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第9章 第7节 离散型随机变量及其分布列



2009~2013 年高考真题备选题库 第 9 章 计数原理与概率、随机变量及其分布 第 7 节 离散型随机变量及其分布列
考点 离散型随机变量及其分布列
1. (2013 新课标全国Ⅰ,12 分)一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产 品中任取 4 件作检验,这 4 件产品中优质品的件数记为 n.如果 n=3,再从这批产品中任取 4 件作检验,若都

为优质品,则这批产品通过检验;如果 n=4,再从这批产品中任取 1 件作检 验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验. 1 假设这批产品的优质品率为 50%,即取出的每件产品是优质品的概率都为 ,且各件产 2 品是否为优质品相互独立. (1)求这批产品通过检验的概率; (2)已知每件产品的检验费用为 100 元,且抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质 量检验所需的费用记为 X(单位:元),求 X 的分布列及数学期望. 解:本题主要考查独立重复试验和互斥事件的概率、条件概率、离散型随机变量的分布 列和数学期望等,意在考查考生的阅读理解能力及运用所学概率知识解决实际问题的能力. (1)设第一次取出的 4 件产品中恰有 3 件优质品为事件 A1, 第一次取出的 4 件产品全是优 质品为事件 A2, 第二次取出的 4 件产品都是优质品为事件 B1, 第二次取出的 1 件产品是优质 品为事件 B2,这批产品通过检验为事件 A,依题意有 A=(A1B1)∪(A2B2),且 A1B1 与 A2B2 互 斥,所以 P(A)=P(A1B1)+P(A2B2) =P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) = = 4 1 1 1 × + × 16 16 16 2 3 . 64

(2)X 可能的取值为 400,500,800,并且 4 1 11 1 P(X=400)=1- - = ,P(X=500)= , 16 16 16 16 1 P(X=800)= . 4 所以 X 的分布列为 X P 400 11 16 500 1 16 800 1 4

11 1 1 EX=400× +500× +800× =506.25. 16 16 4 2.(2013 山东,12 分)甲、乙两支排球队进行比赛,约定先胜 3 局者获得比赛的胜利, 1 2 比赛随即结束.除第五局甲队获胜的概率是 外,其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各 2 3 局比赛结果互相独立. (1)分别求甲队以 3∶0,3∶1,3∶2 胜利的概率; (2)若比赛结果为 3∶0 或 3∶1,则胜利方得 3 分、对方得 0 分;若比赛结果为 3∶2,则 胜利方得 2 分、对方得 1 分.求乙队得分 X 的分布列及数学期望. 解:本题考查相互独立事件的概率、二项分布、离散型随机变量的概率分布与数学期望 等基础知识,考查分类与整合思想,考查运算求解能力,考查分析问题和解决问题的能力. (1)记“甲队以 3∶0 胜利”为事件 A1,“甲队以 3∶1 胜利”为事件 A2,“甲队以 3∶2 胜利”为事件 A3, 由题意知,各局比赛结果相互独立, 2?3 8 故 P(A1)=? ?3? =27,

?2?2?1-2?×2= 8 , P(A2)=C2 3 3 ? ? ? 3? 3 27 ?2?2?1-2?2×1= 4 . P(A3)=C2 4 3 ? ? ? 3? 2 27
8 4 所以,甲队以 3∶0 胜利、以 3∶1 胜利的概率都为 ,以 3∶2 胜利的概率为 . 27 27 (2)设“乙队以 3∶2 胜利”为事件 A4, 由题意知,各局比赛结果相互独立,

? 2?2?2?2×?1-1?= 4 . 所以 P(A4)=C2 4 1-3 ? ? ?3? ? 2? 27
由题意知,随机变量 X 的所有可能的取值为 0,1,2,3, 根据事件的互斥性得 16 P(X=0)=P(A1+A2)=P(A1)+P(A2)= , 27 4 又 P(X=1)=P(A3)= , 27 4 P(X=2)=P(A4)= , 27 3 P(X=3)=1-P(X=0)-P(X=1)-P(X=2)= , 27 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3

P

16 27

4 27

4 27

3 27

16 4 4 3 7 所以 EX=0× +1× +2× +3× = . 27 27 27 27 9 3. (2013 湖南, 12 分) 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点(指 纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一株相同品种的作物.根据历年的种植 经验,一株该种作物的年收获量 Y(单位:kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下 表所示: X Y 1 51 2 48 3 45 4 42

这里,两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米. (1)从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,求它们恰好“相近”的概率; (2)从所种作物中随机选取一株,求它的年收获量的分布列与数学期望. 解:本小题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列与数学期望的求解,考查考生 的阅读理解能力、收集数据的能力、运算求解能力和创新意识. (1)所种作物总株数 N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地块内部的作物株数为 3,边界
1 1 上的作物株数为 12.从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株的不同结果有 C3 C12=36

种,选取的两株作物恰好“相近”的不同结果有 3+3+2=8 种. 8 故从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物,它们恰好“相近”的概率为 36 2 = . 9 (2)先求从所种作物中随机选取的一株作物的年收获量 Y 的分布列. 因为 P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2), P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4), 所以只需求出 P(X=k)(k=1,2,3,4)即可. 记 nk 为其“相近”作物恰有 k 株的作物株数(k=1,2,3,4),则 n1=2,n2=4,n3=6,n4= 3. nk 2 4 6 2 3 1 由 P(X=k)= ,得 P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= = ,P(X=4)= = . N 15 15 15 5 15 5 故所求的分布列为 Y P 所求的数学期望为 2 4 2 1 34+64+90+42 E(Y)=51× +48× +45× +42× = =46. 15 15 5 5 5 51 2 15 48 4 15 45 2 5 42 1 5

1 1 1 解析:∵P(X=0)= =(1-p)2× ,∴p= ,随机变量 X 的可能值为 0,1,2,3,因此 P(X 12 3 2 =0)= 1 2 1 2 1 1 2 1 1 1 5 2 ,P(X=1)= ×( )2+ ×( )2= ,P(X=2)= ×( )2×2+ ×( )2= ,P(X=3)= 12 3 2 3 2 3 3 2 3 2 12 3

1 1 1 5 1 5 ×( )2= ,因此 E(X)=1× +2× +3× = . 2 6 3 12 6 3 5 答案: 3 3 4. (2012 山东,12 分)现有甲、乙两个靶.某射手向甲靶射击一次,命中的概率为 , 4 2 命中得 1 分,没有命中得 0 分;向乙靶射击两次,每次命中的概率为 ,每命中一次得 2 分, 3 没有命中得 0 分.该射手每次射击的结果相互独立.假设该射手完成以上三次射击. (1)求该射手恰好命中一次的概率; (2)求该射手的总得分 X 的分布列及数学期望 EX. 解: (1)记: “该射手恰好命中一次”为事件 A, “该射手射击甲靶命中”为事件 B, “该 射手第一次射击乙靶命中”为事件 C,“该射手第二次射击乙靶命中”为事件 D,由题意知 3 2 P(B)= ,P(C)=P(D)= ,由于 A=B C 4 3 根据事件的独立性和互斥性得 P(A)=P(B C D + B C D + B C D) =P(B C D )+P( B C D )+P( B C D) =P(B)P( C )P( D )+P( B )P(C)P( D )+P( B )P( C )P(D) 3 2 2 3 2 2 3 2 2 = ×(1- )×(1- )+(1- )× ×(1- )+(1- )×(1- )× 4 3 3 4 3 3 4 3 3 = 7 . 36 D + B C D + B C D,

(2)根据题意,X 的所有可能取值为 0,1,2,3,4,5. 根据事件的独立性和互斥性得 P(X=0)=P( B C D)

=[1-P(B)][1-P(C)][1-P(D)] 3 2 2 =(1- )×(1- )×(1- ) 4 3 3 = 1 . 36

P(X=1)=P(B C D )=P(B)P( C )P( D ) 3 2 2 1 = ×(1- )×(1- )= . 4 3 3 12

P(X=2)=P( B C D + B C D)=P( B C D )+P( B C D) 3 2 2 3 2 2 =(1- )× ×(1- )+(1- )×(1- )× 4 3 3 4 3 3 1 = , 9 P(X=3)=P(BC D +B C D)=P(BC D )+P(B C D) 3 2 2 3 2 2 1 = × ×(1- )+ ×(1- )× = , 4 3 3 4 3 3 3 3 2 2 1 P(X=4)=P( B CD)=(1- )× × = , 4 3 3 9 3 2 2 1 P(X=5)=P(BCD)= × × = . 4 3 3 3 故 X 的分布列为 X P 0 1 36 1 1 12 2 1 9 3 1 3 4 1 9 5 1 3

1 1 1 1 1 1 41 所以 EX=0× +1× +2× +3× +4× +5× = . 36 12 9 3 9 3 12 5. (2012 江苏,10 分)设 ξ 为随机变量.从棱长为 1 的正方 体的 12 条棱中任取两条,当两条棱相交时,ξ=0;当两条棱平行 时,ξ 的值为两条棱之间的距离;当两条棱异面时,ξ=1. (1)求概率 P(ξ=0); (2)求 ξ 的分布列,并求其数学期望 E(ξ). 解:(1)若两条棱相交,则交点必为正方体 8 个顶点中的 1 个,
2 过任意 1 个顶点恰有 3 条棱,所以共有 8C3 对相交棱,因此 P(ξ=

8×3 4 8C2 3 0)= 2 = = . C12 66 11 (2)若两条棱平行,则它们的距离为 1 或 2,其中距离为 2的共有 6 对, 故 P(ξ= 2)= 6 1 = , C2 11 12

4 1 6 于是 P(ξ=1)=1-P(ξ=0)-P(ξ= 2)=1- - = , 11 11 11 所以随机变量 ξ 的分布列是 ξ P(ξ) 0 4 11 1 6 11 2 1 11

6 1 6+ 2 因此 E(ξ)=1× + 2× = . 11 11 11 6.(2011 新课标全国,12 分)某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表 明质量越好,且质量指标值大于或等于 102 的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为 A 配方和 B 配方)做试验,各生产了 100 件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下 面试验结果: A 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 8 [94,98) 20 [98,102) 42 [102,106) 22 [106,110] 8

B 配方的频数分布表 指标值分组 频数 [90,94) 4 [94,98) 12 [98,102) 42 [102,106) 32 [106,110] 10

(1)分别估计用 A 配方,B 配方生产的产品的优质品率; (2)已知用 B 配方生产的一件产品的利润 y(单位:元)与其质量指标值 t 的关系式为 y= -2,t<94, ? ? ?2,94≤t<102, ? ?4,t≥102.

从用 B 配方生产的产品中任取一件,其利润记为 X(单位:元),求 X 的分

布列及数学期望. (以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入 相应组的概率) 22+8 解:(1)由试验结果知,用 A 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.3,所以用 A 配 100 方生产的产品的优质品率的估计值为 0.3. 32+10 由试验结果知,用 B 配方生产的产品中优质品的频率为 =0.42,所以用 B 配方生 100 产的产品的优质品率的估计值为 0.42. (2)用 B 配方生产的 100 件产品中,其质量指标值落入区间[90,94),[94,102),[102,110] 的频率分别为 0.04,0.54,0.42,因此 P(X=-2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即 X 的分布列为 X P -2 0.04 2 0.54 4 0.42

X 的数学期望 EX=-2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68. 7.(2010 山东,12 分)某学校举行知识竞赛,第一轮选拔共设有 A、B、C、D 四个问题,

规则如下: (1)每位参加者计分器的初始分均为 10 分,答对问题 A、B、C、D 分别加 1 分、2 分、3 分、6 分,答错任一题减 2 分; (2)每回答一题,计分器显示累计分数,当累计分数小于 8 分时,答题结束,淘汰出局; 当累计分数大于或等于 14 分时,答题结束,进入下一轮;当答完四题,累计分数仍不足 14 分时,答题结束,淘汰出局; (3)每位参加者按问题 A、B、C、D 顺序作答,直至答题结束.假设甲同学对问题 A、B、 3 1 1 1 C、D 回答正确的概率依次为 , , , ,且各题回答正确与否相互之间没有影响. 4 2 3 4 ①求甲同学能进入下一轮的概率; ②用 ξ 表示甲同学本轮答题结束时答题的个数,求 ξ 的分布列和数学期望 Eξ. 解:设 A,B,C,D 分别为第一、二、三、四个问题. 用 Mi(i=1,2,3,4)表示甲同学第 i 个问题回答正确, 用 Ni(i=1,2,3,4)表示甲同学第 i 个问题回答错误. 则 Mi 与 Ni 是对立事件(i=1,2,3,4),由题意得 3 1 1 1 P(M1)= ,P(M2)= ,P(M3)= ,P(M4)= , 4 2 3 4 1 1 2 3 所以 P(N1)= ,P(N2)= ,P(N3)= ,P(N4)= . 4 2 3 4 (1)记“甲同学能进入下一轮”为事件 Q, 则 Q=M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3+M1M2N3M4+N1M2N3M4, 由于每题的答题结果相互独立,因此 P(Q)=P(M1M2M3+N1M2M3M4+M1N2M3M4+M1M2N3M4+N1M2N3M4) =P(M1M2M3)+P(N1M2M3M4)+P(M1N2M3M4)+P(M1M2N3M4)+P(N1M2N3M4) = P(M1)P(M2)P(M3) + P(N1)P(M2)P(M3)P(M4) + P(M1)P(N2)P(M3)P(M4) +

P(M1)P(M2)P(N3)P(M4)+P(N1)P(M2)P(N3)P(M4) 3 1 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 1 2 1 1 1 2 1 1 = × × + × × × + × × × + × × × + × × × = . 4 2 3 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 2 3 4 4 (2)由题意,随机变量 ξ 的可能取值为:2,3,4. 由于每题答题结果相互独立, 1 所以 P(ξ=2)=P(N1N2)=P(N1)P(N2)= , 8 P(ξ=3)=P(M1M2M3)+P(M1N2N3) =P(M1)P(M2)P(M3)+P(M1)P(N2)P(N3) 3 1 1 3 1 2 = × × + × × 4 2 3 4 2 3

3 = . 8 P(ξ=4)=1-P(ξ=2)-P(ξ=3) 1 3 1 =1- - = . 8 8 2 因此随机变量 ξ 的分布列为 ξ P 1 3 1 27 所以 Eξ=2× +3× +4× = . 8 8 2 8 2 1 8 3 3 8 4 1 2



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