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面面垂直的判定定理课件


平面与平面垂直的判定定理

复习回顾
1.在平面几何中"角"是怎样定的? 从一点出发的两条射线所组成的图形叫做角。 或: 一条射线绕其端点旋转而成的图形叫做角。

2.在立体几何中,"异面直线所成的角"是怎样定义的? 直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O,分别引直线a' //a, b'// b,我们把相交直线a' 和 b'所成的锐角 (或直角)叫做异 面直线所成的角。 3.在立体几何中,"直线和平面所成的角"是怎样定义的?
平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角, 叫 做这条直线和这个平面所成的角。

异面直线所成的角与直线和平面所成的角,它们的共 同特征都是将三维空间的角转化为二维空间的角,即 平面角。

一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分,其中的每 一部分都叫做射线。 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分,其中的 每一部分都叫做半平面。

l
A

l

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。
这条直线叫做二面角的棱。 这两个半平面叫做二面角的面。

Q
?

B P
?

l

A

二面角由半平面--线--半平面构成。

二面角的表示

二面角? ? l ? ? 二面角? ? AB ? ?

二面角P ? l ? Q 二面角P ? AB ? Q

二面角的画法
E

F

?

l

A D

B
C

?

二面角?- l- ?
C B D A

二面角C-AB- D

角 A 边 图形 顶点 O 边 B A

二面角 ? 面 ?

棱a
B



定义

从一条直线出发的两个 从一点出发的两条射线 半平面所组成的图形叫 所组成的图形叫做角。 做二面角。 边—点—边 (顶点) ∠AOB

构成

面—直线—面 (棱) 二面角?—l—?
或二面角?—AB—?

表示法

二面角的度量

以二面角的棱上任意一点为 端点,在两个面内分别作垂直于 棱的两条射线,这两条射线所成 的角叫做二面角的平面角。
二面角的平面角的三个特征:

1.点在棱上

2.线在面内

3.与棱垂直

二面角的大小的范围:

0? ? ? ? 180?

平面角是直角的二面角叫做直二面角.
B?

? B
l
O

O?
A ?

A?

二面角的平面角的作法:

3、垂面法

P

1、定义法
B
?
l

?
O

A

?

2、三垂线定理法

练习:指出下列各图中的二面角的平面角:

A, B ? l , AC ? ? , BD ? ? , AC ? l , BD ? l.
二面角?--l--? D’ A’ D A B’ O C B C

?

Bl D

?

A O C’ A

B 二面角B--B’C--A

E

O

D C

二面角A--BC--D

例1 已知锐二面角?- l- ? ,A为面?内一点,A到? 的 距离为 2 3 ,到 l 的距离为 4,求二面角 ?- l- ? 的 大小。 ① 过 A作 AO⊥?于O,过 O作 OD⊥ l 于D,连AD 解: 则由三垂线定理得 AD⊥ l ② ∴∠ADO就是二面角 ?- l- ? 的平面角 ③∵ AO为 A到?的距离 , AD为 A到 l 的距离
A

∴AO=2
?

3

,AD=4

在Rt △ADO中,

D

O

AO ∵sin∠ADO= AD ∴ ∠ADO=60°

2 3 3 ? ? 2 4

l

?

∴二面角 ?- l- ? 的大小为60 °

二面角的计算:

1、找到或作出二面角的平面角

2、证明 1中的角就是所求的角 3、计算出此角的大小

一“作”二“证”三“计算”

ι
观 察 生 活
注意观察: 1.门轴与地 面的关系 2.门轴与门 面的关系

3.门面与地 面的关系

你发现了什么?

二、两个平面垂直的判定定理:
如果一个平面经过了另一个平面的一 条垂线,那么这两个平面互相垂直.
符号:AB⊥α, β经过AB, 则α⊥β 简记:线面垂直,则面面垂直
α

β
A

B

线线垂直

线面垂直

面面垂直

证明两个平面垂直有那些方法? 1.定义法 2.两平面垂直的判定定理

建筑工人砌墙时, 如何使所砌的墙和水平面垂直? 应 用 于 生 活

例2 如图,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平面,C是
圆周上不同于A,B的任意一点, 求证;平面PAC⊥平面PBC

P

C A O B

练习:

如图 : 河堤斜面与水平面所成 的二面角为 60?, 堤面 上有一条直道CD, 它与堤脚的水平线 AB的夹角为 30?, 沿这条直道从堤脚向上 行走到10m时人升高了

多少(精确到0.1m) ?

E
30 ?

D

G
F

C

小结
一、二面角的定义 二、二面角的表示方法

三、二面角的平面角
四、二面角的平面角的作法

五、二面角的计算
六、面面垂直的判定定理

练习 如图,已知A、B是120?的二面 角?—l—?棱l上的两点,线段AC,BD 分别在面?,?内,且AC⊥l,BD⊥l , AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。 ∠OAC =120?
2 2

?
B C

l D

?

A O

AO=BD=1, AC=2
2 ?

CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7
四边形ABDO为矩形, DO=AB=3

练习 如图,已知A、B是120?的二面 E ? 角?—l—?棱l上的两点,线段AC,BD l B ? 分别在面?,?内,且AC⊥l,BD⊥l , D C AC=2,BD=1,AB=3,求线段CD的长。 O 解:在平面?内,过A作AO⊥l ,使 A AO=BD, 连结CO、DO, 则∠OAC就是 二面角?—l—?的平面角,即 ∠OAC =120?, ∵BD⊥l ∴ AO∥BD,∴四边形ABDO为矩形, ∴ DO∥ l , AO=BD ∵ AC⊥l , AO⊥l , ∴ l ⊥平面CAO ∴ AO⊥l ∴ CO⊥DO ∵ BD=1 ∴ AO=1,在△OAC中,AC=2, 2 2 2 ? ∴ CO ? AC ? AO ? 2 AO ? AC ? COS120 ? 7 在Rt △COD中,DO=AB=3

? CD ? CO ? DO ? 7 ? 3 ? 4
2 2 2

如果一个平面经过了另一个平面的 一条垂线,那么这两个平面互相垂直.
如果:AB⊥β, α经过AB , 那么:α⊥β
证明: ∵AB⊥β,CD 是交线 ∴AB⊥CD 在平面β内过点B作直线BE⊥CD ∴ ∠ABE是二面角α—CD — β的平面角 ∵ AB⊥β BE在β内

α
A B C

D

β E

∴AB⊥BE 即∠ABE=90。

∴二面角α—CD — β是直二面角
∴α⊥β



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