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Contact structures on algebraic 5-dimensional manifolds



Structures de Contact sur les Vari?t?s Alg?briques de dimension 5 e e e
St?phane DRUEL e ? DMI-Ecole Normale Sup?rieure e 45 rue d’Ulm 75005 PARIS e-mail : druel@clipper.ens.fr

/>arXiv:math/9807060v1 [math.AG] 12 Jul 1998

Introduction Une structure de contact sur une vari?t? alg?brique lisse est la donn?e d’un sousee e e ?br? D ? TX de rang dimX ? 1 de sorte que la forme OX -bilin?aire sur D ` valeurs dans e e a le ?br? en droites L = TX /D d?duite du crochet de Lie sur TX soit non d?g?n?r?e en tout e e e e ee point de X. Cela entra? que X est de dimension impaire 2n + 1 et que le ?br? canonique ?ne e KX est isomorphe ` L?1?n . On peut aussi d??nir la structure de contact par la donn?e a e e 0 1 n d’un ?l?ment θ ∈ H (X, ?X ? L), la forme de contact, tel que θ ∧ (dθ) soit partout non ee nul. Soit g une alg`bre de Lie simple. Son groupe adjoint G agit sur P(g) et n’a qu’une e seule orbite ferm?e ; on montre que celle-ci admet une structure de contact ([4] prop.2.6). e Ce sont des vari?t?s de Fano homog`nes dont le groupe des automorphismes de contact a ee e pour alg`bre de Lie g. On parlera de la vari?t? de contact homog`ne de type g. Les ?br?s e ee e e PY (TY ), o` Y est une vari?t? lisse, fournissent d’autres exemples de vari?t?s de contact. u ee ee En dimension 3, Y-G.Ye a montr? que ce sont les seules ([17]). D’autres auteurs ?tudient e e les structures de contact sur les vari?t?s de Fano ([4], [11]), mais les r?sultats ne sont ici ee e encore que partiels. Le r?sultat principal de ce travail est le e Th?or`me.?Soit X est une vari?t? projective lisse de dimension 5 munie d’une structure e e ee de contact. Alors X est l’une des vari?t?s pr?c?dentes sauf si le ?br? canonique KX est ee e e e num?riquement e?ectif et κ(X) = ?∞. e Notons que le dernier cas ne devrait pas se produire par la conjecture d’Abondance ([10]). Remerciements.?Je tiens ` exprimer toute ma gratitude ` A.Beauville pour m’avoir a a sugg?r? ce probl`me et pour l’aide qu’il m’a apport?. ee e e 1. Rappels Soit X une vari?t? projective lisse sur le corps C des nombres complexes. Le proee duit d’intersection entre 1-cycles et diviseurs met en dualit? les deux espaces vectoriels e r?els : e N1 (X) = ({1-cycles}/ ≡) ? R et N 1 (X) = ({diviseurs}/ ≡) ? R,

o` ≡ d?signe l’?quivalence num?rique. La dimension commune de ces espaces vectoriels est u e e e appel?e le nombre de Picard de X. On consid`re le c?ne NE(X) ? N1 (X) engendr? par e e o e les classes des 1-cycles e?ectifs. Une raie extr?male est une demi-droite R dans NE(X), e adh?rence de NE(X) dans N1 (X), v?ri?ant KX .R? < 0 et telle que pour tout Z1 , Z2 ∈ e e NE(X), si Z1 + Z2 ∈ R alors Z1 , Z2 ∈ R. Une courbe rationnelle extr?male est une courbe e rationnelle irr?ductible C telle que R+ [C] soit une raie extr?male et ?KX .C ≤ dimX + 1. e e Le premier r?sultat de la th?orie de Mori est que toute raie extr?male est engendr?e par une e e e e courbe rationnelle extr?male. Le second r?sultat fondamental est que toute raie extr?male e e e R admet une contraction, c’est-`-dire qu’il existe une vari?t? projective normale Y et un a ee φ morphisme X ?→ Y , surjectif ` ?bres connexes, contractant les courbes irr?ductibles C a e telles que [C] ∈ R (th?or`me de Kawamata-Shokurov). e e Rappelons un r?sultat fondamental de J.Wisniewski ([15], [16]) sur le lieu exceptionnel e d’une contraction extr?male. Soit F une composante irr?ductible d’une ?bre non triviale e e d’une contraction ?l?mentaire associ?e ` la raie extr?male R. Nous appelons lieu de R, ee e a e le lieu des courbes dont la classe d’?quivalence num?rique appartient ` R. On a alors e e a l’in?galit? : e e dimF + dim(lieu de R) ≥ dimX + ?(R) ? 1, o` ?(R) d?signe la longueur de la raie extr?male R : u e e ?(R) = inf{?KX .C0 |C0 ?tant une courbe rationnelle et C0 ∈ R}. e En particulier : 2dim(lieu de R) ≥ dimX + ?(R) ? 1. Nous terminons ces rappels par un th?or`me de structure ([2], [3]). Consid?rons une e e e contraction extr?male X ?→ Y d’une vari?t? projective lisse. Soit L un ?br? inversible e ee e φ-ample et r ≥ 1 un entier. On dit que KX + rL supporte la contraction φ si ce ?br? est e ?1 trivial sur les ?bres de φ. Soit F = φ (y) une ?bre de φ munie de sa structure de sch?ma e r?duite. On suppose qu’il existe un ouvert de Y contenant y tel que les ?bres de φ au e dessus de cet ouvert soient toutes de dimension au plus dim(F ) : 1. si dim(F ) ≤ r ? 1 alors Y est lisse en y et φ est un ?br? projectif au voisinage de F , e 2. si dim(F ) = r alors Y est lisse au voisinage de y et : (a) si φ est birationnel alors φ est l’?clatement d’une sous vari?t? lisse de Y de e ee codimension r + 1, (b) si dim(Y ) = dim(X) ? r alors φ est un ?br? en quadriques, e (c) si dim(Y ) = dim(X) ? r + 1 alors r ≤ dim(X)/2 et F = Pr . 2. Preuve du th?or`me e e Lemme.?Soit X une vari?t? projective lisse de dimension 2n + 1 munie d’une strucee ture de contact d??nie par la forme θ ∈ H 0 (X, ?1 ? L). Soit Y ? X une sous-vari?t? e ee X analytique complexe lisse telle que la restriction de la forme de contact ` Y soit identiquea ment nulle. Alors la dimension de Y est au plus n. D?monstration.? On v?ri?e par un calcul en coordonn?es locales que pour tout y ∈ Y , e e e l’espace vectoriel TY (y) ? D(y) est un sous espace totalement isotrope pour la forme
φ

altern?e de contact qui, par hypoth`se, est non d?g?n?r?e. e e e e ee Proposition 1.?Soit X une vari?t? de Fano de dimension 5 munie d’une structure de ee contact. On suppose que b2 (X) = 1. Alors X est soit isomorphe ` l’espace projectif P5 a soit ` la vari?t? de contact homog`ne de type G2 . a ee e D?monstration.?Puisque b2 (X) = 1, le groupe de Picard de X est un Z-module libre e de rang 1. Rappelons que nous avons la formule KX = ?3L. Il en r?sulte que soit L e engendre Pic(X) soit L = 2L0 o` L0 est un g?n?rateur du groupe de Picard de X. Dans u e e ce dernier cas, X est isomorphe ` l’espace projectif complexe P2n+1 par le crit`re de a e Kobayashi-Ochiai ([9]). Il nous reste donc ` traiter le cas o` L est un g?n?rateur de Pic(X). Dans ce cas, X a u e e est une vari?t? de Mukai et le ?br? L est tr`s ample ([14] prop. 1, [12]). En e?et, lorsque ee e e X est un rev?tement double de P5 ou d’une quadrique lisse de dimension 5, on v?ri?e que e e 0 1 H (X, ?X ?L) = 0 et donc X n’a aucune structure de contact. Par suite, X est homog`ne e ([4] cor. 1.8) et isomorphe ` la vari?t? de contact homog`ne de type G2 ([5]). a ee e Th?or`me 1.?Soit X une vari?t? projective lisse de dimension 5 munie d’une struce e ee ture de contact. On suppose que le ?br? canonique n’est pas num?riquement e?ectif. Alors e e 5 X est soit isomorphe ` l’espace projectif P , soit ` PY (TY ) o` Y est une vari?t? lisse de a a u ee dimension 3, soit ` la vari?t? de contact homog`ne de type G2 . a ee e D?monstration.?La preuve de ce th?or`me repose sur l’?tude des contractions ext?males e e e e e de X. Soit R une raie extr?male de X. Puisqu’on a la formule KX = ?3L, ?(R) = 3 ou 6. e Dans le dernier cas, X est de Fano et b2 (X) = 1 ([15]) et la proposition 1 permet de conclure. φ Il nous reste ` traiter le cas o` ?(R) = 3. Notons X ?→ Y la contraction extr?male a u e associ?e ` R. Par l’in?galit? de Wisniewski, la contraction est soit de type ?br?e soit die a e e e visorielle. De plus, le ?br? L est φ?ample et KX + 3L supporte la contraction extr?male. e e Etude des contractions de type ?br?e. En utilisant ` nouveau l’in?galit? de Wisniewski e a e e on v?ri?e que dim(Y ) ≤ 3 et que toute composante irr?ductible d’une ?bre non triviale e e est de dimension au moins 2. Cas 1 : dim(Y ) = 3. Puisque φ est une contraction extr?male et dim(Y ) > 1, φ n’a e pas de ?bre de dimension 4. Par 2.(c), le morphisme φ ne peut avoir de ?bre de dimension 3 et il en r?sulte donc que toutes les ?bres de φ sont de dimension au plus 2, ce qui entra? e ?ne ? OP2 (1) que Y est lisse et que φ est un ?br? projectif par 1. Remarquons alors que L|F = e pour toute ?bre F de φ et consid?rons la suite exacte : e 0 ?→ TX/Y ?→ TX ?→ φ? TY ?→ 0 La ?`che TX/Y ?→ L obtenue par composition avec la projection TX ?→ L ?tant idene e tiquement nulle par le th?or`me de Grauert et les r?sultats ci-dessus, il existe une ?`che e e e e ? surjective φ TY ?→ L ?→ 0 et donc un morphisme X ?→ PY (TY ) au dessus de Y qui induit un isomorphisme sur chaque ?bre. Il en r?sulte que ce morphisme est en fait un e isomorphisme, ce qui termine la preuve du th?or`me dans ce cas. e e

Cas 2 : dim(Y ) = 2. Par le crit`re de Kobayashi-Ochiai ([9]), une ?bre g?n?rique lisse est e e e 4 ? OQ (1) et que H 0 (Q, ?1 (1)) = une quadrique Q ? P de dimension 3. On v?ri?e que L|Q = e Q 0 ; ce cas est ?limin? par le lemme. e e Cas 3 : dim(Y ) = 1. Une ?bre g?n?rique lisse F de φ est une vari?t? de Del Pezzo de e e ee dimension 4 et L|F est la polarisation naturelle. En utilisant la classi?cation de T.Fujita ([6], [7], [8]), on v?ri?e que H 0 (F, ?1 ? L|F ) = 0 et le lemme permet de conclure. e F Cas 4 : dim(Y ) = 0. Dans ce cas X est de Fano et, puisque le nombre de Picard de X est 1, on a b2 (X) = 1 et on peut appliquer la proposition 1. Etude des contractions divisorielles. Notons E le lieu exceptionnel de φ. C’est un diviseur irr?ductible. Par l’in?galit? de Wisniewski, φ(E) est de dimension 0 ou 1. e e e Cas 1 : dim(φ(E)) = 1. Par 2(a), une ?bre non triviale F de φ est un espace projeca e tif P3 et L|F ? OP3 (1). Ce cas est ` nouveau ?liminer par le lemme. = Cas 2 : dim(φ(E)) = 0. Dans ce cas, E est soit isomorphe ` P4 , soit ` une quadrique a a irr?ductible de dimension 4, soit ` une vari?t? de Del Pezzo de dimension 4 ([1]). Les deux e a ee premiers cas s’?liminent par le lemme. Dans le dernier cas, le ?br? normal NF |X est OF . e e Par suite le sch?ma de Hilbert HilbX est lisse au point F et de dimension 1. Puisque φ e est extr?male, les d?formations de F doivent ?tre contract?es par φ, ce qui constitue la e e e e contradiction cherch?e. e Corollaire.?Les seules vari?t?s de Fano de dimension 5 admettant une structure de conee ee e tact sont, ` isomorphisme pr?s, P5 , PP3 (TP3 ) et la vari?t? de contact homog`ne de type G2 . a e D?monstration.?Le corollaire est une cons?quence de la conjecture d’Hartshorne-Frankel, e e d?montr?e par S.Mori ([13]). e e Pour les vari?t?s de dimension de Kodaira κ(X) ≥ 0, nous avons la ee Proposition 2.?Soit X une vari?t? projective lisse de dimension 2n + 1. On suppose ee que X est de dimension de Kodaira κ(X) ≥ 0. Alors X ne poss`de aucune structure de e contact. D?monstration.?Raisonnons par l’absurde et supposons que X soit munie d’une structure e de contact. Il r?sulte des hypoth`ses, qu’il existe une vari?t? projective lisse X et un more e ee ?1 π 0 phisme X ?→ X g?n?riquement ?ni tel que h (X, L ) ≥ 1, o` l’on a pos? L = π ? (L). e e u e Consid?rons un ouvert U ? X non vide au dessus duquel π est ?tale et ?ni. La struce e ture de contact sur X induit une structure de contact sur π ?1 (U) associ?e au ?br? L. e e ?1 Quitte ` restreindre π (U), on peut supposer que L est trivialis? par une section globale a e ?1 0 0 1 θ ∈ H (X, L ) ? H (X, ?X ). Sur cet ouvert, la structure de contact est donn?e par la e forme de contact θ, ce qui constitue la contradiction cherch?e puisque d(θ) = 0. e

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