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函数的极值与导数



观察图象中,点a和点b处的函数值与它们附 近点的函数值有什么的大小关系?

y

y ? f ?x ?

a o b
x

一 极值的定义
? 点a叫做函数y=f(x)的极小值点,函数值f(a)称 为函数y=f(x)的极小值, ? 点b叫做函数y=f(x)的极大值点,函数值f(

b)称 为函数y=f(x)的极大值 。 ? 极大值点极小值点统称为极值点,极大值和极小 值统称为极值

注:极值点指的是自变量的值,极值指的是函数值。

观察函数y=f(x)的图像
y

y ? f ?x ?

C

d

e

o
f

g

h

x

探究

1、图中有哪些极值点?极值点唯一吗? 2、极大值一定比极小值大么?

函数极值是在某一点附近的小区间内 定义的,是局部性质。因此一个函数在其 整个定义区间上可能有多个极大值或极小 值,并对同一个函数来说,在某一点的极 大值也可能小于另一点的极小值。

探究3:函数y=f(x)在极值点的导数值为多少? 在极值点两侧的导数符号有什么规律?

y

y ? f ?x ?

C

d

e

o
f

g

h

x

结论:极值点处导数值为0

演示

探究:极值点两侧导数符号有何规律?
y 极大值点两侧

y?f(x)
f ?(x)>0 f ?(x)<0

f ?(x)<0 O x1

f ?(x)>0

a

x2

b

x

极小值点两侧

探究:极值点两侧导数正负符号有何规律?
y y?f(x) f ?(x)<0 极大值点两侧 f ?(x)>0 f ?(x)<0

x
f(x)

X<x2


x2
极大值

X>x2


f?(x) f?(x) >0 f?(x) =0 f?(x) <0

f ?(x)>0
x2 b x

O a x1 极小值点两侧

x1 X<x1 X>x1 f?(x) f?(x) <0 f?(x) =0 f?(x) >0 减 极小值 增 f ( x)

x

结论:极值点处,f?(x) =0 注意:(1) f?(x0) =0, x0不一定是极值点
(2)只有f?(x0) =0且x0两侧单调性不同 , x0才是极值点. (3)求极值点,可以先求f?(x0) =0的点,再列表判断单调 性

练习:
下图是导函数 y

y ? f ?( x) 的图象, 试找出函数 y ? f ( x) y ? f ?( x)
x3 x x5

的极值点, 并指出哪些是极大值点, 哪些是极小值点.

a x1 O

x2

x4

x6

b

探究4:导数值为0的点一定是函数的极值点吗?

思考
y
+ + o

(1)导数为0的点一定是 函数的极值点吗? Y=x3
例如:f(x)=x3

f ’(x)=3x2≥0
f ’(0)=3×02=0 x x x<0 f ’(x) + f(x) X=0 X>0 0 +

若f(x0) 是极值,则f ’(x0)=0。 反之, f ’(x0)=0,f(x0)不一定是极值 y=f(x)在一点的导数为0是函数y=f(x) 在这点取得极值的 必要条件。

1 3 例1 求函数 f ( x) ? x ? 4 x ? 4 的极值. 3 解: 1 3 2 因为 f ( x) ? x ? 4 x ? 4, 所以 f ?( x) ? x ? 4. 3 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? 2, 或 x ? ?2. 当 f ?( x) ? 0 , 即 x ? 2 , 或 x ? ?2 ; 当 f ?( x) ? 0 , 即 ? 2 ? x ? 2 .
当 x 变化时, f (x) 的变化情况如下表:

x

(–∞, –2)

–2

(–2, 2)


2 0

( 2, +∞)

f ?( x)

+

0

+

f (x) 单调递增

28 / 3 单调递减

? 4 / 3 单调递增

所以, 当 x = –2 时, f (x)有极大值 28 / 3 ; 当 x = 2 时, f (x)有极小值 – 4 / 3 .

例题4图像
y f(x)=1/3 x3-4x+4 + 28/3

-2 -4/3

o

2
+ x

求解函数极值的一般步骤 ? (1)确定函数的定义域,求导数 f ?(x) ? (2)求方程 f ?(x)=0的根 ? (3)用方程 f ?(x)=0的根,顺次将函数的定义域 分成若干小开区间,并列成表格. ? (4)检查 f ?(x) 在方程根左右的值的符号,如 果左正右负,那么f(x)在这个根处取得极大 值;如果左负右正,那么f(x)在这个根处取 得极小值。

练习2
求下列函数的极值:

(1) f ( x) ? 6 x ? x ? 2; (2) f ( x) ? x ? 27 x; 3 3 (3) f ( x) ? 6 ? 12 x ? x ; (4) f ( x) ? 3x ? x . 解: 1 (1) f ?( x) ? 12 x ? 1, 令 f ?( x) ? 0, 解得 x ? . 列表: 12
2 3

x

f ?( x)
f (x)

1 (??, ) 12


1 12 0

1 ( ,??) 12 +

单调递减

49 ? 24

单调递增

1 49 1 所以, 当 x ? 时, f (x)有极小值 f ( ) ? ? . 12 24 12

思考:已知函数 f ? x ? ? ax3 ? bx2 ? 2x 在 x ? ?2, x ? 1 处取得极值。 (1)求函数 f ? x ? 的解析式

(2)求函数 f ? x ?的单调区间

(3)求函数 f(x) 的最值

解:(1)f ' ? x ? ? 3ax2 ? 2bx ? 2

f ( x)在x ? ?2, x ? 1取得极值,
1 1 解得:a ? , b ? 3 2

?12a ? 4b ? 2 ? 0 ? f ?(?2) ? 0, f ?(1) ? 0 即 ? ? 3a ? 2b ? 2 ? 0 1 3 1 2 ? f ? x ? ? x ? x ? 2x 3 2

(2)

f ' ? x ? ? x2 ? x ? 2

由f ' ? x ? ? 0

得:x ? 1或x ? ?2

? f ( x)的单调递增区间为: ? ??, ?2?
由f ' ? x ? ? 0

?1, ???

得: ? 2 ? x ?1 ? f ? x ?的单调递减区间为: (?2,1)

直线y=a与函数f(x)=x3-3x的图象有相异的三 个公共点,则a的取值范围是________. 解析:令f′(x)=3x2-3=0, 得x=±1, 可求得f(x)的极大值为f(-1)=2, 极小值为f(1)=-2, 如图所示,-2<a<2时,恰有三个不同公共点. 答案:(-2,2 )

归纳小结
1、极值的定义。 2、判定极值的方法。 3、求极值的步骤。
思想方法总结: 观察、转化、数形结合。



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