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云南省师大附中2014届高三高考适应性月考数学试题(一)(理)



云南师大附中 2014 届高考适应性月考卷(一) 理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 1 C 2 B 3 A 4 B 5 B 6 C 7 B A 8
[来源:学_科_网

9 C

10 D

>11 A

12 B

Z_X_X_K]

【解析】 5.由已知 b ? 10a ,∴A、C、D 均满足,而 10b ? 10a ?1 ,故选 B. 6.由已知 0≤4 x≤4 ,且 ln x ? 0 , x ? 0 ? 0 ? x ? 1 ,故选 C. 7.执行程序后,输出 10 ? (1 ? 2 ? 3 ? … ? 10) ,故选 B.
?1? 8.由指数函数 y ? 2 x , y ? ? ? 与对数函数 y ? log 2 x , y ? log 1 x 的图象可得 a ? b ? c ,故选 A. ?2? 2
x

9.由已知,可判断 f ( x) 是以 4 为周期的周期函数,又∵ f ( x) 是 R 上的偶函数,
∴f (1) ? f (?1) ,又当? 2≤x≤0 时, f ( x) ? log 2 (1 ? x) ,

∴ f (2013) ? f (503 ? 4 ? 1) ? f (1) ? f (?1) ? log 2 [1 ? (?1)] ? 1 ,故选 C. 10. y ? ?
?4e x ?4e x ,由基本不等式知 ?1≤ x ? 0 ,即 ?1≤ tan ? ? 0 ,又 ? ? [0, π) , (e x ? 1) 2 (e ? 1) 2

? 3π ? ∴ ? 的取值范围是 ? , π ? ,故选 D. ?4 ?

11.∵函数 f ( x) ? 2 x 2 ? ln x 的定义域是 {x x ? 0} , 又 f ?( x) ? 4 x ?
1 4 x 2 ? 1 (2 x ? 1)(2 x ? 1) ? , ? x x x

∴若函数 f ( x) 在其定义域的一个子 区间 (t ? 1, t ? 1) 上不是单调函数, 则有 0≤t ? 1 ?
1 ? 3? ? t ? ?1, ? ,故选 A. 2 ? 2?

图1

12. f ?( x) ? x 2 ? mx ?

m?n ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x1 ? (0, 1) , 2

?m ? n ? 2 ? 0, ? f ?(0) ? 0, ? x2 ? (1, ? ?) ,故有 ? ?? ? f ?(1) ? 0 ?1 ? m ? m ? n ? 0, ? ? 2

?m ? n ? 0, 即? 作出区域 D,如图 1 阴影部分, ?3m ? n ? 2 ? 0,

可得 log a ( ?1 ? 4) ? 1 ,∴1 ? a ? 3 ,故选 B.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 13 10 14 ?8 15 (?2,?1) (或闭区间) 16
3? ? ? ?4, ? 2 ? ? ?

【解析】 13. 取 x ? 3, 则 f (1) ? 32 ? 1 ? 10 .
[来源:学科网 ZXXK]

14.由已知, f (a) ? a 3 cos a ? 1 =10,∴ a 3 cos a ? 9 , 又∵函数 h(a) ? a 3 cos a 是奇函数,∴ h(?a) ? ?9 ,故 f (?a) ? ?9 ? 1 ? ?8 . 15. f ?( x) ? (2 x ? 1)e x ? e x ( x 2 ? x ? 1) ? e x ( x 2 ? 3x ? 2) , 由 f ?( x) ? 0 解得函数 f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e x ( x ? R ) 的单调减区间为(?2,?1) . 16.∵ M ? {x | x 2 ? ax ? b ? 0} , N ? {x | kx 2 ? 4 x ? k ? 3≥0} , (? R M ) ? N ? N , ∴ N ? ? R M ,又∵ (? R M ) ? N ? ? x | ?2≤x≤3? , ∴ ? R M ? ? x | ?2≤x≤3? , ∴ M ? {x | x ? ?2或x ? 3} ,若 k≥0 时,显然 N ? ? R M 不成立,∴ k ? 0 , 由 N ? ? 且 N ? ? R M 可知方程 F ( x) ? kx 2 ? 4 x ? k ? 3 ? 0 的两根都在区间 [?2, 3] 内,

? ?k ? 0, ? ??≥0, 3 3? ? ? ∴ ? F (?2)≤0, 解之得 ?4≤k≤ ? ,故 k ? ? ?4, ? ? . 2? 2 ? ? F (3)≤0, ? 2 ? ??2≤ ? k ≤3, ?

三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)令 f ( x) ? 0 ,得 sin x( 3 sin x ? cos x) ? 0 , 所以 sin x ? 0, tan x ? ?
3 . 3

…………………………(2 分)

………………………………………………… (4 分) ……………………………………………(5 分)

?π ? 由 sin x ? 0, x ? ? , π ? ,得 x ? π , ?2 ?

由 tan x ? ? 得x?
5π , 6

3 ?π ? , x ? ? , π? , 3 ?2 ?

……………………………………………………………………(6 分)
5π . 6

综上, f ( x) 的零点为 x ? π 或 x ?

………………………………………(7 分) …………………………………………(9 分) …………………………………(11 分) …………………(12 分)

1 (Ⅱ) g ( x) ? sin x cos x ? sin 2 x , 2

由 2 x ? kπ ?

π kπ π (k ? Z) 得 x ? ? (k ? Z) , 2 2 4

即函数 g ( x) 的图象的对称轴方程为: x ? 18. (本小题满分 12 分)

kπ π ? (k ? Z) . 2 4

解:设该游客选择游玩甲、乙、丙景点的概率依次为 P , P2 , P3 ,由题意知 1
? P (1 ? P2 )(1 ? P3 ) ? 0.08, ? P ? 0.4, 1 1 ? ? 解得 ? P2 ? 0.6, ? P P2 (1 ? P3 ) ? 0.12, 1 ?1 ? (1 ? P )(1 ? P )(1 ? P ) ? 0.88, ? P ? 0.5. ? 3 1 2 3 ?

………………………………(3 分)

(Ⅰ)依题意, ? 的所有可能取值为 0,2.

? =0 的意义是:该游客游玩的旅游景点数为 3,没游玩的旅游景点数为 0;或游玩的旅游景点数
为 0,没游玩的旅游景点数为 3, 故 P(? ? 0) ? (1 ? 0.4)(1 ? 0.6)(1 ? 0.5) ? 0.4 ? 0.6 ? 0.5 ? 0.24, ………………(6 分)

而函数 f ( x) ? x 2 ? ? x 是R上的偶函数时 ? =0, 所以 P( A) ? P(? ? 0) ? 0.24 . ……………………………………………(8 分) ………………… …………(10 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 P(? ? 2) ? 1 ? P(? ? 0) ? 0.76,

? 的概率分布列为:
?
[来源:学§科§网]

0 0.24

2 0.76

P

其数学期望是: E (? ) ? 0 ? 0.24 ? 2 ? 0.76 ? 1.52 . ………………………………(12 分) 19. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:在题图中,由题意可知,
BA⊥PD ,ABCD 为正方形,所以在图 2 中, SA⊥AB, SA ? 2 ,

四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形, 因为 SB⊥BC , AB⊥BC ,且 SB ? AB ? B , 所以 BC⊥ 平面 SAB, …………………………………(3 分)

又 SA ? 平面 SAB,所以 BC⊥SA, 又SA⊥AB ,且 BC ? AB ? B ,
图2

所以 SA⊥ 平面 ABCD.

………………………………(6 分)

???? 1 ???? (Ⅱ)解:方法一: 如图 2,在 AD 上取一点 O,使 AO ? AD ,连接 EO. 3 ??? 1 ??? ? ? 因为 SE ? SD ,所以 EO//SA , ……………………………………………(7 分) 3

所以 EO⊥ 平面 ABCD,过 O 作 OH⊥AC 于 H,连接 EH, 则 AC⊥ 平面 EOH,所以 AC⊥EH . 所以 ?EHO 为二面角 E?AC?D 的平面角,
EO ? 2 4 SA ? . 在 Rt△AHO 中, 3 3

………………………………(9 分)

[来源:Z*xx*k.Com]

2 2 2 . …………………… ………(11 分) ? ? 3 2 3 1 所以二面角 E?AC?D 的余弦值为 . ………………………………………(12 分) 3 ?HAO ? 45?, HO ? AO ?sin 45? ?

方法二:以 A 为原点建立空间直角坐标系,如图 3,
A(0, 0, 0), B(2, 0, 0), C (2, 2, 0), D(0, 2, 0),
? 2 4? S (0, 0, 2), E ? 0, , ? , ? 3 3?

…………………………(7 分)

??? ? 易知平面 ACD 的法 向量为 AS ? (0, 0, 2) ,
? 设平面 EAC 的法向量为 n ? ( x, y, z ) ,
???? ??? ? 2 4 ? ? AC ? (2, 2, 0), AE ? ? 0, , ? , ? 3 3?

…………………………………………(9 分)

图3

? ???? ? x ? 2, ?n ? AC ? 0, ? x ? y ? 0, ? ? 由 ? ? ??? 所以 ? 可取 ? y ? ?2, ? y ? 2 z ? 0, ? ?n ? AE ? 0, ? z ? 1, ? ?

? 所以 n ? (2, ? 2, 1) ,

……………………………………………………(11 分)

? ??? ? ? ??? ? n ? AS 2 1 所以 cos < n, AS >? ? ??? ? ? , ? n AS 2 ? 3 3

1 所以二面角 E?AC?D 的余弦值为 . 3

………………………………………(12 分)

20. (本小题满分 12 分)

解:(Ⅰ)当 0 ? x≤10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 8.1x ? x

3

30

? 10 ,

……………………………………………………………………………(2 分) 当 x ? 10 时, W ? xR( x) ? (10 ? 2.7 x) ? 98 ? 1000 ? 2.7 x ,……………………(4 分)
3x
? x ? 10, 0 ? x≤10, ?8.1x ? ? 30 ∴W ? ? ……………………………………………… ?98 ? 1000 ? 2.7 x, x ? 10. ? 3x ?
3

(6

分) (Ⅱ)①当 0 ? x≤10 时,由 W ? ? 8.1 ? x 当 x ? (0,
2

10

? 0 ,得 x ? 9 .

9) 时, W ? ? 0 ;当 x ? (9, 10] 时, W ? ? 0 ,

∴当 x ? 9 时,W 取得最大值,即 Wmax ? 8.1 ? 9 ?

1 ? 93 ? 10 ? 38.6 . 30

……………………………………………………………………………(9 分)

②当 x ? 10 时, W ? 98 ? ? 1000 ? 2.7 x ?≤98 ? 2 ? ?
? 3x ?

1000 ? 2.7 x ? 38 , 3x

当且仅当 1000 ? 2.7 x ,即 x ? 100 时,W 取得最大值 38.
3x 9

综合①②知:当

x?9

时 , W 取 得 最 大 值 为 38.6 万 元 , ………………………(11 分)

故当年产量为 9 千件时,该公司在这一产品的产销过程中所获的年利润 最大.
………………………………………………………………………(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ?
1 ? ln x ln x , x ? 0 ,则 f ?( x) ? ? 2 , x x

……………………(1 分)

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以 f ( x) 在 (0, 1) 上单调递增;在 (1, ? ?) 上单调递减, 所以函数 f ( x) 在 x ? 1 处取得极大值. …………………………………………(2 分)

1? ? 因为函数 f ( x) 在区间 ? t , t ? ? (其中t ? 0) 上存在极值, 2? ? ?t ? 1, 1 ? 所以 ? 1 解得 ? t ? 1. ………………………………………………(4 分) 2 ?t ? 2 ? 1, ?

a ( x ? 1)(1 ? ln x) ( x ? 1)(1 ? ln x) , , 即为 ≥a, 记 g ( x) ? x ?1 x x [( x ? 1)(1 ? ln x)]? x ? ( x ? 1)(1 ? ln x) x ? ln x 所以 g ?( x) ? . ……………………(5 分) ? x2 x2

(Ⅱ)不等式 f ( x)≥

令 h( x) ? x ? ln x ,则 h?( x) ? 1 ?
∵x≥1 ,∴h?( x)≥0 ,
∴h( x) 在 [1, ? ?) 上单调递增,

1 , x

∴ h( x)]min ? h(1) ? 1 ? 0 ,从而 g ?( x) ? 0 , [

故 g ( x) 在 [1, ? ?) 上也单调递增,所以 [ g ( x)] min ? g (1) ? 2, 所以 a≤2 . 由 上述知 f ( x)≥ ………………… ……………………………………………(7 分)

2 x ?1 2 2 恒成立,即 ln x≥ ?1? ?1? , x ?1 x ?1 x ?1 x 2 令 x ? n(n ? 1) ,则 ln[n(n ? 1)] ? 1 ? , n(n ? 1)

∴ ln(1 ? 2) ? 1 ?

2 2 2 , ln(2 ? 3) ? 1 ? , ln(3 ? 4) ? 1 ? ,…, 1? 2 2?3 3? 4 2 , ………………………………………………………(9 分) ln[n(n ? 1)] ? 1 ? n(n ? 1)

? 1 1 1 ? ? ? ??? ? 叠加得 ln[1 ? 22 ? 32 ? ? ? ?? n 2 (n ? 1)] ? n ? 2 ? n(n ? 1) ? ?1 ? 2 2 ? 3 ?
1 ? ? ? n ? 2 ?1 ? ??n?2. n ?1? ?

则 1 ? 22 ? 32 ? ? ? ?? n 2 (n ? 1) ? e n ? 2 , 所以 [(n ? 1)! ? (n ? 1) ? en ? 2 (n ? N? ) . ]2 ………………………………………(12 分)

22. (本小题满分 10 分)【选修 4?1:几何证明选讲】 证明: (Ⅰ)如图 4,过点 P 作两圆公切线交 BD 于 T, 连接 PC ,∵AC 为直径,∴?APC ? 90? ,
∴?BPC ? ?TPC ? ?TPB ? 90? , ?A ? ?ACP ? 90? ,
图4

又 BD 与⊙O2 相切于 B, PT 为两圆公切线,
∴?TPC ? ?A , ?TBP ? ?TPB , ∴?TPB ? ?ACP ? ?TBP , ∴?A ? ?TBP ? 90? ,

故 ?ADB ? 90?, ∴AD⊥BD .

……………………………………………………(5 分)

(Ⅱ) 由(Ⅰ)易证 △APC ∽ △ADB ,



PC AP 又由(Ⅰ)知∠ACP=∠DBP, ? , BD AD PC PM ? , BD BM

∴P、B、D、C 四点共圆,又易证 △PCM ∽△BDM ,∴ ∴
PM AP ? , BM AD

∴ AP ? BM ? AD ? PM .

……………………………………………………(10 分)

23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】
2 1? ? 3? ? 解: (Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,可得点 N (2, 2 3) ,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, ? 2? ? 2 ? ? ? 2

?1 3? 圆心为 O1 ? , ? 2 2 ? ,半径为 1, ? ? ?

∴ O1 N =3,

[来源:Zxxk.Com]

∴ MN 的最小值为 3 ? 1 ? 2 .

………………………………………………(5 分)
2

2 1? ? 3? ? (Ⅱ)由已知,曲线 C1 为圆 ? x ? ? ? ? y ? ? ? 1, ? 2? ? 2 ? ? ?

曲线 C2 为圆 ( x ? 2)2 ? ( y ? 3) 2 ? t 2 (t ? 0) ,圆心为 O2 (2, ∵曲线 C1 与曲线 C2 有两个不同交点,
2 1? ? 3? ? ∴t ?1 ? ? 2 ? ? ? ? 3 ? ? ? t ? 1, t ? 0 , 2? ? 2 ? ? ? ? 2

3) ,半径为 t,

解得 3 ? 1 ? t ? 3 ? 1 , ∴正数 t 的取值范围是 ( 3 ? 1,

3 ? 1) .

……………………………………(10 分)

24. (本小题满分 10 分)【选修 4?5:不等式选讲】
证明:(ax ? by )(ay ? bx) ? ab ? a 2 xy ? b 2 xy ? abx 2 ? aby 2 ? ab ? xy (a 2 ? b 2 ) ? ab( x 2 ? y 2 ? 1) ? xy (a 2 ? b 2 ) ? ab[( x ? y ) 2 ? 2 xy ? 1] .

…………………………………………(3 分)

∵x ? y ? 1,
∴(ax ? by )(ay ? bx) ? ab ? xy (a 2 ? b 2 ) ? 2abxy ? xy (a ? b) 2≥0 ( x, y ? 0) ,

? ab≤(ax ? by )(ay ? bx) .

………………………………………………………(6 分)
2 2

? (ax ? by ) ? (ay ? bx) ? ? a( x ? y ) ? b( x ? y ) ? 又 (ax ? by )(ay ? bx)≤ ? ? ?? ? 2 2 ? ? ? ? (a ? b) ?a?b? ?? . ? ? 4 ? 2 ?
2 2

? ab≤(ax ? by )(ay ? bx)≤

( a ? b) 2 . 4

……………………………………………(10 分)



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