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天津市河北区2016届高三总复习质量检测(二)数学(文)试题



天津市河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(二)



学(文史类)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 150 分,考试用时 120 分钟.第 Ⅰ卷 1 至 2 页,第Ⅱ卷 3 至 8 页.

第Ⅰ卷(选择题 共 40 分)
注意事项: 1. 答

第Ⅰ卷前,考生务必将自己的姓名、准考号、科目涂写在答题卡上,并在规定位置粘贴 考试用条形码。 2. 每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干 净后,在选涂其他答案标号。答在试卷上的无效。 3. 本卷共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。 参考公式:
· 如果事件 A,B 互斥,那么 P(A∪B)=P(A)+P(B) · 如果事件 A,B 相互独立,那么 P(AB)=P(A) ? P(B) · 球的表面积公式 S= 4 ? R
4 3
2

球的体积公式 V=

?R 3

其中 R 表示球的半径

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1)设集合 A ? {x x 2 ? 3x ? 0,x ? R} ,集合 B ? {x x ? 2,x ? R} ,则 A ? B ? (A) (?2, 0) (2)若复数 z ? (A) - 2 (B) (?2, 3) (C) (2, 3) (D) (0, 2)

a-i 是纯虚数 (i 是虚数单位),则实数 a 的值为 1- i
(B) -1 (C) 1 (D) 2

(3)某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 (A) 16 + 2π (B) 16 + π (C) 8 + 2π (D) 8 + π

[来源:学*科*网 Z*X*X*K]

(4)设 a,b ? R ,则“ 2a ? 2b ? 2a ? b ”是“ a ? b ≥ 2 ”的

(A)充分不必要条件 (C)充要条件

(B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)已知双曲线的中心在原点,焦点在 x 轴上,若其渐近线与圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 3 ? 0 相 切,则此双曲线的离心率为
1 2

(A)

(B) 2 (D) 2

(C) 3

π (6)使函数 f ( x) ? sin(2x ? ? ) ? 3 cos(2x ? ? ) 是奇函数,且在 [0, ] 上是减函数的 ? 的一个 4 值是
π 3

(A)

(B)

2π 3

(C)

4π 3

(D)

5π 3

+ ?) 时,都有 (7)已知函数 y = f ( x ) 是 R 上的偶函数,当 x1,x2 ? (0,

1 ( x1 - x2 ) [ f ( x f (2 x )] < 0 成立,若 a = ln ,b = (lnπ)2,c = ln π ,则 1 -) π

(A) f ( a ) > f (b) > f (c ) (C) f (b) > f ( a ) > f (c )

(B) f (c ) > f ( a ) > f (b ) (D) f (c ) > f (b ) > f ( a )

(8)若至少存在一个 x( x ≥ 0) ,使得关于 x 的不等式 x 2 ≤ 4 - 2 x - m 成立,则实 数 m 的取 值范围是

5] (A) [-4,

5] (B) [-5,

5] (C) [4,

4] (D) [-5,

河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(二)


注意事项: 1. 答卷前将密封线内的项目填写清楚。 2. 用钢笔或圆珠笔答在答题纸 上。 ... 3. 本卷共 12 小题,共 110 分。

学(文史类)
第Ⅱ卷

题 号

[来

源:学§科§网][来源:Zxxk.Com]



(15)

(16)

(17)

三 (18)

(19)

(20)

总 分

[来源:学 ,科 ,网 Z,X,X,K]

分 数 得 分 评卷人

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 把答案填 在题中横线上.

(9)执行如图所示的程序框图,则输出的结果是



(10)如图,切线 PA 切圆 O 于点 A ,割线 PBC 与圆 O 交于点 B,C ,且 PC = 2 PA , 3 D 为线段 PC 的中点, AD 的延长线交圆 O 于点 E .若 PB ? ,则 AD ? DE 的 4 值为_______________.
开始

S ? 0, n ? 1

S ? S ?2 ?n

n

n ? n ?1 S ≥15?
是 输出 S 结束 否

(第 9 题图) (11)设 f ( x) = xlnx ,若 f ?( x0 ) = 2 ,则 x0 等于

(第 10 题图) .

(12)点 P 在边长为 1 的正方形 ABCD 内运动,则动点 P 到定点 A 的距离 PA ? 1 的概率 为______________. (13)在直角梯形中 ABCD 中, AD∥BC , ?ABC ? 90? , AB ? BC ? 2 , AD = 1 ,梯形所 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 在平面内一点 P 满足 BA+ BC = 2BP ,则 PC ? PD = ______________. (14)设 x, y 是正实数,且 x+ y =1 ,则
x2 y2 的最小值为______________. ? x+2 y +1

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 得 分 评卷人

(15) (本小题满分 13 分)

在 ?ABC 中,角 A ,B,C 的对边分别为 a,b,c ,已知 a ? b ? 2,c ? 4 ,
sin A ? 2 sB in .

(Ⅰ)求 a,b 及 cosB 的值;
π (Ⅱ)求 sin(2B - ) 的值. 6

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(16) (本小题满分 13 分)

某工厂要制造 A 种电子装置 45 台、 B 种电子装置 55 台,需用薄钢板给每台装置 配一个外壳.已知薄钢板的面积有两种规格:甲种薄钢板每张面积 2m 2 ,可做 A、B 的 外壳分别为 3 个和 5 个,乙种薄钢板每张面积 3m 2 ,可做 A、B 的外壳均为 6 个.设工厂 用 x 张甲种薄钢板, y 张乙种薄钢板. (Ⅰ)用 x , y 列出满足条件的数学关系式,并在下面的坐标系中用阴影表示相应 的平面区域; (Ⅱ)甲,乙两种薄钢板各用多少张才能使用料总面积最小,最小面积是多少?

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(17) (本小题满分 13 分)

如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形, SA ? 底面 ABCD , SA ? AB ,
M 为 SD 的中点, AN ? SC ,且交 SC 于点 N .

(Ⅰ)求证: SB ∥平面 ACM ; (Ⅱ)求证: SC ? 平面 AMN ; (Ⅲ)求 AC 与平面 AMN 所成角的余弦值.

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(18) (本小题满分 13 分)

已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 2Sn ? 3 ? 3an (n ? N* ) . (Ⅰ)求数列 {an } 的通项公式; 4n ? 1 7 (Ⅱ)设 bn ? , Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ? ? bn ,求证: Tn ? (n ? N* ) . an 2

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人 (19) (本小题满分 14 分)

= 1 ( a > b > 0) 的焦距为 2 ,一个顶点与两个焦点组成一个等边三角形. 2 2 a b (Ⅰ)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ) 设椭圆 C 的右焦点为 F , 过 F 点的两条互相垂直的直线分别为 l1, l2 , 直线 l1 与椭圆 C +

已知椭圆 C :

x

2

y

2

交于 P,Q 两点,直线 l2 与直线 x= 4 交于 T 点. (i)求证:线段 PQ 的中点在直线 OT 上( O 为坐标原点) ; (ii)求
TF PQ

的取值范围.

请将答案写在答题纸上

得 分

评卷人

(20) (本小题满分 14 分)

已知函数 f ( x) = - alnx ,其中 a ? R . (Ⅰ)当 a = -1 时,求曲线 y = f ( x) 在点 (1,f (1)) 处的切线方程; (Ⅱ)求函数 f ( x) 的单调区间;
1) 内有极值,求 a 的取值范围. (Ⅲ)若函数 g ( x) = x2 + f ( x) 在区间 (0,

2 x

请将答案写在答题纸上

河北区 2015-2016 学年度高三年级总复习质量检测(二)

数 学 答 案(文)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 题号 答案 1 C 2 B 3 C 4 A 5 D 6 B 7 B 8 A

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. (9) 20 ; (12)
π 4

(10) 9 ;
8

(11) e ;
1 (14) . 4

(13) ?1 ;

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. (15) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)∵ sin A ? 2sin B , ∴ a = 2b …………2 分 又 a ? b ? 2,解得 a = 4,b = 2 . 由余弦定理得, cosB = (Ⅱ)∵ 0 < B ? π , ∴ sinB = 1 - cos B = ∴ sin2 B = 2sinBcosB = 2 ?
cos2B = 2cos2 B ? 1 =
2

…………4 分
= 7 8

a +c - b 2 ac

2

2

2

.…………6 分

15 8

. …………7 分 …………9 分

15 7 7 15 , ? ? 8 8 32

17 . 32

…………11 分 …………13 分

π π π 21 5 - 17 ∴ sin(2 B ? ) = sin 2 Bcos ? cos2 B sin = . 6 6 6 64

(16)(本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设工厂用 x 张甲种薄钢板, y 张乙种薄钢板,

?3x + 6 y ≥ 45, ?5 x + 6 y ≥ 55, 则 x , y 满足的数学关系式为 ? ? ? x ≥ 0, ? ? y ≥ 0,

………3 分

作出二元一次不等式组所表示的平面区域.

………7 分 (Ⅱ)设总面积为 z m 2 ,则目标函数为: z = 2 x + 3 y .………8 分
2 1 2 考虑 z = 2 x + 3 y ,将它变形为 y = - x + z , 这是斜率为 - , 随 z 变化的 3 3 3

一族平行直线.当截距

1 z 最小 ,即 z 最小. 3

又因为 x , y 满足约束条件,所以由图可知,
2 1 1 当直线 y = - x + z , 经过可行域上的点 A 时,截距 z 最小,即 z 最小. 3 3 3
?3 x + 6 y = 45, 5) ,………11 分 解方程组 ? 得 A(5, ?5 x + 6 y = 55,

代入目标函数得 zmin = 2 ? 5 + 3 ? 5 = 25 . ……………12 分 答:甲,乙两种薄钢板各用 5 张才能使用料总面积最小,最小面积是 25m .…13 分 (17) (本小题满分 13 分) 证明: (Ⅰ)连结 BD ,交 AC 于点 E ,连 结 ME . ∵ ABCD 是正方形, ∴ E 是 BD 的中点. 又 M 是 SD 的中点, ∴ ME ∥ SB . …………2 分 又 ME ? 平面 ACM , SB ? 平面 ACM , ∴ SB ∥平面 ACM . ……… … 4 分
2

(Ⅱ)∵ SA ? 平面 ABCD ,∴ SA ? CD . 又 CD ? AD , SA ? AD ? A , ∴ CD ? 平面 SAD . ……… 5 分 又 AM ? 平面 SAD ,∴ CD ? AM . 由已知 SA ? AD , M 是 SD 的中点, ∴ SD ? AM . …………6 分 ………… 7 分

又 SD ? CD ? D ,∴ AM ? 平面 SDC ∴ AM ? SC . ………… 8 分

又 AN ? SC , AM ? AN = A , ∴ SC ? 平面 AMN . …………9 分

(Ⅲ)解:由(Ⅱ)知, SC ? 平面 AMN , ∴ ?CAN 为 AC 与平面 AMN 所成的角. ……… 11 分 在 Rt?SAC 中,设 SA ? 1,则 AC ? 2,SC ? 3 , AN = 在 Rt?ACN 中, cos ?CAN ?

2 3



AN 3 , ? AC 3
3 . 3

∴ AC 与平面 AMN 所成角的余弦值为

……… 13 分

(18) (本小题满分 13 分) 解: (Ⅰ)当 n ? 1 时, 2 S1 ? 3 ? 3a1 ,得 a1 ? 3 . 当 n ≥ 2 时, ∵ 2 S n ? 3 ? 3an , 2 S n ?1 ? 3 ? 3an ?1 , ∴ 2 S n ? 2 S n ?1 ? 3an ? 3an ?1 . ∴ an ? 3an ?1 ,即
an ?3. an ?1

…………1 分

…………4 分

∴数列 {an } 是以 3 为首项, 3 为公比的等比数列. ………… 5 分 ∴ an ? 3n . …………6 分 4n ? 1 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)得 bn ? ? (4n ? 1)( ) n , an 3 …………7 分

1 1 1 1 Tn ? 5 ? ? 9 ? ( )2 ? 13 ? ( )3 ? ? ? (4n ? 1) ? ( )n . 3 3 3 3

1 Tn ? 3

1 1 1 1 5 ? ( )2 ? 9 ? ( )3 ? ? ? (4n ? 3) ? ( )n ? (4n ? 1) ? ( )n?1 . …9 分 3 3 3 3

两式相减得,
2 1 1 1 1 1 Tn ? 5 ? ( ) ? 4[( )2 ? ( )3 ? ? ? ( )n ] ? (4n ? 1) ? ( )n?1 3 3 3 3 3 3

…………10 分

1 1 ? [1 ? ( )n ] 1 3 3 ? (4n ? 1) ? ( 1 )n ?1 ? ? 4? 1 3 3 1? 3 1 1 1 …………12 分 ? ? 2[1 ? ( )n ] ? (4n ? 1) ? ( )n?1 . 3 3 3 7 1 1 7 ∴ Tn ? ? (4n ? 7)( )n ? . …………13 分 2 2 3 2

(19) (本小题满分 14 分)
? 2c = 2, 解: (Ⅰ)由已知得 ? …………2 分 ? a = 2c, ∴ c ? 1,a ? 2 . 又 a 2 ? b 2 +c 2 ,∴ b ? 3 . 2 y2 ∴椭圆 C 的方程为 x + = 1 . ………… 4 分 4 3 (Ⅱ) (i)设直线 l1 的方程为 x ? my ? 1 , x2 y 2 ? ? 4 ? 3 ?1 由? 消去 x 并整理得, (3m2 ? 4) y 2 ? 6my ? 9 ? 0 . ? ? x ? my ? 1

? ? 36m2 ? 4(3m2 ? 4) ? 9 ? 0 . 设 P( x1,y1 ),Q( x2,y2 ) , PQ 的中点 G ( x0,y0 ) , ?6m ?9 ∴ y1 ? y2 ? 2 . ………… 6 分 ,y1 y2 ? 2 3m ? 4 3m ? 4 y ? y2 4 ?3m ∴ y0 ? 1 , x0 ? my0 ? 1 ? 2 , ? 2 3m ? 4 2 3m ? 4 4 ?3m 即 G( 2 ………… 7 分 , ). 3m ? 4 3m2 ? 4 ?3m 3m2 ? 4 ?3m . kOG ? 2 ? ? 3m ? 4 4 4 ? 3m) . 设直线 l2 的方程为 y ? ?m( x ? 1) ,则 T (4, ?3m ∵ kOT ? , 4 ∴ kOG ? kOT ,线段 PQ 的中点在直线 OT 上. ………… 9 分 (ii) 0) . ① 当 m ? 0 时, PQ 的中点为 F , T (4,
TF ? 3, PQ ?
TF 2b2 ? 1. ?3, ∴ PQ a

…………10 分

② 当 m ? 0 时,

TF ? (4 ? 1)2 ? (?3m)2 ? 3 m2 ? 1 ,
PQ ? 1 ? 1 ? y1 ? y2 ? 1 ? m 2 ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 , 2 k
?6m 2 ?9 m2 ? 1 ) ? 4? 2 ? 12 ? 2 , 2 3m ? 4 3m ? 4 3m ? 4

? 1 ? m2 (



TF PQ

?

3 m2 ? 1 3m2 ? 4 1 1 ? ? (3 m2 ? 1 ? ). 2 (m ? 1) 12 4 m2 ? 1

…………11 分

令 t ? m2 ? 1 ,则

TF

1 1 ? (3t ? ) (t ? 1) . PQ 4 t

1 1 令 g (t ) ? (3t ? ) (t ? 1) , 4 t ? ?) 上为增函数, ∵ g (t ) 在 (1, ∴ g (t ) ? g (1) ? 1 . ………… 13 分

综合①②,

TF PQ

的取值范围是 [1, ? ?) .

…………14 分

注:其他解法可参照评分标准酌情给分 (20) (本小题满分 14 分) 解: (Ⅰ)当 a = -1 时, f ( x) =
2 1 2 ? lnx , f ?( x) = - 2 ? , x x x

…………1 分

又 f (1) = 2 , f ?(1) = -1 ,

…………2 分

∴曲线 y = f ( x) 在点 (1 ,f (1)) 处的切线方程为 y ? 2 ? -( x ? 1) , 即x+ y-3= 0. .….……4 分

(Ⅱ)由题意, f ( x) 的定义域为 (0, ? ?) , 2 a ax + 2 又 f ?( x) = - 2 - ? - 2 , …………5 分 x x x (1)当 a ≥ 0 时, ∵ f ?( x) ? 0 恒成立, ∴ f ( x) 在 (0, ? ?) 上单调递减; …………7 分 (2)当 a ? 0 时,
2 由 f ?( x) ? 0 得, 0 ? x ? ? ;由 f ?( x) ? 0 得, x ? ? , a 2 2 ∴ f ( x) 在 (0,? ) 上单调递减,在 (? ,? ?) 上单调递增. …………9 分 a a
2 a

(Ⅲ)∵ g ( x) = x 2 + f ( x) , ∴ g ( x) 的定义域为 (0, ? ?) .

ax + 2 2x3 ? ax ? 2 . …………10 分 ? x2 x2 x ? (0, ? ?) . 令 h( x) = 2x3 ? ax ? 2,
∴ g ?( x) = 2 x ∴ h?( x) = 6 x 2 ? a . (1)当 a ? 0 时, ∵ h?(x) ? 0 恒成立, ∴ h( x) 在 (0, ? ?) 上单调递增,又 h(0) = -2 < 0,h(1) = -a > 0 , ∴ h( x) 在 (0, 1) 内存在一个零点,也是 g?( x) 的零点. ∴ g ( x) 在 (0, 1) 内有极值; (2)当 a ≥ 0 时, 当 0 < x < 1 时, h( x) = 2( x3 ? 1) ? ax < 0 ,即 g ?( x ) ? 0 恒成立, ∴ g ( x) 在 (0, 1) 内无极值. 综上所述,若 g ( x) 在 (0, 0) . 1) 内有极值,则实数 a 的取值范围是 (??, …………14 分



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