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2016年天津市滨海新区六所重点学校2016届高三联考数学试卷(文科)(解析版)



2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷(文科)
一.选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一个是正确的. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,3,4} D.{0,2,4}

2.“x<4”是“|x﹣2|<1”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 3.阅读如图的程序框图,当程序运行后,输出 S 的值为( )

A.57 B.119 C.120 D.247 4.设实数 p 在[0,5]上随机地取值,使方程 x2+px+1=0 有实根的概率为( A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 5.若 ,则 a,b,c 大小关系为(





A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 6.将 y=sin2x+cos2x 的图象向右平移 个单位后,所得图象的解析式是( )

A.y=sin2x﹣cos2x B.y=cos2x﹣sin2x C.y=cos2x+sin2x D.y=cosxsinx 7.如图,F1、F2 是双曲线 =1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C )

B. 的左、 右 2 个分支分别交于点 A、 若△ABF2 为等边三角形, 则双曲线的离心率为 (

A.4

B.

C.

D.
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8.设函数 f(x)=|2x﹣1|,函数 g(x)=f(f(x) )﹣loga(x+1) , (a>0,a≠1)在[0, 1]上有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围为( ) A. (1, ) B. (1,2) C. ( ,2) D. (2,+∞)

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题纸的相应横线上. 9.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z(2﹣i)=5i,则 z 等于 . 10.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 cm3

11.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B、C 两点, AC= .

,则

12. 已知各项不为 0 的等差数列{an}满足 则 b2b8b11 的值等于 .

, 数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,

13.已知实数 a,b 满足 a>b,且 ab=2,则

的最小值是



14.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC、DC 上, .若 ,则实数 λ 的值为 .

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某厂用甲、乙两种原料生产 A、B 两种产品,已知生产 1 吨 A 产品,1 吨 B 产品分别需 要的甲、乙原料数,每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如表所示. 产品 A 产品 B 产品 现有原料 所需原料 (1 吨) (1 吨) (吨) 原料 4 5 200 甲原料(吨) 3 10 300 乙原料(吨) 7 12 利润(万元)

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问:在现有原料下,A、B 产品应各生产多少吨才能使利润总额最大?利润总额最大是多少 万元? 16. B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 在△ABC 中, 设内角 A、 (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 且 sinA=2sinB,求△ABC 的面积. 17.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 CDE,∠AEC=90°,F 为 DE 中点,且 DE=1. (Ⅰ)求证:BE∥平面 ACF; (Ⅱ)求证:CD⊥DE; (Ⅲ)求 FC 与平面 ABCD 所成角的正弦值. .

的正方形,平面 AEC⊥平面

18.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,点(n,Sn)在函数 f(x)=2x2 的图象上,数列{bn}满 足:b1=a1,bn+1(an+1﹣an)=bn.其中 n∈N*. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求证:数列{cn}的前 n 项的和 (n∈N*) .

19.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右顶点的坐标分别为 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,

离心率 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的两焦点分别为 F1、F2,点 P 是椭圆 C 的上顶点,求△PF1F2 内切圆方程; (Ⅲ)若直线 l:y=k(x﹣1) (k≠0)与椭圆交于 M、N 两点,求证:直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x=4 上.

第 3 页(共 19 页)

20.已知函数 f(x)=kx2,g(x)=lnx (Ⅰ)求函数 的单调递增区间;

(Ⅱ)若不等式 f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)求证: .

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2016 年天津市滨海新区六所重点学校高三联考数学试卷 (文科)
参考答案与试题解析

一.选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,有且只 有一个是正确的. 1.已知全集 U={0,1,2,3,4},集合 A={1,2,3},B={2,4},则(?UA)∪B 为( ) A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,3,4} D.{0,2,4} 【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】由题意,集合?UA={0,4},从而求得(?UA)∪B={0,2,4}. 【解答】解:∵?UA={0,4}, ∴(?UA)∪B={0,2,4}; 故选 D. 2.“x<4”是“|x﹣2|<1”成立的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】由|x﹣2|<1,解得 1<x<3,即可判断出结论. 【解答】解:由|x﹣2|<1,解得 1<x<3, ∴“x<4”是“|x﹣2|<1”成立的必要不成立条件, 故选:B. 3.阅读如图的程序框图,当程序运行后,输出 S 的值为( )

A.57

B.119 C.120 D.247

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量 S 的值, 模拟程序的运行过程,分析循环中各变量值的变化情况,可得答案. 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 S=1,k=1 k=2,S=4 不满足条件 k>5,k=3,S=11
第 5 页(共 19 页)

不满足条件 k>5,k=4,S=26 不满足条件 k>5,k=5,S=57 不满足条件 k>5,k=6,S=120 满足条件 k>5,退出循环,输出 S 的值为 120. 故选:C. 4.设实数 p 在[0,5]上随机地取值,使方程 x2+px+1=0 有实根的概率为( A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 )

【考点】几何概型. 【分析】 由题意知方程的判别式大于等于零求出 p 的范围, 再判断出所求的事件符合几何概 型,再由几何概型的概率公式求出所求事件的概率. 【解答】解:若方程 x2+px+1=0 有实根,则△=p2﹣4≥0, 解得,p≥2 或 p≤﹣2; ∵记事件 A:“P 在[0,5]上随机地取值,关于 x 的方程 x2+px+1=0 有实数根”, 由方程 x2+px+1=0 有实根符合几何概型, ∴P(A)= 故选:A. = =0.6.

5.若

,则 a,b,c 大小关系为(



A.b>c>a B.b>a>c C.c>a>b D.a>b>c 【考点】对数值大小的比较. 【分析】根据指数函数与对数函数的图象与性质,即可得出 a,b,c 的大小关系. 【解答】解:∵a=30.1>1, 且 1<2<π, ∴0<logπ2<1, ∴0<b<1; 又 0<sin ∴c=log2sin <1, <0,

∴a,b,c 大小关系是 a>b>c. 故选:D.

6.将 y=sin2x+cos2x 的图象向右平移

个单位后,所得图象的解析式是(



A.y=sin2x﹣cos2x B.y=cos2x﹣sin2x C.y=cos2x+sin2x D.y=cosxsinx 【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;两角和与差的正弦函数. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,得出结论. 【解答】解:将函数 y=sin2x+cos2x= sin(2x+ )的图象向右平移 个单位后,

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所得图象对应的解析式是 y= 故选:A.

sin[2(x﹣

)+

]=

sin(2x﹣

)=sin2x﹣cos2x,

7.如图,F1、F2 是双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过 F1 的直线 l 与 C )

B. 的左、 右 2 个分支分别交于点 A、 若△ABF2 为等边三角形, 则双曲线的离心率为 (

A.4

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】利用双曲线的定义可得可得|AF1|﹣|AF2|=2a,|BF2|﹣|BF1|=2a,利用等边三角 形的定义可得:|AB|=|AF2|=|BF2|, : = ﹣ .在△AF1F2 中使用余弦定理可得 ,再利用离心率的计算

公式即可得出. 【解答】解:∵△ABF2 为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|, 由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a. 又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a. ∴|AF2|=4a,|AF1|=6a. 在△AF1F2 中,由余弦定理可得: , ∴ ,化为 c2=7a2, = ﹣ .

∴ 故选 B.

=



8.设函数 f(x)=|2x﹣1|,函数 g(x)=f(f(x) )﹣loga(x+1) , (a>0,a≠1)在[0, 1]上有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围为( )

第 7 页(共 19 页)

A. (1, ) B. (1,2) C. ( ,2) D. (2,+∞) 【考点】函数零点的判定定理. 【分析】作出两个函数的图象,结合对数函数的单调性,利用数形结合即可得到结论.

【解答】解:∵f(x)=|2x﹣1|=



∴f(f(x) )=|2|2x﹣1|﹣1|=

分别画出 y=f(f(x) )与 y=loga(x+1)的图象, ∵y=loga(x+1)的图象是由 y=logax 的图象向左平移一个单位得到的,且过点(0,0) , 当 x=1 时,y=f(f(1) )=1, log 1 1 =1 此时 a( + ) ,解得 a=2,有 4 个交点, 当 x= 时,y=f(f( ) )=1, 此时 loga( +1)=1,解得 a= ,有 2 个交点, 综上所述 a 的取值范围为( ,2) 故选:C.

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题纸的相应横线上. 9.已知 i 为虚数单位,复数 z 满足 z(2﹣i)=5i,则 z 等于﹣1+2i. 【考点】复数代数形式的乘除运算.
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【分析】利用复数的运算法则即可得出. 【解答】解:∵z(2﹣i)=5i, ∴z= = =2i﹣1,

故答案为:﹣1+2i. cm3

10.已知一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为

【考点】由三视图求面积、体积. 【分析】由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球,且圆柱的高为 3,圆柱与球的半径都是 1,代入体积公式求出圆柱的体积与半球的体积相减. 【解答】解:由三视图知几何体是一圆柱挖去一个半球,且圆柱的高为 3,圆柱与球的半径 都是 1, ∴几何体的体积 V=π×12×3﹣ π×13= 故答案是: . .

11.如图,PA 是圆 O 的切线,切点为 A,PO 交圆 O 于 B、C 两点, AC= .

,则

【考点】与圆有关的比例线段;相似三角形的性质. 【分析】连接 OA,则 OA⊥PA,利用切割线定理,求出 PO,OA,可求出∠PAB,即可求 出 AC. 【解答】解:连接 OA,则 OA⊥PA. ∵PA 是圆 O 的切线, ∴PA2=PB?PC, ∵PA= ,PB=1, ∴PC=3, ∴PO=2,OA=1,

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∴sin∠PAB= , ∴∠PAB=30°, ∴∠C=30°, ∵BC=PC﹣PB=2, ∴AC=2cos30°= 故答案为: .

12. 已知各项不为 0 的等差数列{an}满足

, 数列{bn}是等比数列, 且 b7=a7,

则 b2b8b11 的值等于 8. 【考点】等差数列的通项公式. 【分析】由等差数列和等比数列的通项公式和性质可得 b7=a7=2,而 b2b8b11=b73,代值计算 可得. 【解答】解:∵各项不为 0 的等差数列{an}满足 ∴2a7﹣a72=0,解得 a7=2,∴b7=a7=2, ∴b2b8b11=b6b8b7=b73=8, 故答案为:8. ,

13.已知实数 a,b 满足 a>b,且 ab=2,则 【考点】基本不等式. b 满足 a>b, 【分析】 实数 a, 且 ab=2, 变形为 再利用基本不等式的性质即可得出. 【解答】解:∵实数 a,b 满足 a>b,且 ab=2, ∴ = =(a﹣b)+ ≥2

的最小值是



=

= (a﹣b) +



=2

,当且仅当

,a=

时取等号.



的最小值是 2



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故答案为:2



14.已知菱形 ABCD 的边长为 2,∠BAD=120°,点 E,F 分别在边 BC、DC 上, .若 ,则实数 λ 的值为﹣ .

【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用两个向量的加减法的法则,以及其几何意义,两个向量的数量积的定义由若 ,求得. 【解答】解:∵ ∴ = =| ? ? =( + |?| ? + + = + = ) ( ? |?| + + + |cos0°+ , ) , ? | , |?| |cos0°+ | |? | = + = + ,

|cos120°+ |

|cos120°, =2×2×(﹣ )+ ×2×2×1+ = =1, ×2×2×1+ ×2×2×(﹣ )

解得 λ=﹣ , 故答案为:﹣ .

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.某厂用甲、乙两种原料生产 A、B 两种产品,已知生产 1 吨 A 产品,1 吨 B 产品分别需 要的甲、乙原料数,每种产品可获得的利润数及该厂现有原料数如表所示. 产品 A 产品 B 产品 现有原料 所需原料 (1 吨) (1 吨) (吨) 原料 4 5 200 甲原料(吨) 3 10 300 乙原料(吨) 7 12 利润(万元) 问:在现有原料下,A、B 产品应各生产多少吨才能使利润总额最大?利润总额最大是多少 万元? 【考点】简单线性规划的应用;简单线性规划. 【分析】生产 A、B 产品分别为 x,y 吨,利润总额为 z 元,列出约束条件,作出可行域, 根据可行域寻找最优解. 【解答】解:设生产 A、B 产品分别为 x,y 吨,利润总额为 z 元,

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由题意得



目标函数为 z=7x+12y. 作出二元一次不等式组所表示的可行域,如图:

目标函数可变形为 ∵﹣ <﹣ ∴当 解 <﹣ ,



通过图中的点 A 时,截距 得点 A 坐标为(20,24) .

最大,即 z 最大.

将点 A(20,24)代入 z=7x+12y 得 zmax=7×20+12×24=428 万元. 答:该厂生产 A,B 两种产品分别为 20 吨、24 吨时利润最大,最大利润为 428 万元.

16. B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 在△ABC 中, 设内角 A、 (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)若 且 sinA=2sinB,求△ABC 的面积. 【考点】余弦定理;正弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用两角差的正弦函数,余弦函数公式化简已知可得



,结合范围 0

<C<π,即可解得 C 的值. (Ⅱ)由正弦函数化简 sinA=2sinB,可得 a=2b,利用余弦定理解得 b,可求 a 的值,利用三 角形面积公式即可得解. 【解答】 (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)因为 因为在△ABC 中,0<C<π,所以 (Ⅱ)因为 sinA=2sinB,所以 a=2b, 因为 c2=a2+b2﹣2abcosC, . ,所以 ,

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所以 所以 b=2,所以 a=4. 所以 .



17.如图,在四棱锥 E﹣ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 CDE,∠AEC=90°,F 为 DE 中点,且 DE=1. (Ⅰ)求证:BE∥平面 ACF; (Ⅱ)求证:CD⊥DE; (Ⅲ)求 FC 与平面 ABCD 所成角的正弦值.

的正方形,平面 AEC⊥平面

【考点】直线与平面所成的角;直线与平面平行的判定. 【分析】 (I)连结 BD 和 AC 交于 O,连结 OF,由中位线定理得出 BE∥OF,故 BE∥平面 ACF; (II)由面面垂直的性质得出 AE⊥平面 CDE,故而 AE⊥CD,又 CD⊥AD,于是 CD⊥平 面 ADE,从而 CD⊥DE; (III)过 F 作 FM⊥AD 于 M,连接 CM.则可证 FM⊥平面 ABCD,于是∠FCM 为所求的 线面角,利用勾股定理和相似三角形求出 CF,FM,得出 sin∠FCM. 【解答】证明: (Ⅰ)连结 BD 和 AC 交于 O,连结 OF, ABCD ∵ 为正方形,∴O 为 BD 中点, ∵F 为 DE 中点, ∴OF∥BE,又∵BE?平面 ACF,OF? 平面 ACF, ∴BE∥平面 ACF. (Ⅱ)∵平面 AEC⊥平面 CDE,∠AEC=90°,平面 AEC∩平面 CDE=CE, ∴AE⊥平面 CDE,CD? 平面 CDE, ∴AE⊥CD, ∵ABCD 为正方形,∴CD⊥AD, 又∵AE∩AD=A,AD,AE? 平面 DAE, ∴CD⊥平面 DAE,∵DE? 平面 DAE, ∴CD⊥DE. (Ⅲ)过 F 作 FM⊥AD 于 M,连接 CM. 由(II)得 CD⊥平面 DAE,CD? 平面 ABCD, ∴平面 ABCD⊥平面 DAE, 又∴平面 ABCD∩平面 DAE=AD,FM⊥AD,
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∴FM⊥平面 ABCD, ∴∠FCM 为 FC 与平面 ABCD 所成角, ∴ ∴ ,DF= ,DE=1,∴ . ,AE=1, ,∴FM= = ,

18.设数列{an}的前 n 项的和为 Sn,点(n,Sn)在函数 f(x)=2x2 的图象上,数列{bn}满 足:b1=a1,bn+1(an+1﹣an)=bn.其中 n∈N*. (Ⅰ)求数列{an}和{bn}的通项公式; (Ⅱ)设 ,求证:数列{cn}的前 n 项的和 (n∈N*) .

【考点】数列与不等式的综合;数列递推式. 【分析】 (Ⅰ)利用 与 作差可知 an=4n﹣2(n≥2)进而可知 an=4n

﹣2;通过代入计算可知 bn+1= bn,进而计算可得结论; (Ⅱ)通过(I)可知数列{cn}的通项公式,进而利用错位相减法计算即得结论. 【解答】 (Ⅰ)解:由已知条件得 当 n=1 时,a1=2 当 n≥2 时, ①﹣②得: 又 a1=2,∴an=4n﹣2; ∵b1=a1,bn+1(an+1﹣an)=bn, ∴ , ,② ,即 an=4n﹣2(n≥2) , ,①





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(Ⅱ)证明:∵



∴ 4Tn=4+3?42+…+(2n﹣3)?4n﹣1+(2n﹣1)?4n 两式相减得







19.椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的左、右顶点的坐标分别为 A(﹣2,0) ,B(2,0) ,

离心率 (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设椭圆 C 的两焦点分别为 F1、F2,点 P 是椭圆 C 的上顶点,求△PF1F2 内切圆方程; (Ⅲ)若直线 l:y=k(x﹣1) (k≠0)与椭圆交于 M、N 两点,求证:直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x=4 上.

【考点】直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)根据条件便得到 a=2, C 的方程为 ; ,从而便可得出 c= ,b=1,这样便得出椭圆

(Ⅱ)根据题意便知△PF1F2 内切圆的圆心在 y 轴上,设圆心为(0,m) ,m>0,并且圆半 径为 m,可以得出点 P,F2 的坐标,从而得出直线 PF2 的方程为 ,这样即 可得出圆心到该直线的距离 , 从而可求出 m, 这样便可得出内切圆的方程;

(Ⅲ)可将直线 l 的方程带入椭圆 C 的方程并整理可以得到(1+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣4=0, y1) N y2) 可设 M (x1, , (x2, , 从而由韦达定理得到 分别写出直线 AM 和 BN 的方程,从而可分别求出这两直线与 x=4 的交点
第 15 页(共 19 页)

. 可

,从而可证明 R,Q 两点重合,即这两点的纵坐标相等, 这样便可证出直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x=4 上:M,N 都在直线 l 上,从而有 y1=k (x1﹣1) ,y2=k(x1﹣1) ,然后证明 【解答】解: (Ⅰ)根据题意,a=2, ∴ ,∴b2=a2﹣c2=1; ; ; ; 即可.

∴椭圆 C 的方程 (Ⅱ) ∴△PF1F2 为等腰三角形;

∴△PF1F2 的内切圆的圆心在 y 轴上设圆心(0,m) ,m>0,∴ 直线 PF2 的方程为 解得 ∴△PF1F2 内切圆方程为 (Ⅲ)证明:将直线 l:y=k(x﹣1)代入椭圆 C 的方程 ﹣8k2x+4k2﹣4=0; ∵直线过(1,0) ,∴△>0 恒成立; 设直线 l 与椭圆 C 的 C 交点 M(x1,y1) ,N(x2,y2) ; 由根与系数的关系,得 ; ,内切圆与直线 PF2 相切,圆心到 PF2 的距离 ; ;



并整理得: (1+4k2)x2

直线 AM 的方程为:

,它与直线 x=4 的交点坐标为



同理可求得直线 BN 与直线 x=4 的交点坐标为 下面证明 P,R 两点重合,即证明 P,R 两点的纵坐标相等: y1=k(x1﹣1) ,y2=k(x2﹣1) ; ∴



=

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=

=

,因此结论成立;

综上可知.直线 AM 与直线 BN 的交点在直线 x=4 上. 20.已知函数 f(x)=kx2,g(x)=lnx (Ⅰ)求函数 的单调递增区间;

(Ⅱ)若不等式 f(x)≥g(x)在区间(0,+∞)上恒成立,求 k 的取值范围; (Ⅲ)求证: .

【考点】利用导数求闭区间上函数的最值;利用导数研究函数的单调性. 【分析】 (Ⅰ)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的递增区间即可; (Ⅱ)分离参数,问题转化为求 R(x)= 的单调区间,从而求出函数的最大值即可; (Ⅲ)由(Ⅱ)知 ,得到 , (x≥2) ,放缩法证明即可. 的最大值,解关于导函数的方程,求出函数

【解答】解: (Ⅰ)∵ 令 h'(x)>0,得 0<x<e, 故函数 (Ⅱ)由

(x>0)∴



的单调递增区间为(0,e) ,

则问题转化为 k 大于等于 R(x)的最大值, 又 令 当 x 在区间(0,+∞)内变化时,R'(x) 、R(x)变化情况如表: x (0, ) ( ,+∞) R'(x) 0 + ﹣ R(x) 由表知当 ↗ 时,函数 R(x)有最大值,且最大值为 ↘ ,

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因此 k≥ (Ⅲ)证明:由(Ⅱ)知 ∴ 又∵ = ∴ ,∴ , , (x≥2) ,10 分

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2016 年 9 月 7 日

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