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天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考(二)数学(文)试卷



2016 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(二) 数 学(文)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分.考试时间 120 分钟. 祝各位考生考试顺利! 第 I 卷(选择题,共 40 分) 注意事项: 1.答第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2. 选出答案后, 用铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂

黑, 如需改动, 用橡皮擦干净后, 再填涂其它答案,不能答在试卷上. 一、选择题(本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分) 1. 已知复数 z 满足 z ? A.

1? i 2

1 ( i 为虚数单位) ,则 z ? ( ) 1? i 1? i B. C. 1 ? i 2

D. 1 ? i

2. 已知直线 l : y ? kx ? b ,曲线 C : x2 ? ( y ?1)2 ? 1 ,则“ b ? 1 ”是“直线 l 与曲线 C 有 公共点”的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 3. 若 a ? 5 0.2 ,

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

b ? log? 3, c ? log5 sin

3 ? ,则( ) 2

A. b ? c ? a B. b ? a ? c C. a ? b ? c D. c ? a ? b 4. 执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为 8,则判断条件是( ) A. k ? 2 B. k ? 4 C. k ? 3 D. k ? 3

5. 点 P 为 ?ABC 边 AB 上任一点,则使 S ?PBC ? A.

1 S ?ABC 的概率是( ) 3

1 3

B.

2 3

C.

5 9

D.

4 9

6. 函数 f ( x) ? sin(2 x ? 小值为( ) A.

?
3

) 的图象向左平移 ? ( ? ? 0 )个单位后关于原点对称,则 ? 的最

5? 6

B.

? 3

C.

? 4

D.

? 6

x2 y 2 7. 已知 F1 , F2 分别为双曲线 C : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左右焦点,过 F1 的直线 l 与双曲线 a b
C 的左右两支分别交于 A, B 两点,若 AB : BF2 : AF2 ? 4:3:5 ,则双曲线的离心率为( )

A. 13

B. 15

C. 2

D. 5

8. 在平行四边形 ABCD 中, AB ? 2 ,BC ? 1 ,?ABC ? 1200 , 平面 ABCD 内有一点 P , 满足 AP ? 5 ,若 AP ? ? AB ? ? AD(?, ? ? R) ,则 2? ? ? 的最大值为( )

A.

5 3

B.

2 15 3

C.

3 5 4

D.

15 6

二.填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.把答案填在答题卷中相应的横线上. 9. 某学校小学部有 270 人,初中部有 360 人,高中部有 300 人,为了调查学生身体发育状况 的某项指标,若从初中部抽取了 12 人,则从该校应一共抽取 人进行该项调查.

10. 甲几何体(上)与乙几何体(下)的组合体的三视图如下图所示,甲、乙几何体的体积 分别为 V1 、 V2 ,则 V1 : V2 等于 .

第 10 题

第 11 题

11. ?ABC 是 ? o 的内接三角形, PA 是 ? o 的切线, PB 交 AC 于点 E ,交 ? o 于点 D .
0 若 PA ? PE , ?ABC ? 60 , PD ? 1 , PB ? 9 ,则 EC ?

.

12. 函数 y ? log 1 ( ? x 2 ? 4 x ? 3) 的单调增区间为
2

.
.

13.已知数列 {an } , a1 ? 1 , a2 ? 3 , an?2 ? an?1 ? an ,则 a2016 ? 14. 若 函 数 f ( x) ? x ? 2a x ? a ? 6 的 图 像 与
2 2

x 轴有三个不同的交点,函数


g ( x)? f ( x ? ) 有 b 4 个零点,则实数 b 的取值范围是

三.解答题:本大题 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分 13 分)已知函数 f ( x) ? cos x(cosx ? 3 sin x) . (Ⅰ)求 f ( x ) 的最小值; (Ⅱ)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c ,若 f (C ) ? 1 且 c ? 7 , a ? b ? 4 , 求 S ?ABC .

16.(本小题满分 13 分)某研究所计划利用“神七”宇宙飞船进行新产品搭载实验,计划搭 载新产品 A、B 若干件,该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生 收益来决定具体安排,通过调查,有关数据如下表: 每件产品 A 研制成本、搭载费 用之和(百万元) 产品重量(千克) 预计收益(百元) 2 1 1000 每件产品 B 1.5 1.5 1200 计划最大资金额 15 (百万元) 最大搭载重量 12(千克)

并且 B 产品的数量不超过 A 产品数量的 2 倍.如何安排这两种产品的件数进行搭载,才能使总 预计收益达到最大,最大收益是多少?

17.(本小题满分 13 分)如图,边长为 2 的正方形 ADEF 与梯形 ABCD 所在的平面互相垂 直,其中 AB / / CD , AB ? BC , CD ? BC ? (Ⅰ)证明: OM / / 平面 ABCD ; (Ⅱ)求二面角 D ? AB ? E 的正切值; (Ⅲ)求 BF 与平面 ADEF 所成角的余弦值.

1 AB ? 1 , AE ? DF ? O , M 为 EC 的中点. 2

18.(本小题满分 13 分)已知椭圆 E : (Ⅰ)求椭圆 E 的离心率;

x2 y 2 ? ? 1? a ? b ? 0 ? 的长轴长为短轴长的 3 倍. a 2 b2

(Ⅱ)设椭圆 E 的焦距为 2 2 ,直线 l 与椭圆 E 交于 P, Q 两点,且 OP ? OQ ,求证:直线 l
2 2 恒与圆 x ? y ?

3 相切. 4

19.(本小题满分 14 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn , Sn ? 2an ? 2 . (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式;

? log 2 an ? n 2 ? n ? 2 ? n为奇数 ? (Ⅱ)设 bn ? ? , Tn 为 ?bn ? 的前 n 项和,求 T2 n . 2 n ? n为偶数 ? a ? n

20.(本小题满分 14 分)已知函数 f ( x) ? ax ? 1 ? ln x .( a ? R ) (Ⅰ)讨论函数 f ( x ) 的单调性; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在 x=2 处的切线斜率为 立,求实数 b 的取值范围;

1 ,不等式 f ( x) ? bx ? 2 对任意 x ? (0,??) 恒成 2

ln 22 ln 32 ln 4 2 ln n2 2 n2 ? n ?1 (Ⅲ)证明对于任意 n∈N,n≥2 有: 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2 ? . 2 3 4 n 2( n ?1)

2016 年天津市十二区县重点高中高三毕业班联考(二) 数学试卷(文科) 评分标准
一、选择题:本题共 8 个小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 1 2 3 4 5 A 6 B 7 D 8 B A A C C 答案 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.

9.31; 10. 1 : 3 ; 11.4; 12. ? 2,3? ; 13. ?2 ; 14. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 15. 解:

? ?6,0?

(Ⅰ) f ( x) ? cos x(cos x ? 3sin x) ? cos x2 ? 3sin x cos x ……………….1 分

?

1 ? cos 2 x 3 ? sin 2 x 2 2
1 ? ? sin(2 x ? ) 2 6

…………….3 分 ……………….5 分

?

当 sin(2 x ? (Ⅱ) f (C ) ?

?

1 ? ? sin( 2C ? ) ? 1 , 2 6 ? 1 ? sin(2C ? ) ? 6 2

6

) ? ?1 时, f ( x) 取最小值为 ?

1 . 2

……………….6 分

………………. 7 分

?C ? ? 0, ? ? , 2C ?
?C ?

?

? ? 13? ? ?? , ? 6 ?6 6 ?

………………. .8 分

?
3

,

………………. 9 分 ………………. 10 分 ………………. 11 分 ………………. 12 分

2 2 2 又 c ? a ? b ? 2ab cos C ,

(a ? b)2 ? 3ab ? 7
? ab ? 3 ? S ?ABC ?

1 3 3 . absin C ? 2 4

…………….13 分

16.解:设搭载 A 产品 x 件,B 产品 y 件,则预计收益 z=1000x+1200y……….2 分

?2 x ? 1.5 y ? 15 ? x ? 1.5 y ? 12 ? 则有 ? ?2 x ? y ? 0 ? ? x ? 0, y ? 0

…………….6 分

……….9 分

上述不等式组表示的平面区域如图,阴影部分(含边界)即为可行域. 作直线 l:1000x+1200y=0,即直线 x+1.2y=0.把直线 l 向右上方平移 到 l1 的位置,直线 l1 经过可行域上的点 B,此时 z=1000x+1200y 取得最大值. ……….10 分 由 解得点 M 的坐标为(3,6) .
……….11 分

∴当 x=3,y=6 时,zmax=3×1000+6×1200=10200(百元) .……….12 分 答:所以搭载 A 产品 3 件,B 产品 6 件,才能使总预计收益达到最大,最大预计收益为 10200
百元. 17 .解: (Ⅰ)?O, M 分别为 EA , EC 的中点 ……….13 分

? OM / / AC ? OM ? 平面 ABCD AC ? 平面 ABCD
? OM || 平面 ABCD

……………….2 分 ………………….3 分 ………………….4 分

(Ⅱ)取 AB 中点 H ,连接 DH , EH

H

? DA ? DB ? DH ? AB,
又 EA ? EB ? EH ? AB ??EHD 为二面角 D ? AB ? E 的平面角

………………………….5 分 …………………………….6 分 …………………………….7 分

又 DH ? 1 ? tan ?EHD ?

ED ? 2 DH

…………………………….8 分

(Ⅲ)? DC ? BC ? 1,?BCD ? Rt?

? BD ? 2
? BD ? DA …………………………….9 分

? AD ? 2,AB ? 2

? 平面ADEF ? 平面ABCD ,平面ADEF ? 平面ABCD ? AD ,BD ? 平面ABCD ? BD ? 平面ADEF
…………………………….10 分 ……………………………11 分

? ?BFD 的余弦值即为所求
在 Rt?BDF中 ,?BDF ? Rt?,DF ? 2,BF ?

6
…………………………….12 分

? cos ?BFD ?

DF 2 6 ? ? BF 3 6
6 3

? BF与平面ADEF 所成角的余弦值为
2a ? 2b

…………………………….13 分

18 .

解(1)依题意得:

3 ,又 a 2 ? b 2 ? c 2 ,

………………….2 分

?e ?

c 6 ? a 3

…………………………….3 分

(2)?

c 6 ? , 2c ? 2 2 ? a 2 ? 3,b 2 ? 1 a 3
x2 ? y 2 ? 1, 3
…………………………….5 分

? 椭圆 E 的方程为

(Ⅰ)当直线 l 的斜率存在时,设其方程为 y ? kx ? m ,
2 2 2 2 2 联立方程得 1 ? 3k x ? 6kmx ? 3 m ? 1 ? 0, ? ? 12 1 ? 3k ? m ? 0 ,……….6 分

?

?

?

?

?

?

3 ? m2 ? 1? ?6km 设 P ? x1 , y1 ? , Q ? x2 , y2 ? ,由韦达定理,得 x1 ? x2 ? ,….7 分 , x1 ? x2 ? 1 ? 3k 2 1 ? 3k 2
所以 y1 ? y2 ? ? kx1 ? m? ? ? kx2 ? m? ? k x1x2 ? km ? x1 ? x2 ? ? m ,
2 2

……………….9 分

??? ? ???? 4m2 ? 3 ? k 2 ? 1? 结合韦达定理,得 OP ? OQ ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 ? ? 0 ,所以 4m 2 ? 3 ? k 2 ? 1? , 2 1 ? 3k

又原点 O 到直线 l 的距离 d ?

m 1? k 2

?

m2 3 3 ? ? 2 1? k 4 2
3 相切. …………………………….11 分 4

? 当直线 l 的斜率存在时, l 恒与圆 x 2 ? y 2 ?

(Ⅱ)当直线 l 的斜率不存在时, ?OPQ 是以 PQ 为斜边的等腰直角三角形, P, Q 的坐标满 足方程 y ? x ,结合椭圆方程,得 x ?

3 3 ,从而原点 O 到直线 l 的距离 d ? , 2 2
3 相切. …………………………….12 分 4
…………………………….13 分

? 当直线 l 的斜率不存在时, l 与圆 x 2 ? y 2 ?
2 2 综上,直线 l 恒与圆 x ? y ?

3 相切. 4

19 . 解 (1) n ? 2 , Sn?1 ? 2an?1 ? 2 ………………….2 分

an ? Sn ? Sn?1 ? 2an ? 2an?1

an ? 2an?1
又 n ? 1 , S1 ? 2a1 ? 2

………………….3 分

a1 ? 2

………………….4 分

? 数列 ?an ? 是以 2 为首项,公比为 2 的等比数列

? an ? 2n

………………….5 分

? log 2 2n ? 1 n为奇数 ? 2 ? ? n ? n ? 2? ? n ? n ? 2? (2)由(1)知 bn ? ? ? bn ? ? ? 2n ? n n 为偶数 n ? ? 2n ?1 ? ?2
所以 T2n ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? b2 n =

n为奇数
……………….7 分

n为偶数

1 ?1 1 1 1 1 1 ? ?2 4 6 n ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n?1 ? ………………….9 分 2 ?1 3 3 5 2n ? 1 2 n ? 1 ? ? 2 2 2 2 ?
n n ? ?2 4 6 ? ? 1 ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n?1 ? 2n ? 1 ? 2 2 2 2 ?

?

2 4 6 n ? 3 ? 5 ? ? ? 2 n ?1 , 1 2 2 2 2 2 4 6 n ?2 则 2 A ? 3 ? 5 ? 7 ? ? ? 2 n ?1 , 2 2 2 2
设A?

………………….10 分

两式相减得

3 2 2 2 2 n A ? 1 ? 3 ? 5 ? 7 ? ? 2 n ?1 ? 2 n ?1 , 4 2 2 2 2 2 16 6n ? 8 ? , 9 9 ? 22 n ?1

………………….12 分

整理得 A ?

………………….13 分

所以 T2 n ?

16 6n ? 8 n ? ? . 2 n ?1 9 9? 2 2n ? 1

…………………14.分

20.解: (1)? 函数 f ( x ) 的定义域为 (0,??) , f ?( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? x x

………………1 分

当 a ? 0 时, ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 ,故函数 f ( x ) 在 (0,??) 上单调递减 …………2 分 当 a ? 0 时,若 0 ? x ? 若x ?

1 ,则 ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , a

…………3 分 …………4 分 …………5 分

1 ,则 ax ? 1 ? 0 ,从而 f ?( x) ? 0 , a 1 1 故函数 f ( x ) 在 ( 0, ) 上单调递减,在 ( ,?? ) 上单调递增; a a
(Ⅱ)求导数: f ?( x) ? a ? ∴ f ?(2) ? a ?

1 , x
…………6 分

1 1 ? ,解得 a=1. 2 2

所以 f ( x) ? bx ? 2 ,即 x ? 1 ? ln x ? bx ? 2 , 由于 x ? 0 ,即 b ? 1 ? 令 g ( x) ? 1 ?

1 ln x ? . x x

…………7 分

1 ln x 1 1 ? ln x ln x ? 2 ? ? ,则 g ?( x) ? ? 2 ? x x x x2 x2

2 2 当 0 ? x ? e 时, g ?( x) ? 0 ;当 x ? e 时, g ?( x) ? 0

∴ g ( x) 在 (0, e ) 上单调递减,在 (e ,??) 上单调递增;
2 2
2 故 g ( x) min ? g (e ) ? 1 ?

…………9 分

1 1 ,所以实数 b 的取值范围为 ( ?? ,1 ? 2 ] …………10 分 2 e e 1 x ?1 ? 0 , f ( x) 为增函数, (3)证明:由当 a ? 1 , x ? 1 时, f ?( x) ? 1 ? ? x x
? f (1) ? 0 ? f ( x) ? x ? 1 ? ln x ? 0 即 ln x ? x ? 1
2 2 1, ∴当 n ? 2 时, lnn <n ﹣

…………11 分 …………12 分

?

ln n2 n2 ? 1 1 1 1 ? 2 ? 1? ? 1? ? 2 n n n(n ? 1) n n ?1

…………13 分

ln 22 ln 32 ln 42 ln n2 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? (1 ? ? ) ? (1 ? ? ) ? ? ? (1 ? ? ) 2 2 2 2 2 3 4 n 2 3 3 4 n n ?1
1 1 2n 2 ? n ? 1 ? n ?1 ? ? ? 2 n ?1 2(n ? 1)



ln 22 ln 32 ln 42 ln n2 2n2 ? n ?1 * ( n ? N ,n ? 2 ) . ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 3 4 n 2(n ? 1)

…………14 分



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