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2009年全国高中数学联赛陕西省预赛试题



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2009 年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
一、填空题(每小题 6 份,共 60 分,本题共 10 小题,要求直接将答案写在横线上) 1. 已 知 集 合

A ? {x ? R || x ? 2 |? 1}

, B ? {x ? R | x ? 5 ? 0} , 则
2?x

A? B =



2.图 1 是一个算法流程图,若输入 n 3.设圆 x 小值为
2

? 1, 则最终输出的数据是



? y 2 ? 1的一条切线与 x 轴、 y


轴分别交于点 A 、 B ,则 | AB | 的最

4.已知函数 f ( x) ? ?

?2 2 ? x , x ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2

,若关于 x 的方程

f ( x) ? m 有两个不同的实根,则实数 m 的取值范围是
用区间形式表示) 5.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) 是增函数,且 对任意的 x、 y ? R ,都有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x) 在敬意[-3,-2]上 的最大值是 6.对于 n ? N ? , 若 n ? 2 ?1 是 3 的整数倍,则 n 被 6 除所得余数构成的集合
n

是 。 7.如图 2,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半圆的半 径为 1,则梯形 ABCD 周长的最大值是

8.如图 3,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为△ABC 的外心,则 AO ? BC 的值是 9.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径 均为 1,且每个小球都与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R= 10.把长为 a 的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为 二、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 11.设 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? 2? , 若对任意的 x ? R ,等式 cos(x ? ? ) ? sin(x ? ? ) + 2 cos x ? 0 恒成立,试求 ? 、 ? 的值。

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12.如图 4,已知两点 A(? 5,0) 、 B( 5,0) , ?ABC 的内切圆的圆心在直线 x ? 2 上移动。 (1).求点 C 的轨迹方程; (2).过点 M (2,0) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、Q 两点,且 MP ? MQ =0,求证:直线 PQ 必过定点。

13.已知函数 f ( x ) ?

16 x ? 7 ,数列{ an }、{ bn }满足 a1 ? 0 , b1 ? 0 , an ? f (an?1 ) , bn ? f (bn?1 ) , 4x ? 4

n ? 2,3?.
(1).求 a1 的取值范围,使得对任意的正整数 n, 都有 a n ?1 ? a n (2).若 a1 ? 3, b1 ? 4, 求证: 0 ? bn ? a n ?

1 8 n ?1

, n ? 1,2,3?.

第二试
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一、数列 {an } 满足 a1 ? 4, an?1an ? 6an?1 ? 4an ? 8 ? 0 ,记 bn ? (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 前 n 项和 S n

6 ,n? N ? an ? 2

二、如图,PA、PB 为圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,过点 P 的直线交圆 O 于 C、D 两点,交弦 AB 于点 Q, 求证: PQ2 ? PC ? PD ? QC ? QD







? ( x ? 1) p ? ( x ? 3) q ? x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an?1 x ? an , p, q ? N .

(1).若 a1

? a 2 ,求证: 3n 是完全平方数;

(2)证明:存在无穷多个正整数对 ( p, q) ,使得 a1

? a2 .

四、(1)证明:对任意的 x ? 0, y ? 0 有

1 1 1 ? ? ? ( x ? y) ; 1 ? x 1 ? y (1 ? y) 2

(2)证明: C n

0

?

30 31 32 3n 3n ? 2 n 1 2 n ? C ? ? C ? ? ? ? C ? ? . n n n 30 ? 1 31 ? 1 32 ? 1 3n ? 1 3n ? 2 n

参考答案
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1.已知集合 A ? {x ? R || x ? 2 |? 1} , B ? {x ? R | x ? 5 ? 0} ,则 A ? B = 2?x



2.图 1 是一个算法流程图,若输入 n

? 1, 则最终输出的数据是



3.设圆 x

2

? y 2 ? 1的一条切线与 x 轴、 y

轴分别交于点 A 、 B ,则 | AB | 的最小值为



4.已知函数 f ( x) ? ? 范围是

?2 2 ? x , x ? 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2

,若关于 x 的方程 f ( x) ? m 有两个不同的实根,则实数 m 的取值

用区间形式表示)

5.设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数, f (1) ? 2 ,当 x ? 0 时, f ( x) 是增函数,且对任意的 x、 y ? R ,都 有 f ( x ? y ) ? f ( x) ? f ( y) ,则函数 f ( x) 在敬意[-3,-2]上的最大值是

? 6.对于 n ? N , 若 n ? 2 ? 1 是 3 的整数倍,则 n 被 6 除所得余数构成的集合是
n



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7.如图 2,AB 是半圆 O 的直径,C、D 是半圆上的两个动点,且 CD∥AB,若半 圆的半径为 1,则梯形 ABCD 周长的最大值是

8.如图 3,在△ABC 中,AB=3,AC=5,若 O 为 △ABC 的外心,则 AO ? BC 的值是

9.一个含有底面的半球形容器内放置有三个两两外切的小球,若这三个小球的半径均为 1,且每个小球都 与半球的底面和球面相切,则该半球的半径 R=

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10.把长为 a 的线段分成三段,这三条线段能构成三角形的概率为

二、解答题(每小题 20 分,共 60 分) 11.设 0 ? ? ? ? , ? ? ? ? 2? , 若对任意的 x ? R ,等式 cos(x ? ? ) ? sin(x ? ? ) + 2 cos x ? 0 恒成立,试求 ? 、 ? 的值。

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12.如图 4,已知两点 A(? 5,0) 、 B( 5,0) , ?ABC 的内切圆的圆心在直线 x ? 2 上移动。 (1).求点 C 的轨迹方程; (2).过点 M (2,0) 作两条射线,分别交(1)中所求轨迹于 P 、 Q 两 点,且 MP ? MQ =0,求证:直线 PQ 必过定点。

13.已知函数 f ( x ) ?

16 x ? 7 ,数列{ an }、{ bn }满足 a1 ? 0 , b1 ? 0 , an ? f (an?1 ) , bn ? f (bn?1 ) , 4x ? 4

n ? 2,3?.
(1).求 a1 的取值范围,使得对任意的正整数 n, 都有 a n ?1 ? a n (2).若 a1 ? 3, b1 ? 4, 求证: 0 ? bn ? a n ?

1 8 n ?1

, n ? 1,2,3?.

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第二试
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一、数列 {an } 满足 a1 ? 4, an?1an ? 6an?1 ? 4an ? 8 ? 0 ,记 bn ? (1)求数列 {bn } 的通项公式; (2)求数列 {an ? bn } 前 n 项和 S n

6 ,n? N ? an ? 2

二、如图,PA、PB 为圆 O 的两条切线,切点分别为 A、B,过点 P 的直线交圆 O 于 C、D 两点,交弦 AB 于点 Q, 求证: PQ2 ? PC ? PD ? QC ? QD

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三、设 ( x ? 1)

p

? ( x ? 3) q ? x n ? a1 x n?1 ? a2 x n?2 ? ?? an?1 x ? an , p、 q ? N .

?

(1).若 a1 ? a 2 ,求证: 3n 是完全平方数; (2)证明:存在无穷多个正整数对(p,q),使得 a1 ? a 2 .

四、(1)证明:对任意的 x ? 0, y ? 0 有

1 1 1 ? ? ? ( x ? y) ; 1 ? x 1 ? y (1 ? y) 2

30 31 32 3n 3n ? 2 n 1 2 n ? Cn ? 1 ? Cn ? 2 ? ? ? Cn ? n ? (2)证明: C ? 0 . 3 ?1 3 ?1 3 ?1 3 ? 1 3n ? 2 n
0 n

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w w w . j b 1 0

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