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集合 函数 三角函数 倒数 平面向量测试题



2016 届高考文科综合测试题 (集合 函数 倒数 平面向量)
一、选择题
1.
(2013 年上海高考数学试题(文科))设常数 a ? R ,集合 A ?

?x | ? x ?1?? x ? a ? ? 0? ,
D. ? 2, ?? ?

B ? ?x | x ? a ?1? .若 A ? B

? R ,则 a 的取值范围为(
A . ? ??,2?
【答案】B



B. ? ??, 2?

C. ? 2, ???

2.

( 2013 年高考安徽(文)) 已知 A ?

? x | x ? 1 ? 0? , B ? ??2, ?1, 0,1? ,则 (CR A) ? B ?
( ) C. ??1, 0,1? D. ?0,1?

A. ??2, ?1?
【答案】A

B. ??2?

3.

(2013 年高考辽宁卷(文))已知函数

f ? x ? ? ln
A. ? 1
【答案】D

?

? 1? 1 ? 9 x 2 ? 3x ? 1,.则f ? lg 2 ? ? f ? lg ? ? ? 2?
B. 0 C. 1 D. 2

?





4.

★★(2014· 新课标全国卷ⅠW)设 D、E、F 分别为△ABC 的三边 BC、CA、AB 的中点,则

EB ? FC ? ()
A. AD 5. B.

1 AD 2

C.

BC

D.

1 BC 2

★★(2014 福建 W)设 M 为平行四边形 ABCD 对角线的交点, O 为平行四边形 ABCD 所 在平面内任意一点,则 OA ? OB ? OC ? OD 等于() A. OM B.

2OM

C.

3OM
)

D. 4OM

6.

【2015 高考新课标 1,理 2】 sin 20o cos10o ? cos160o sin10o =( (A) ?

3 3 1 1 (B) (C) ? (D) 2 2 2 2

【答案】D 【解析】原式= sin 20o cos10o ? cos 20o sin10o = sin 30o =

1 ,故选 D. 2

1 / 12

【考点定位】三角函数求值. 【名师点睛】 本题解题的关键在于观察到 20°与 160°之间的联系, 会用诱导公式将不同角 化为同角, 再用两角和与差的三角公式化为一个角的三角函数, 利用特殊角的三角函数值即 可求出值,注意要准确记忆公式和灵活运用公式. 7. 【2015 高考山东, 理 3】 要得到函数 y ? sin ? 4 x ? 的图象() (A)向左平移

? ?

??

只需要将函数 y ? sin 4 x ? 的图象, 3?

?
12

个单位

(B)向右平移

?
12

个单位

(C)向左平移 【答案】B

? 个单位 3

(D)向右平移

? 个单位 3

【解析】因为 y ? sin ? 4 x ?

? ?

??

? ? ?? ? ? ? ? sin 4 ? x ? ? ,所以要得到函数 y ? sin ? 4 x ? ? 的图 3? 12 ? 3? ? ?
?
12
个单位.故选 B.

象,只需将函数 y ? sin 4 x 的图象向右平移 【考点定位】三角函数的图象变换.

【名师点睛】 本题考查了三角函数的图象, 重点考查学生对三角函数图象变换规律的理解与 掌握, 能否正确处理先周期变换后相位变换这种情况下图象的平移问题, 反映学生对所学知 识理解的深度.

8.

(上海,15)把曲线 ycosx+2y-1=0 先沿 x 轴向右平移

? 2

个单位,再沿 y 轴向下平移 1

个单位,得到的曲线方程是() A.(1-y)sinx+2y-3=0 C.(y+1)sinx+2y+1=0 9. (15 年安徽文科) lg

B.(y-1)sinx+2y-3=0 D.-(y+1)sinx+2y+1=0

5 1 ? 2 lg 2 ? ( ) ?1 ? 。 2 2

【答案】-1 【解析】 试题分析:原式= lg 5 ? lg 2 ? 2 lg? 2 ? lg 5 ? lg 2 ? 2 ? 1 ? 2 ? ?1

2 / 12

考点:1.指数幂运算;2.对数运算.

10. (2007 北京)已知 O 是 △ ABC 所在平面内一点, D 为 BC 边中点,且
??? ? ??? ? ??? ? 2OA ? OB ? OC ? 0 ,那么 ??? ? ??? ? A. AO ? OD ??? ? ??? ? C. AO ? 3OD


??? ? ??? ? B. AO ? 2OD ??? ? ??? ? D. 2 AO ? OD



答案



11. (2013 年高考天津卷(文)) 设函数 f ( x) ? e x ? x ? 2, g ( x) ? ln x ? x 2 ? 3 . 若实数 a, b 满足 f (a) ? 0, g (b) ? 0 , 则 A. g (a) ? 0 ? f (b) C. 0 ? g (a) ? f (b) ( B. f (b) ? 0 ? g (a) D. f (b) ? g (a) ? 0 )

【答案】A 12. (2013 年湖北(文))x 为实数, [ x] 表示不超过 x 的最大整数,则函数 f ( x) ? x ? [ x] 在 R

上为 A.奇函数 【答案】D

( B.偶函数 C.增函数 D.周期函数



二、填空题
? ? ? ? ? ? ? ? ? m ? R c ? ma ? b c a c 13. 平面向量 a ? (1, 2) ,b ? (4, 2) , ( ),且 与 的夹角等于 与 b 的
夹角,则 m ? A. ?2 B. ?1 C. 1 D. 2

【答案】D【解析 1】 c ? (m ? 4, 2m ? 2)

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? c?a c ?b c?a c ?b ? , cos c, b ? ? ? ,所以 ? ? ? ? ? ,又 因为 cos c, a ? ? | c |?| a | | c |?| b | | c |?| a | | c |?| b |
? ? | b |? 2 | a |
所以 2c ? a ? c ? b 即 2[(m ? 4) ? 2(2m ? 2)] ? 4( m ? 4) ? 2(2m ? 2) ? m ? 2 【解析 2】由几何意义知 c 为以 ma , b 为邻边的菱形的对角线向量,又 | b |? 2 | a | 故

? ?

? ?

?

?

?

?

?

m?2
14. (2013 年高考山东卷(文))函数 的定义域为 ( )

3 / 12

A.(-3,0]
【答案】A

B.(-3,1]

C.

D.

15. 【2015 高考新课标 1, 理 8】 函数 f ( x) = cos(? x ? ? ) 的部分图像如图所示, 则 f ( x) 的 单调递减区间为( )

【答案】D

【考点定位】三角函数图像与性质 【名师点睛】本题考查函数 y ? A cos(? x ? ? ) 的图像与性质,先利用五点作图法列出关于

?,? 方程,求出 ?,? ,或利用利用图像先求出周期,用周期公式求出 ? ,利用特殊点求
出 ? ,再利用复合函数单调性求其单调递减区间,是中档题,正确求 ?,? 使解题的关键. 16. 【2015 高考四川,理 12】 sin 15? ? sin 75? ? 【答案】 .

6 . 2
? ? ? ?

【解析】法一、 sin15 ? sin 75 ? sin15 ? cos15 ?

2 sin(15? ? 45? ) ?
? ? ?

6 . 2

法二、 sin15 ? sin 75 ? sin(45 ? 30 ) ? sin(45 ? 30 ) ? 2sin 45 cos 30 ?
? ? ? ? ?

6 . 2

法三、 sin15 ? sin 75 ?
? ?

6? 2 6? 2 6 ? ? . 4 4 2

【考点定位】三角恒等变换及特殊角的三角函数值.

4 / 12

有 a sin ? ? b cos ? ? 角函数值求解.

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) .第二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三

【名师点睛】这是一个来自于课本的题,这告诉我们一定要立足于课本.首先将两个角统一 为一个角,然后再化为一个三角函数一般地,有 a sin ? ? b cos ? ? 二种方法是直接凑为特殊角,利用特殊角的三角函数值求解.

a 2 ? b 2 sin(? ? ? ) .第

三、解答题
17. 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ?

a ( a ? R , e 为自然对数的底数). ex

(1)若曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f ( x) 的极值; (3)当 a ? 1 的值时,若直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ( x) 没有公共点,求 k 的最大值. 本小题主要考查函数与导数,函数的单调性、极值、零点等基础知识,考查推理论证能力、 运算求解能力, 考查函数与方程思想、 数形结合思想、 分类与整合思想、 化归与转化思想. 满 分 14 分. 解:(Ⅰ)由 f ? x ? ? x ? 1 ?

a a ,得 f ? ? x ? ? 1 ? x . x e e

又曲线 y ? f ? x ? 在点 1, f ?1? 处的切线平行于 x 轴,

?

?

a ? 0 ,解得 a ? e . e a (Ⅱ) f ? ? x ? ? 1 ? x , e
得 f ? ?1? ? 0 ,即 1 ? ①当 a ? 0 时, f ? ? x ? ? 0 , f ? x ? 为 ? ??, ??? 上的增函数,所以函数 f ? x ? 无极值.
x ②当 a ? 0 时,令 f ? ? x ? ? 0 ,得 e ? a , x ? ln a .

x ? ? ??,ln a ? , f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? ln a, ??? , f ? ? x ? ? 0 .
所以 f ? x ? 在 ? ??,ln a ? 上单调递减,在 ? ln a, ??? 上单调递增, 故 f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值,且极小值为 f ? ln a ? ? ln a ,无极大值. 综上,当 a ? 0 时,函数 f ? x ? 无极小值; 当 a ? 0 , f ? x ? 在 x ? ln a 处取得极小值 ln a ,无极大值.

5 / 12

(Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ?

1 ex 1 , ex

令 g ? x ? ? f ? x ? ? ? kx ? 1? ? ?1 ? k ? x ?

则直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等价于方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. 假设 k ? 1 ,此时 g ? 0? ? 1 ? 0 , g ?

1 ? 1 ? ? ? ?1 ? 1 ? 0 , ? k ?1 ? e k ?1

又函数 g ? x ? 的图象连续不断,由零点存在定理,可知 g ? x ? ? 0 在 R 上至少有一解,与“方 程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解”矛盾,故 k ? 1 . 又 k ? 1 时, g ? x ? ?

1 ? 0 ,知方程 g ? x ? ? 0 在 R 上没有实数解. ex

所以 k 的最大值为 1 . 解法二: (Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.(Ⅲ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? x ? 1 ? 直线 l : y ? kx ? 1 与曲线 y ? f ? x ? 没有公共点, 等 价 于 关 于 x 的 方 程 kx ? 1 ? x ? 1 ?

1 . ex

1 在 R 上没有实数解,即关于 x 的方程: ex

? k ? 1? x ?

1 ex

(*)在 R 上没有实数解.

1 ? 0 ,在 R 上没有实数解. ex 1 ? xe x . ②当 k ? 1 时,方程(*)化为 k ?1
①当 k ? 1 时,方程(*)可化为 令 g ? x ? ? xe ,则有 g? ? x ? ? ?1 ? x ? e .令 g? ? x ? ? 0 ,得 x ? ?1 ,
x x

当 x 变化时, g? ? x ? 的变化情况如下表:

x
g? ? x ?
g ? x?
当 x ? ?1 时, g ? x ? min ? ?

? ??, ?1?
?
?

?1

? ?1, ???
?
?

0
? 1 e

1 ,同时当 x 趋于 ?? 时, g ? x ? 趋于 ?? , e
6 / 12

从而 g ? x ? 的取值范围为 ? ? , ?? ? .所以当

? 1 ? e

? ?

1 1? ? ? ? ??, ? ? 时,方程(*)无实数解,解 k ?1 ? e?

得 k 的取值范围是 ?1 ? e,1? .综上,得 k 的最大值为 1 . 18. 设函数 f ( x) ? x ? kx ? x ?k ? R ? .
3 2

(1) 当 k ? 1 时,求函数 f ( x ) 的单调区间; (2) 当 k ? 0 时,求函数 f ( x ) 在 ?k ,?k ? 上的最小值 m 和最大值 M . 【解析】: f
'

? x? ? 3x2 ? 2kx ?1
'

(1)当 k ? 1 时 f

? x? ? 3x2 ? 2x ?1, ? ? 4 ?12 ? ?8 ? 0

' 2 ? f ' ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 R 上单调递增( . 2) 当 k ? 0 时, f ? x ? ? 3x ? 2kx ? 1, 其开口向上,

对称轴 x ?

k 1? ,且过 ? 0, 3
2

(i)当 ? ? 4k ? 12 ? 4 k ? 3

?

?? k ? 3 ? ? 0 ,即
k
x? k 3

' ? 3 ? k ? 0 时, f ? x ? ? 0 , f ? x ? 在 ? k , ?k ? 上单调递增,从

而当 x ? k 时, f ? x ? 取得最小值 m ? f ? k ? ? k ,当 x ? ? k 时,

k

f ? x ? 取得最大值 M ? f ? ?k ? ? ?k ? k ? k ? ?2k ? k .
3 3 3

( ii ) 当 ?

4 ?k 2

1 ? 2

?

? k4

??

? k 3

?

? ,3 即 ? 0 k ?? 3

k

时 , 令

f ' ? x ? ? 3x2 ? 2kx ?1 ? 0
解得: x1 ?

k ? k2 ?3 k ? k 2 ? 3 ,注意到 k ? x ? x ? 0 , , x2 ? 2 1 3 3
1 2k ? k ,从而 k ? x2 ? x1 ? 0 ;或者由对称结 , x1 ? x2 ? 3 3

(注:可用韦达定理判断 x1 ? x2 ? 合图像判断)

?m ? min ? f ? k ? , f ? x1 ??, M ? max ? f ? ?k ? , f ? x2 ??
? f ? x1 ? ? f ? k ? ? x13 ? kx12 ? x1 ? k ? ? x1 ? k ? ? x12 ? 1? ? 0

? f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,
7 / 12

3 2 ? f ? x2 ? ? f ? ?k ? ? x2 ? kx2 ? x2 ? ? ?k 3 ? k ? k 2 ? k ? = ? x2 ? k ? [? x2 ? k ? ? k 2 ? 1] ? 0 2

? f ? x ? 的最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k 3 ? k
综上所述,当 k ? 0 时, f ? x ? 的最小值 m ? f ? k ? ? k ,最大值 M ? f ? ?k ? ? ?2k ? k
3

解法 2(2)当 k ? 0 时,对 ?x ?? k , ?k ? ,都有

f ( x) ? f (k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x2 ? 1)( x ? k ) ? 0 ,故 f ? x ? ? f ? k ? f ( x) ? f (?k ) ? x3 ? kx2 ? x ? k 3 ? k 3 ? k ? ( x ? k )( x2 ? 2kx ? 2k 2 ? 1) ? ( x ? k )[( x ? k )2 ? k 2 ? 1] ? 0
故 f ? x ? ? f ? ?k ? ,而 f (k ) ? k ? 0 , f (?k ) ? ?2k 3 ? k ? 0 所以 f ( x)max ? f (?k ) ? ?2k 3 ? k , f ( x)min ? f (k ) ? k ks5u 【解析】:看着容易,做着难!常规解法完成后,发现不用分类讨论,奇思妙解也出现了: 结合图像感知 x ? k 时最小, x ? ? k 时最大,只需证 f ? k ? ? f ? x ? ? f ? ?k ? 即可,避免分 类讨论.本题第二问关键在求最大值,需要因式分解比较深的功力,这也正符合了 2012 年高 考年报的“对中学教学的要求——重视高一教学与初中课堂衔接课”. 19. 已知函数

f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ?1.

(I)求 a ? 2时,讨论 f ? x ?的单调性; ; (II)若 x ??2, ???时,f ? x ? ? 0, 求a的取值范围.

8 / 12

x x 20. (15 北京理科)已知函数 f ( x) ? 2sin cos ? 2sin 2 2

2

x . 2

(Ⅰ) 求 f ( x) 的最小正周期; (Ⅱ) 求 f ( x) 在区间 [? π ,0] 上的最小值. 【答案】 (1) 2? , (2) ?1 ? 【解析】 试题分析:先用降幂公式和辅助角公式进行三角恒等变形,把函数化为

2 2

f(x ) ? A sin( ?x ? ? ) ? m 形式,再利用周期公式T ?
于 ?? ? x ? 0,则可求出 ?

2?

?

求出周期,第二步由

3? ? ? ? x ? ? ,借助正弦函数图象找出在这个范 4 4 4 3? 2 时, f (x )取得最小值为: ?1 ? . 4 2

围内当 x ?

?
4

? ?

?
2

,即 x ? ?

试题解析:(Ⅰ)

f(x ) ? 2 sin

x
2

cos

x
2

? 2 sin

2

x

1 1 ? cos x ? 2 ? sin x ? 2 ? ? 2 2 2

?

2 2 2 ? 2 sin x ? cos x ? ? sin( x ? ) ? 2 2 2 4 2
2? ? 2? ; 1

(1) f (x )的最小正周期为T ?

(2)? ?? ?

x ? 0,? ?

3? ? ? ? ? 3? ? x ? ? ,当 x ? ? ? ,x ? ? 4 4 4 4 2 4
9 / 12

时, f (x )取得最小值为: ?1 ?

2 2

考点: 1.三角函数式的恒等变形;2.三角函数图像与性质. 21. (2008 年东北三省三校高三第一次联合模拟考试)已知向量 ? 3 ? a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?1). 2 ? ? (1)当 a // b 时,求 2 cos 2 x ? sin 2 x 的值; (2)求

? ? ? ? ? f ( x) ? (a ? b ) ? b 在 ? ? , 0 ? 上的值域. ?
? 2 ?

解(1)? a || b

? ?

,∴

3 3 cos x ? sin x ? 0 ,∴ tan x ? ? 2 2
(5 分)

2 cos2 x ? sin 2 x ?

2 cos2 x ? 2 sin x cos x 2 ? 2 tan x 20 ? ? . sin 2 x ? cos2 x 1 ? tan2 x 13

? ? 1 (2)? a ? b ? (sin x ? cos x, ) 2

? ? ? 2 ? f ( x ) ? ( a ? b) ? b ? sin(2 x ? ) 2 4
∵?

?
2

? x ? 0 ,∴ ?

? 2 3? ? ? ? 2 x ? ? ,∴ ?1 ? sin(2 x ? ) ? 4 4 4 4 2

∴?

? 2 1? 2 1 , ? (10 分) ? f ( x) ? ∴函数 f ( x)的值域为?? 2 2 ? 2 2?

22. 【2012 高考江苏 18】若函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处取得极大值或极小值,则称 x0 为函 数 y ? f ( x) 的极值点。 已知 a, b 是实数,1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点. (1)求 a 和 b 的值; (2)设函数 g ( x) 的导函数 g ?( x) ? f ( x) ? 2 ,求 g ( x) 的极值点;

2] ,求函数 y ? h( x) 的零点个数. (3)设 h( x) ? f ( f ( x)) ? c ,其中 c ? [?2 ,
【答案】解:(1)由 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ,得 f' ( x) ? 3x2 ? 2ax ? b 。 ∵1 和 ?1是函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx 的两个极值点, ∴ f' (1) ? 3 ? 2a ? b=0 , f' (?1) ? 3 ? 2a ? b=0 ,解得 a =0,b = ? 3 。
10 / 12

(2)∵ 由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x , ∴ g?( x) ? f ( x) ? 2=x3 ? 3x ? 2= ? x ?1? ? x ? 2? ,解得 x1 =x2 =1,x3 = ? 2 。
2

∵当 x < ?2 时, g ?( x) < 0 ;当 ?2 < x < 1 时, g ?( x) > 0 , ∴ x = ? 2 是 g ( x) 的极值点。 ∵当 ?2 < x < 1 或 x > 1 时, g ?( x) > 0 ,∴ x =1 不是 g ( x) 的极值点。 ∴ g ( x) 的极值点是-2。 (3)令 f ( x)=t ,则 h( x) ? f (t ) ? c 。 先讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况: d ?? ?2, 2? 当 d =2 时,由(2 )可知, f ( x)= ? 2 的两个不同的根为 I 和一 2 ,注 意到 f ( x) 是奇函数,∴ f ( x)=2 的两个不同的根为一和 2。 当

d <2







f (?1) ? d =f (2) ? d =2 ? d > 0



f (1) ? d =f (?2) ? d = ? 2 ? d < 0 ,
∴一 2 , -1,1 ,2 都不是 f ( x)=d 的根。 由(1)知 f' ( x)=3? x ? 1?? x ? 1? 。 ① 当 x ? ? 2, ? ? ? 时 , f '( x) >0 , 于 是 f ( x) 是 单 调 增 函 数 , 从 而

f ( x) > f ( 2 ) =。 2
此时 f ( x)=d 在 ? 2, ? ?? 无实根。 ② 当 x ? ?1 , 2? 时. f' ( x) > 0 ,于是 f ( x) 是单调增函数。 又∵ f (1) ? d < 0 , f (2) ? d > 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(1 , 2 )内有唯一实根。 同理, f ( x)=d 在(一 2 ,一 I )内有唯一实根。 ③ 当 x ? ? ?1 , 1? 时, f' ( x) < 0 ,于是 f ( x) 是单调减两数。 又∵ f (?1) ? d > 0 , f (1) ? d < 0 , y =f ( x) ? d 的图象不间断, ∴ f ( x)=d 在(一 1,1 )内有唯一实根。 因此,当 d =2 时, f ( x)=d 有两个不同的根 x1,x2 满足 x1 =1,x2 =2 ;当
11 / 12

d <2 时
f ( x)=d 有三个不同的根 x3,x1,x5 ,满足 xi < 2,i =3, 4, 5 。
现考虑函数 y ? h( x) 的零点: ( i )当 c =2 时, f (t )=c 有两个根 t1,t2 ,满足 t1 =1, t2 =2 。 而 f ( x)=t1 有三个不同的根, f ( x)=t2 有两个不同的根,故 y ? h( x) 有 5 个 零点。 ( 11 ) 当 c < 2 时 , f ( t ) =c有 三 个 不 同 的 根 t3,t4,t5 , 满 足

ti < 2,i

=3, 。 4,

5

而 f ( x)=ti ? i =3, 4, 5? 有三个不同的根,故 y ? h( x) 有 9 个零点。 综上所述, 当 c =2 时, 函数 y ? h( x) 有 5 个零点; 当 c < 2 时, 函数 y ? h( x) 有 9 个零点。 【考点】函数的概念和性质,导数的应用。 【解析】(1)求出 y ? f ( x) 的导数,根据 1 和 ?1是函数 y ? f ( x) 的两个极值点代入列方 程组求解即可。 (2)由(1)得, f ( x) ? x3 ? 3x ,求出 g ?( x) ,令 g ?( x)=0 ,求解讨论即可。 (3)比较复杂,先分 d =2 和 d < 2 讨论关于 x 的方程 f ( x)=d 根的情况;再考 虑函数 y ? h( x) 的零点

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