 p 成立 ?结论 q 成立,则称条件 p 是结论 q 的充分条件 结论 q 成立 ?条件 p 成立,则称条件 p 是结论 q 的必要条件 条件 p 成立 ? 结论 q 成立,则称条件 p 是结论 q 的充要条件

1

【例题精讲】
例 1 分别写出由下列命题构成的“p 或 q” , “p 且 q” , “非 p”形成的复合命题: (1) p: ? 是无理数 q: ? 是实数 (2) p:5 是 15 的约数 q:5 是 20 的约数
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例 2 指出下列复合命题的形式及其构成 (1)若α 是一个三角形的最小内角,则α 不大于 60°; (2)一个内角为 90°,另一个内角为 45°的三角形是等腰直角三角形; (3)有一个内角为 60°的三角形是正三角形或直角三角形
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例 3 写出命题“当 abc=0 时,a=0 或 b=0 或 c=0”的逆命题、否命题、逆否命题,并判断它 们的真假
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2

例 4 设集合 M ? {x x ? 2}, P ? {x x ? 3}, 那么" x ? M 或x ? P " 是 " x ? M ? P " 的( ) A 充分不必要条件 C 充要条件
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B 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件
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例 5 下列各小题中,p 是 q 的什么条件? (1) p: a , b 是整数; q: x ? ax ? b ? 0 有且仅有整数解
2

(2) p: a ? b ? 1 ;

q: a ? b ? ab ? a ? b ? 0
3 3 2 2

例 6 如果 x , y 是实数,那么“ xy ? 0 ”是“ x ? y ? x ? y ”的( ) A 充分不必要条件 C 充要条件
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B 必要不充分条件 D 既不充分又不必要条件
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3

例 7 ax ? 2 x ? 1 ? 0 至少有一个负的实根的充要条件是( )
2

A 0 ? a ?1
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B a ?1
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C a ?1
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D 0 ? a ? 1或 a ? 0
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例 8 已知二次函数 y ? ax ? bx ? c 的图像经过(-1,0) ,是否存在常数 a, b, c 使得不等式
2

x? y?

1 (1 ? x 2 ) 对一切实数 x 都成立?若存在,求出 a, b, c ;若不存在,说明理由 2

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4

例 9 (1)在 ?ABC 中,“ sin A ? sin B ”是“ A ? B ”的 _____ 条件

(2)在 ?ABC 中,“ cos2 A ? cos2 B ”是“ A ? B ”的 _____ 条件

例 10 若 y ? f ( x) 是 R 上增函数, 则“ a ? b ? 0 ”是“ f (a) ? f (b) ? f (?a) ? f (?b) ”的充

要条件。

5

【拓展提高】
例 11 若关于 x 的不等式 | x ? m | ? 1 成立的充分不必要条件是 围是

1 1 ?x? , 则实数 m 的取值范 3 2

_

_



例 12 求关于 x 的方程 x ? (2k ?1) x ? k ? 0 的二实根均大于 1 的充要条件。
2 2

6

例 13、 a1 、 b1 、 c1 、 a2 、 b2 、 c2 均为非零实数,不等式 a1 x2 ? b1x ? c1 ? 0 和 a2 x2 ? b2 x ? c2 ? 0 的解集分别为 M , N ,那么“ 是“ M ? N ”的
( A) 充分但非必要条件 (C ) 充要条件

a1 b1 c1 ? ? ” a2 b2 c2


( B ) 必要但非充分条件 ( D) 既非充分又非必要条件



7

例 14、已知曲线 C1 : x2 ? y 2 ? 1,曲线 C2 : ax2 ? bxy ? x ? 0 ( a 、 。 b 不同时为零) 则“ a 2 ? b2 ? 1”是“ C1 与 C2 有且仅有两个不同交点”的 __ __ 条件。

8

例 15、已知 c ? 0 ,给出以下两个命题: 命题①:函数 y ? c x 在 R 上递减; 命题②:关于 x 的不等式 x ? | x ? 2c | ? 1 的解集为 R 。 若命题①与②有且仅有一个正确,求 c 的取值范围。

【巩固练习】

9

1.设 a ? R ,则 a ? 1 是 A.充分但不必要条件 C.充要条件

1 ?1 的 a
B.必要但不充分条件 D.既不充分也不必要条件

( )

2.设 a, b ? R 则不等式 a ? b 与 A. ab ? 0

1 1 ? 都成立的充要条件是 a b
C. ab ? 0

( ) D. ab ? 0

B. a ? 0, b ? 0

3.增加条件

,可使命题“ ac ? bc ,则 a ? b ”为真命题.
2 2 2 2

4.下列命题中正确的是 A.对所有正实数 t ,有 t ? t
2 2

( ) B.不存在实数 x ,使 x ? 4 ,且 x ? 5 x ? 24 ? 0 D.不存在实数 x ,使 x ? x ? 1 ? 0
3

C.存在实数 x ,使 | x ? 1|? 1且 x ? 0

5. | x | ? | y |? 0 等价于 A. x ? 0 或 y ? 0 C. x ? 0 或 y ? 0 B. x ? 0 且 y ? 0 D. x ? 0 且 y ? 0

( )

6.命题 p : 若 a, b ? R ,则 | a | ? | b |? 1 是 | a ? b |? 1 的充分而不必要条件; 命题 q : 函数 y ? | x ?1| ?2 的定义域是 (??, ?1] ? [3, ??) ,则 A. “ p 或 q ”为假 C. p 真 q 假 B. “ p 且 q ”为真 D. p 假 q 真 ( )

7.用“或” 、 “且” 、 “非”填空: (1)若 ( x ? 1)( x ? 2) ? 0 ,则 x ? 1

x ? 2; (2)若

10

( x ?1)( x ? 2) ? 0 ,则 x ? 1

x ? 2.

8. 命题 p :函数 f ( x) ? sin( 2 x ?

?
6

) ? 1 满足 f (

?

? x) ? f ( ? x) ;命题 q :函数 3 3

?

g ( x) ? sin(2 x ? ? ) ? 1 可能是奇函数.则复合命题“ p 或 q ” 、 “ p 且q ” 、 “非 q ”中正命题的
个数为 .

9.已知命题 p :| x2 ? x |? 6, q : x ? Z 且“ p 且 q ”与“非 q ”同时为假命题,求 x 的值。

11



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