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三角形的重心



A

F B

O D

E

C

三角形的重心
高中数学 毛 维

播种行为,收获习惯!

主要内容:
? 一、 三角形重心的定义 ? 二、 重心的五个重要性质 ? 三、 三角形的五“心”简介

重心的定义
三角形的三条中线交于一点,这点称为三 角形的重心. A O B 如图所示:在△ABC中, 点D、E分别是BC、 AC的中点. E 连接AD,BE,交于点O,

D

C O点即为△ABC的重心.

重心性质1
重心分中线之比为2:1. 即 AO:OD=2:1

A
O B D E H C

取EC中点H,连接DH

可证 AO:OD= 2:1

重心性质2
三角形的三中线必然交于一点. 此点恰是重心.

A
F G B O D

连接CO并延长,交AB于F E 过点D作DG//CF ,交AB于G C

根据性质1,可以证明
AF:FG=2:1 FG:GB=1:1 故F为AB中点.

重心性质3
S ?AOB ? S ?BOC ? S ?AOC
A F B O D E

C

分别延长中线,可交对边的中点.

易知:S△AOB= 2S△BOD= S△BOC

重心性质4
如果O为△ABC的重心,那么 OA ? OB ? OC ? 0 A O O B C D B C D P

由中线向量的性质: OB ? OC ? OP ? 2OD



??? ? ???? OA ? 2OD ?

? 0

∴ OA ? OB ? OC ? 0

重心向量常见变化形式:
A (1) AO ? BO ? CO ? 0 F
1 1 (2) AO ? AB ? AC 3 3

O D

E C

B

(3)中线AD上的点P满足:

AP ? ? AB ? ? AC

重心性质5
设直线l过重心O,交AB、AC于点M、N, xy AN AM ? x AB , ? y AC, ? 0, 则
1 1 ? ?.3 x y

A M O N

连接AO,因为M、O、N三点共线

所以 AO ? ? AM ? ?1 - ? ?AN

? ?x AB ? ?1 - ? ? y AC

B

C
可得

1 1 AO ? AB ? AC 3 3 1 1 ? ?3 x y

它的逆命题也成立!
设直线l交AB、AC于点M、N, 且满足 A N M
AB AC ? ?3 AM AN

则直线l必过△ABC的重心

B

C

【友情链接】
1. (2010年湖北卷)已知△ABC和点M满足
MA ? MB ? MC ? 0 ,若存在实数m使得
AB ? AC ? m AM 成立,则 2 A.2 B.3

m? C) (

C.3

D.6

解析:

A M

1 1 AM ? AB ? AC 3 3
C

B

【补充内容】
三角形“五心”向量形式的充要条件:

设O为△ABC所在平面内一点,角A,B,C 所对的边长分别为a,b,c,则 (1) O为重心 (三条中线的交点) A

? OA ? OB ? OC ? 0
B

O C

(2) O为垂心(三条垂线的交点)

? OA ? OB ? OB ?OC ? OC ? OA
A O B

C

(3) O为外心(中垂线交点,外接圆圆心)

? OA ? OB ? OC

2

2

2

A

O

B

C

(4) O为内心(角平分线交点,内切圆圆心) A
? aOA ? bOB ? cOC ? 0
B M F I D H E K C

(5) O为∠A旁心
? aOA ? bOB ? cOC

(旁切圆圆心,∠A平分线与两外角平分线交点)
A B F E D C

?(1)(2)(3)常考;
?(4)(5)只作了解 .

Ia

【友情链接】
2.(2009?宁夏海南卷)已知O,N,P在△ABC所在平面内, ??? ??? ???? ? ? ??? ??? ???? ? ? 且 , NA ? NB ? NC,0 ? OA ? OB ? OC
??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? PA ? PB ? PB ? PC ? PC ? PA ,则O,N,P依次是△ABC的

A.重心 外心 垂心 C.外心 重心 垂心 解析:

B.重心 外心 内心 D.外心 重心 内心

A A A

答案:(C)

P

B B B

O N

C C C

【课后思考】:1.设G为△ABC的重心, M、N分别为AB、CA的中点, 求证:四边形GMAN和△GBC的面积相等. A
M
G

N

B

C

提示: 连GA △AMG的面积=△GBM的面积, △GAN的面积=△GNC的面积,

【课后思考】 2.已知A,B,C三点不共线,且点O满足

OA ? OB ? OC ? 0 ,下列结论正确的是( )
3 ??? ? ? ? 1 ??? 2 ??? C. OA ? - AB- BC 3 3

A. OA ? 1 AB ? 2 BC
3

B. OA ? 2 AB ? 1 BC
3 3

D. OA ? - 2 AB - 1 BC
3 3

提示: AO ? 1 AB ? 1 AC
3 3

??? ? ??? ??? ? ? AC ? AB ? BC

小结
1.重心的定义
2.重心五个性质及其变化形式

3.“五心”的认识及其向量 的基本形式 4. 友情链接高考试题

天 才 出 于 勤 奋 。

聪 明 由 于 积 累 ,



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